If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განმარტება (არჩევითი საკითხავი)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
გრინის, სტოკისა და დივერგენციის თეორემები
დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განმარტება (არჩევითი საკითხავი)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

სამ განზომილებაში როტორის ფორმალური განსაზღვრება

Google–ის საკლასო ოთახი
ორ განზომილებაში როტორის განსაზღვრების სწავლის შემდეგ მზად ხართ, ისწავლოთ სამ განზომილებაში როტორის ფორმალურ განსაზღვრებაზე.  ეს არ არის მარტივი, ასე რომ, ნუ იჩქარებთ.

ფონი

ამ სტატიის გასაგებად ნამდვილად საჭიროა ამ ორი წინაპირობის ცოდნა. როტორის განსაზღვრებას სამ განზომილებაში აქვს იმდენი მოძრავი ნაწილი, რომ ორგანზომილებიანი ანალოგის საფუძვლიანად გაგება და ასევე იმ სამგანზომილებიანი ცნების ცოდნა, რომლის გამოსახვასაც ვცდილობთ, აუცილებელია.
კონკრეტულად, თუ ახლა არ მორჩით სტატიის კითხვას, რომელიც იძლევა როტორის ფორმალურ განმარტებას ორ განზომილებაში, გირჩევთ, ახლავე ნახოთ სწრაფად, მაშინაც კი, თუ ადრეც გინახავთ და მაშინაც კი, თუ ეს მხოლოდ შეჯამებაა.

რის აგებას ვცდილობთ

  • ჩვენ სამგანზომილებიანი როტორის კომპონენტებს სათითაოდ განვიხილავთ, ვუყურებთ რა სითხის მოძრაობის კომპონენტებს, რომლებიც y, z სიბრტყის, x, z სიბრტყისა და x, y სიბრტყის პარალელურია.
  • start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, F, end bold text-ის სამივე კოორდინატული განსაზღვრება შეგიძლიათ იმის განსაზღვრით, თუ რა უნდა იყოს start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, F, end bold text-ისა და ზოგადი ერთეულოვანი start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ვექტორის ნამრავლი.
    (როტორი  F(x,y,z))⋅n^=lim⁡∣A((x,y,z),n^)∣→0(1∣A((x,y,z),n^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}

