If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განმარტება (არჩევითი საკითხავი)

სამ განზომილებაში როტორის ფორმალური განსაზღვრება

ორ განზომილებაში როტორის განსაზღვრების სწავლის შემდეგ მზად ხართ, ისწავლოთ სამ განზომილებაში როტორის ფორმალურ განსაზღვრებაზე.  ეს არ არის მარტივი, ასე რომ, ნუ იჩქარებთ.

ფონი

ამ სტატიის გასაგებად ნამდვილად საჭიროა ამ ორი წინაპირობის ცოდნა. როტორის განსაზღვრებას სამ განზომილებაში აქვს იმდენი მოძრავი ნაწილი, რომ ორგანზომილებიანი ანალოგის საფუძვლიანად გაგება და ასევე იმ სამგანზომილებიანი ცნების ცოდნა, რომლის გამოსახვასაც ვცდილობთ, აუცილებელია.
კონკრეტულად, თუ ახლა არ მორჩით სტატიის კითხვას, რომელიც იძლევა როტორის ფორმალურ განმარტებას ორ განზომილებაში, გირჩევთ, ახლავე ნახოთ სწრაფად, მაშინაც კი, თუ ადრეც გინახავთ და მაშინაც კი, თუ ეს მხოლოდ შეჯამებაა.

რის აგებას ვცდილობთ

  • ჩვენ სამგანზომილებიანი როტორის კომპონენტებს სათითაოდ განვიხილავთ, ვუყურებთ რა სითხის მოძრაობის კომპონენტებს, რომლებიც yz სიბრტყის, xz სიბრტყისა და xy სიბრტყის პარალელურია.
  • როტორიF-ის სამივე კოორდინატული განსაზღვრება შეგიძლიათ იმის განსაზღვრით, თუ რა უნდა იყოს როტორიF-ისა და ზოგადი ერთეულოვანი n^ ვექტორის ნამრავლი.
    (როტორიF(x,y,z))n^=lim|A((x,y,z),n^)|0(1|A((x,y,z),n^)|CFdr)

დაკვირვება ერთი სიბრტყით შემოვფარგლოთ

სამ განზომილებაში როტორზე ფიქრი შედარებით რთულია. მაგალითად, დავუშვათ, რომ F(x,y,z) არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი:
F(x,y,z)=[F1(x,y,z)F2(x,y,z)F3(x,y,z)]
იმის მაგალითი, თუ ეს რას შეიძლება, ჰგავდეს, ნაჩვენებია შემდეგ ვიდეოში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ახლა წარმოიდგინეთ სითხის სამგანზომილებიანი დინება, რომელსაც F შეიძლება, წარმოადგენდეს. როგორც იცით, როტორიF(x0,y0,z0) არის იმის გზა, რომ გაზომოთ ამ სითხეში დინება (x0,y0,z0) წერტილთან ახლოს, მაგრამ ეს რთული ცნებაა, რომელიც ფრთხილად უნდა გამოთვალოთ.
როტორზე ინტუიციის შესაქმნელად ბევრი კარგი ანალოგია არსებობს. ჩემთვის ერთ-ერთი უსაყვარლესია უმცირეს ტენისის ბურთზე ფიქრი, რომლის ცენტრია (x0,y0,z0) და როგორ გამოიწვევდა მის ბრუნვას ირგვლივ სითხის დინება. ამ ანალოგიაში, როტორიF(x0,y0,z0) გვაძლევს ტენისის ბურთის მიღებული მობრუნების ვექტორს.
თუმცა ეს განმარტებები შორს ვერ წაგვიყვანს, როცა მიზანია მრუდის ფორმალური განსაზღვრება; ინტუიციური გაგება მათემატიკური სიზუსტით რომ გამოისახოს.
ძირითადი სტრატეგია, რომლითაც წავალთ, არის ჩვენი დაკვირვების შემოფარგვლა კონკრეტულ სიბრტყეზე მობრუნებით. მაგალითად, შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს სიბრტყეს, რომელიც წარმოადგენს მუდმივ x მნიშვნელობას, კონკრეტულად - x=1,6-ს და ასევე ვექტორებს F-იდან, რომელიც ამ სიბრტყიდან იტოტება.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ფორმულით ეს შეგიძლიათ, აღწეროთ, როგორც შემდეგი ფორმის ყველა ვექტორი
F(1,6,y,z)
აქ y და z თავისუფლად მოძრაობს. როცა ამ ვექტორების პროექტირებას ვახდენთ სიბრტყეზე და ვათავსებთ ისე ბრტყლად, როგორც სურათზეა მოცემული, ვიღებთ დაახლოებით ასეთ რამეს:
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ღერძებს აწერია „y“ და „z,“ რადგან ეს სიბრტყე იყო yz სიბრტყის პარალელური სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი შეგვეძლო, აღწგვეწერა ახალი ორგანზომილებიანი F1,6(y,z) ფუნქციით, რომელიც შემდეგნაირად განისაზღვრება:
F1,6(y,z)=[F2(1,6,y,z)F3(1,6,y,z)]
უფრო ზოგადად, თუ ვექტორულ ველს გავჭრით ნებისმიერი x=x0 ფორმის სიბრტყით რაიმე მუდმივი x0-ისთვის, მაშინ ვექტორების, რომლებიც ამ სიბრტყიდან იტოტება, პროექტირება ამავე სიბრტყეზე მოგვცემს ორგანზომილებიან ვექტორულ ველს, რომელიც ასეთი ფუნქციით აღიწერება:
Fx0(y,z)=[F2(x0,y,z)F3(x0,y,z)]
კონცეფციის შემოწმება: რატომ არ შეიცავს Fx0(y,z)-ის განმარტება F1-ს, F(x,y,z)-ის x კომპონენტს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: ზემოთ მოცემული სიბრტყის (y0,z0) წერტილისთვის რას წარმოადგენს 2d-როტორიFx0(y0,z0)?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