დაკვირვება ერთი სიბრტყით შემოვფარგლოთ

სამ განზომილებაში როტორზე ფიქრი შედარებით რთულია. მაგალითად, დავუშვათ, რომ start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი:
F(x,y,z)=[F1(x,y,z)F2(x,y,z)F3(x,y,z)]\begin{aligned} \textbf{F}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_1(x, y, z) \\ F_2(x, y, z) \\ F_3(x, y, z) \end{array} \right] \end{aligned}
იმის მაგალითი, თუ ეს რას შეიძლება, ჰგავდეს, ნაჩვენებია შემდეგ ვიდეოში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
ახლა წარმოიდგინეთ სითხის სამგანზომილებიანი დინება, რომელსაც start bold text, F, end bold text შეიძლება, წარმოადგენდეს. როგორც იცით, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis არის იმის გზა, რომ გაზომოთ ამ სითხეში დინება left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილთან ახლოს, მაგრამ ეს რთული ცნებაა, რომელიც ფრთხილად უნდა გამოთვალოთ.
როტორზე ინტუიციის შესაქმნელად ბევრი კარგი ანალოგია არსებობს. ჩემთვის ერთ-ერთი უსაყვარლესია უმცირეს ტენისის ბურთზე ფიქრი, რომლის ცენტრია left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis და როგორ გამოიწვევდა მის ბრუნვას ირგვლივ სითხის დინება. ამ ანალოგიაში, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis გვაძლევს ტენისის ბურთის მიღებული მობრუნების ვექტორს.
თუმცა ეს განმარტებები შორს ვერ წაგვიყვანს, როცა მიზანია მრუდის ფორმალური განსაზღვრება; ინტუიციური გაგება მათემატიკური სიზუსტით რომ გამოისახოს.
ძირითადი სტრატეგია, რომლითაც წავალთ, არის ჩვენი დაკვირვების შემოფარგვლა კონკრეტულ სიბრტყეზე მობრუნებით. მაგალითად, შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს სიბრტყეს, რომელიც წარმოადგენს მუდმივ x მნიშვნელობას, კონკრეტულად - x, equals, 1, comma, 6-ს და ასევე ვექტორებს start bold text, F, end bold text-იდან, რომელიც ამ სიბრტყიდან იტოტება.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
ფორმულით ეს შეგიძლიათ, აღწეროთ, როგორც შემდეგი ფორმის ყველა ვექტორი
start bold text, F, end bold text, left parenthesis, 1, comma, 6, comma, y, comma, z, right parenthesis
აქ y და z თავისუფლად მოძრაობს. როცა ამ ვექტორების პროექტირებას ვახდენთ სიბრტყეზე და ვათავსებთ ისე ბრტყლად, როგორც სურათზეა მოცემული, ვიღებთ დაახლოებით ასეთ რამეს:
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ღერძებს აწერია „y“ და „z,“ რადგან ეს სიბრტყე იყო y, z სიბრტყის პარალელური სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი შეგვეძლო, აღწგვეწერა ახალი ორგანზომილებიანი start bold text, F, end bold text, start subscript, 1, comma, 6, end subscript, left parenthesis, y, comma, z, right parenthesis ფუნქციით, რომელიც შემდეგნაირად განისაზღვრება:
F1,6(y,z)=[F2(1,6,y,z)F3(1,6,y,z)]\begin{aligned} \textbf{F}_{1{,}6}(y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_2(1{,}6, y, z) \\ F_3(1{,}6, y, z) \end{array} \right] \end{aligned}
უფრო ზოგადად, თუ ვექტორულ ველს გავჭრით ნებისმიერი x, equals, x, start subscript, 0, end subscript ფორმის სიბრტყით რაიმე მუდმივი x, start subscript, 0, end subscript-ისთვის, მაშინ ვექტორების, რომლებიც ამ სიბრტყიდან იტოტება, პროექტირება ამავე სიბრტყეზე მოგვცემს ორგანზომილებიან ვექტორულ ველს, რომელიც ასეთი ფუნქციით აღიწერება:
Fx0(y,z)=[F2(x0,y,z)F3(x0,y,z)]\begin{aligned} \textbf{F}_{x_0}(y, z) = \left[ \begin{array}{c} F_2(x_0, y, z) \\ F_3(x_0, y, z) \end{array} \right] \end{aligned}
კონცეფციის შემოწმება: რატომ არ შეიცავს start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, left parenthesis, y, comma, z, right parenthesis-ის განმარტება F, start subscript, 1, end subscript-ს, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis-ის x კომპონენტს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: ზემოთ მოცემული სიბრტყის left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილისთვის რას წარმოადგენს start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, left parenthesis, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

განმარტება კომპონენტების მიხედვით

რატომ ვსაუბრობ ვექტორების პროექციებსა და ტრაექტორიებზე სამი განზომილებიდან ორგანზომილებიან სიბრტყეზე? ჩვეულებრივ, სამ განზომილებაზე ფიქრი რთულია, ასე რომ, ღირს ყველაფრის გაკეთება, რომ რაღაცები სათითაოდ მოაქციოთ ორ განზომილებაში.
კონცეფციის ბოლო შემოწმების მნიშვნელობა იმაშია, რომ ჩვენ შეგვიძლია, სამგანზომილებიანი start bold text, F, end bold text მრუდის x კომპონენტი განვსაზღვროთ მხოლოდ start bold text, F, end bold text, start subscript, x, end subscript ფუნქციის ორგანზომილებიანი მრუდით:
x კოპმპონენტი როტორი F(x,y,z)⏟3d ვექტორი=2d-როტორი Fx(y,z)⏟სკალარული მნიშვნელობა\begin{aligned} \text{$x$ კოპმპონენტი } \underbrace{ \text{როტორი}\,\textbf{F}(x, y, z) }_{\text{3d ვექტორი}} = \underbrace{ \text{2d-როტორი}\,\textbf{F}_x(y, z) }_{\text{სკალარული მნიშვნელობა}} \end{aligned}
ასევე შეგვიძლია, უფრო ელეგენტურად მოვაშოროთ x კომპონენტი start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ს, მისი გამრავლებით x მიმართულების ერთეულოვან ვექტორზე,
i^=[100]\hat{\textbf{i}} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]
ეს იმას ნიშნავს, რომ გამოსახულება ასე გამოიყურება:
(როტორი F(x,y,z))⋅i^=2d-როტორი Fx(y,z)\begin{aligned} \big(\text{როტორი}\,\textbf{F}(x, y, z)\big) \cdot \hat{\textbf{i}} = \text{2d-როტორი}\,\textbf{F}_{x}(y, z) \end{aligned}
ფორმულით უკვე იცით, რომ ეს ხსნის იმას, თუ რატომ აქვს start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ის x კომპონენტს ეს ფორმა,
  როტორი F(x,y,z)=(∂F3∂y−∂F2∂z)⏞2d-როტორი Fx(y,z)i^+(∂F1∂z−∂F3∂x)j^+(∂F2∂x−∂F1∂y)k^\begin{aligned} \; \text{როტორი}\,\textbf{F}(x, y, z) = \overbrace{\left( \dfrac{\partial F_3}{\partial y} - \dfrac{\partial F_2}{\partial z} \right)}^{ \text{2d-როტორი}\,\textbf{F}_{x}(y, z) }\hat{\textbf{i}} + \small \left( \dfrac{\partial F_1}{\partial z} - \dfrac{\partial F_3}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
მაგრამ გახსოვდეთ, ამ სტატიის მთელი აზრი ის არის, რომ როტორი არის ერთ-ერთი ისეთი უცნაური ოპერაცია, რომლის გამოსათვლელადაც გამოყენებული ფორმულა არ არის მისი აღწერა. ჩვენი მიზანია, ვიპოვოთ მრუდის განმარტება სითხის ბრუნვის პირდაპირ წარმოდგენით. ამის გათვალისწინებით, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ის x კომპონენტის ორგანზომილებიანი როტორით წარმოდგენის მნიშვნელოვნება არის ის, რომ შეგვიძლია, ავიღოთ start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, ს, end text წირითი ინტეგრალის ზღვრის განმარტება, რომელიც წინა სტატიაში ვიპოვეთ და იგი გამოვიყენოთ იმისთვის, რომ განვსაზღვროთ start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ის x კომპონენტი.
(როტორი  F(x,y,z))⋅i^=⏞განმარტებაlim⁡A→0(1∣A∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; {\textbf{F}} {(x, y, z)} \big) \cdot {\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{განმარტება}} \lim_{\redE{A} \to 0} \left( \dfrac{1}{|\redE{A}|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
  • start color #bc2612, A, end color #bc2612 არის რაიმე ორგანზომილებიანი რეგიონი სიბრტყეში, რომელიც მართობულია start bold text, i, end bold text, with, hat, on top-ის და გადის left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis წერტილზე.
  • start color #e84d39, C, end color #e84d39 არის start color #bc2612, A, end color #bc2612-ის ზღვარი.
  • start color #e84d39, C, end color #e84d39-ს მიმართულება განისაზღვრება მარჯვენა ხელის წესით: თქვენი მარჯვენა ხელის ცერა თითი მოათავსეთ start bold text, i, end bold text, with, hat, on top-ს მიმართულებით და მოუჭირეთ თითები. მიმართულება, საითაც გაიშვირება დანარჩენი თითები start color #e84d39, C, end color #e84d39-ზე შემოხვევისას, არის ინტეგრების მიმართულება.
  • vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar წარმოადგენს start color #bc2612, A, end color #bc2612-ის ფართობს.
  • limit, start subscript, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar, \to, 0, end subscript გვეუბნება, რომ განვიხილავთ ზღვარს, როცა start color #bc2612, A, end color #bc2612 ვიწროვდება left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis წერტილისკენ სიბრტყეზე, სადაც x მუდმივია.
მიუხედავად იმისა, რომ ეს ყველაფერს არევს, სინათლის შემოსატანად დაგვეხმარება, თუ ჩვენი ფორმულა გამოხატავს იმ ფაქტს, რომ start color #bc2612, A, end color #bc2612 რეგიონში ყოველთვის უნდა შედიოდეს start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05 წერტილი და ეს მართობულია start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f-ის. ამისათვის start color #bc2612, A, end color #bc2612-ს დავწერ მინაწერებთან ერთად, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, comma, start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, end subscript
ეს იმას ნიშნავს, რომ ჩვენი სრული განმარტება ასე გამოიყურება:
(curl  F(x,y,z))⋅i^=⏞განმარტებაlim⁡∣A((x,y,z),i^)∣→0(1∣A((x,y,z),i^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{curl}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{განმარტება}} \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
ეს ძალიან დატვირთული განმარტებაა, რომელიც უშვებს, რომ მკითხველს ძლიერი ცოდნა აქვს. ეს ყველაფერი კი მხოლოდ ერთი კომპონენტისთვის! ამის გაგების გზა შემდეგია:
  • დარწმუნდით, რომ კარგად გაიგეთ როტორის განმარტება ორ განზომილებაში.
  • გაიგეთ, ეს განმარტება როგორ ვრცელდება იმავე ცნებაზე სიბრტყეში, რომელიც სამგანზომილებიან სივრცეში მდებარეობს.
  • დარწმუნდით, რომ გესმით, რატომ უნდა წარმოადგენდეს start bold text, F, end bold text, start subscript, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript-ის ორგანზომილებიანი როტორი start bold text, F, end bold text-ის როტორის x კომპონენტს.

სრული განმარტება

რა თქმა უნდა, x მიმართულება არაფრით გამოირჩევა. იგივენაირად შეგვიძლია, განვსაზღვროთ start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ის დანარჩენი ორი კოორდინატი:
(როტორი  F(x,y,z))⋅j^=lim⁡∣A((x,y,z),j^)∣→0(1∣A((x,y,z),j^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{j}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{j}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{j}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
(როტორი  F(x,y,z))⋅k^=lim⁡∣A((x,y,z),k^)∣→0(1∣A((x,y,z),k^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{k}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{k}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{k}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
კონცეფციის შემოწმება: რას წარმოადგენს start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, left parenthesis, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, comma, start color #0d923f, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, end subscript?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ეს გვაძლევს სრულ განმარტებას, რადგან start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ის თითოეული კომპონენტი ეთვლება.

ზოგადი ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები

თუმცა ცოტა არაელეგანტურია როტორის სამი დამოუკიდებელი ფორმულით განსაზღვრა. გარდა ამისა, როცა როტორს პრაქტიკაში იყენებთ, ხშირად მოგიწევთ start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text ვექტორისა და რაიმე სხვა ვექტორის სკალარული ნამრავლის პოვნა, ასე რომ, გვადგება განმარტება, რომელიც შეესაბამება start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text-ისა და ნებისმიერი ვექტორის სკალარული ნამრავლის ინტერპრეტირებაში, არა მხოლოდ - start bold text, i, end bold text, with, hat, on top-ის, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top-ისა და start bold text, k, end bold text, with, hat, on top-ის.
წარმოიდგინეთ, რომ ზოგადი სიბრტყე კვეთს start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ვექტორულ ველს:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
დავუშვათ, რომ ეს სიბრტყე განისაზღვრება, როგორც რაიმე start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ერთეულოვანი ვექტორის მართობი, როგორიცაა:
n^=[1/31/31/3]\begin{aligned} \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ \end{array} \right] \end{aligned}
ახლა წარმოიდგინეთ ყველაფრის იმიტირება, რაც მანამდე x, equals, x, start subscript, 0, end subscript სიბრტყეზე გავაკეთეთ.
  • ვიხილავთ იმ ვექტორებად, რომლებიც სიბრტყის წერტილიდან იტოტება.
  • მათ პროქტირებას ვახდენთ სიბრტყეზე
  • ვზომავთ მიღებულ ორგანზომილებიან როტორს ამ სიბრტყეზე.
ეს საშუალებას მოგვცემს, განვსაზღვროთ სამგანზომილებიანი როტორის კომპონენტი start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f მიმართულებაში:
(როტორი  F(x,y,z))⋅n^=lim⁡∣A((x,y,z),n^)∣→0(1∣A((x,y,z),n^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{n}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
ეს არის როტორის განსაზღვრება, რომელსაც მოდევნო ტექსტში შეიძლება, შევხვდეთ. ეს უცნაური განსაზღვრებაა, რადგან თავად start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start bold text, F, end bold text ვექტორის განსაზღვრების ნაცვლად იგი მხოლოდ იმას საზღვრავს, თუ რა იქნება ამ ვექტორისა და ნებისმიერი სხვა რამის სკალარული ნამრავლი.
მაგრამ აქ მოცემულია, ამის ასე გაკეთება რატომაა ლოგიკური, მოუხედავად იმისა, რომ ჩახლართული გვეჩვენება: მობრუნება ორგანზომილებიანი ცნებაა და როცა მობრუნებაზე სამ განზომილებაში (მაგალითად, დედამიწის მობრუნება) ვფიქრობთ, უხერხულად ვხდებით იძულებული, ვექტორები გამოვიყენოთ. მობრუნების მოცემული ვექტორი ამბობს, რომ: „მობრუნება სინამდვილეში ხდება რაღაც ორგანზომილებიან სიბრტყეში და მე უბრალოდ გეუბნებით, თუ რა სიბრტყეა ეს.“
როცა საქმე სითხის ბრუნვას ეხება, ჩვენ გვჭირდება გზა, რომ ავიღოთ მობრუნების ნებისმიერი ვექტორი (რაც იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ ნებისმიერი სიბრტყე, რომელშიც მობრუნება ხდება) და იმის კითხვა, „რამდენად გაქვს მოცემულ წერტილთან სითხის მოძრაობა ამ ვექტორს?" როტორი გვაძლევს ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის გზას. მაგალითად, მოცემული ვექტორისთვის, რომელიც წარმოადგენს რაიმე მობრუნებას, როცა ამ ვექტორს ამრავლებთ სითხის დინების როტორზე, ეს გვეუბნება, რამდენად გამოხატავს სითხის მობრუნება ამ ვექტორით გამოხატულ მობრუნებას.

შეჯამება

  • იმისთვის, რომ როტორი განვსაზღვროთ სამ განზომილებაში, სათითაოდ ვიღებთ ორ განზომილებაში. სითხის მოძრაობის პროექტირებას ვახდენთ ერთ სიბრტყეზე და ვზომავთ ორგანზომილებიან როტორს ამ სიბრტყეზე.
  • ორ განზომილებაში მრუდის ფორმალური განსაზღვრების გამოყენებით ეს გვაძლევს გზას, რომ განვსაზღვროთ სამგანზომილებიანი როტორის თითოეული კომპონენტი. მაგალითად, x კომპონენტი შემდეგნაირად განისაზღვრება:
    (როტორი  F(x,y,z))⋅i^=⏞განმარტებაlim⁡∣A((x,y,z),i^)∣→0(1∣A((x,y,z),i^)∣∮CF⋅dr)\begin{aligned} \big( \text{როტორი}\; {\textbf{F}} \goldE{(x, y, z)} \big) \cdot \greenE{\hat{\textbf{i}}} \overbrace{=}^{\text{განმარტება}} \lim_{|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}| \to 0} \left( \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\left( \goldE{(x, y, z)}, \greenE{\hat{\textbf{i}}} \right)}\right|} \oint_\redD{C} {\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \end{aligned}
  • start color #0d923f, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f შეგიძლიათ, ჩაანაცვლოთ ნებისმიერი ერთეულოვანი ვექტორით, შესაბამისად, განსაზღვრავთ, start text, c, u, r, l, end text, start bold text, F, end bold text-ის რა კომპონენტი უნდა იყოს ნებისმიერი მიმართულებით.

გილოცავთ!

ამ ჩახლართული განსაზღვრების სრულად გაგება იმის ნიშანია, რომ თქვენ კარგად აითვისეთ როტორებიც და წირითი ინტეგრალებიც, რომლებიც ცალკე მნიშვნელოვანი ცნებებია.
ასევე, ეს განმარტება დაგეხმარებათ, მოემზადოთ სტოქსის თეორემის კარგად გაგებაში, თემისა, რომელიც მრავალცვლადიანი კალკულუსის კენწეროში მდებარეობს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.