განმარტება კომპონენტების მიხედვით

რატომ ვსაუბრობ ვექტორების პროექციებსა და ტრაექტორიებზე სამი განზომილებიდან ორგანზომილებიან სიბრტყეზე? ჩვეულებრივ, სამ განზომილებაზე ფიქრი რთულია, ასე რომ, ღირს ყველაფრის გაკეთება, რომ რაღაცები სათითაოდ მოაქციოთ ორ განზომილებაში.
კონცეფციის ბოლო შემოწმების მნიშვნელობა იმაშია, რომ ჩვენ შეგვიძლია, სამგანზომილებიანი F მრუდის x კომპონენტი განვსაზღვროთ მხოლოდ Fx ფუნქციის ორგანზომილებიანი მრუდით:
x კოპმპონენტი როტორიF(x,y,z)3d ვექტორი=2d-როტორიFx(y,z)სკალარული მნიშვნელობა
ასევე შეგვიძლია, უფრო ელეგენტურად მოვაშოროთ x კომპონენტი როტორF-ს, მისი გამრავლებით x მიმართულების ერთეულოვან ვექტორზე,
i^=[100]
ეს იმას ნიშნავს, რომ გამოსახულება ასე გამოიყურება:
(როტორიF(x,y,z))i^=2d-როტორიFx(y,z)
ფორმულით უკვე იცით, რომ ეს ხსნის იმას, თუ რატომ აქვს როტორF-ის x კომპონენტს ეს ფორმა,
როტორიF(x,y,z)=(F3yF2z)2d-როტორიFx(y,z)i^+(F1zF3x)j^+(F2xF1y)k^
მაგრამ გახსოვდეთ, ამ სტატიის მთელი აზრი ის არის, რომ როტორი არის ერთ-ერთი ისეთი უცნაური ოპერაცია, რომლის გამოსათვლელადაც გამოყენებული ფორმულა არ არის მისი აღწერა. ჩვენი მიზანია, ვიპოვოთ მრუდის განმარტება სითხის ბრუნვის პირდაპირ წარმოდგენით. ამის გათვალისწინებით, როტორF-ის x კომპონენტის ორგანზომილებიანი როტორით წარმოდგენის მნიშვნელოვნება არის ის, რომ შეგვიძლია, ავიღოთ 2d-როტორის წირითი ინტეგრალის ზღვრის განმარტება, რომელიც წინა სტატიაში ვიპოვეთ და იგი გამოვიყენოთ იმისთვის, რომ განვსაზღვროთ როტორF-ის x კომპონენტი.
(როტორიF(x,y,z))i^=განმარტებაlimA0(1|A|CFdr)
  • A არის რაიმე ორგანზომილებიანი რეგიონი სიბრტყეში, რომელიც მართობულია i^-ის და გადის (x,y,z) წერტილზე.
  • C არის A-ის ზღვარი.
  • C-ს მიმართულება განისაზღვრება მარჯვენა ხელის წესით: თქვენი მარჯვენა ხელის ცერა თითი მოათავსეთ i^-ს მიმართულებით და მოუჭირეთ თითები. მიმართულება, საითაც გაიშვირება დანარჩენი თითები C-ზე შემოხვევისას, არის ინტეგრების მიმართულება.
  • |A| წარმოადგენს A-ის ფართობს.
  • lim|A|0 გვეუბნება, რომ განვიხილავთ ზღვარს, როცა A ვიწროვდება (x,y,z) წერტილისკენ სიბრტყეზე, სადაც x მუდმივია.
მიუხედავად იმისა, რომ ეს ყველაფერს არევს, სინათლის შემოსატანად დაგვეხმარება, თუ ჩვენი ფორმულა გამოხატავს იმ ფაქტს, რომ A რეგიონში ყოველთვის უნდა შედიოდეს (x,y,z) წერტილი და ეს მართობულია i^-ის. ამისათვის A-ს დავწერ მინაწერებთან ერთად, A(x,y,z),i^
ეს იმას ნიშნავს, რომ ჩვენი სრული განმარტება ასე გამოიყურება:
(curlF(x,y,z))i^=განმარტებაlim|A((x,y,z),i^)|0(1|A((x,y,z),i^)|CFdr)
ეს ძალიან დატვირთული განმარტებაა, რომელიც უშვებს, რომ მკითხველს ძლიერი ცოდნა აქვს. ეს ყველაფერი კი მხოლოდ ერთი კომპონენტისთვის! ამის გაგების გზა შემდეგია:
  • დარწმუნდით, რომ კარგად გაიგეთ როტორის განმარტება ორ განზომილებაში.
  • გაიგეთ, ეს განმარტება როგორ ვრცელდება იმავე ცნებაზე სიბრტყეში, რომელიც სამგანზომილებიან სივრცეში მდებარეობს.
  • დარწმუნდით, რომ გესმით, რატომ უნდა წარმოადგენდეს Fx0-ის ორგანზომილებიანი როტორი F-ის როტორის x კომპონენტს.

სრული განმარტება

რა თქმა უნდა, x მიმართულება არაფრით გამოირჩევა. იგივენაირად შეგვიძლია, განვსაზღვროთ როტორF-ის დანარჩენი ორი კოორდინატი:
(როტორიF(x,y,z))j^=lim|A((x,y,z),j^)|0(1|A((x,y,z),j^)|CFdr)
(როტორიF(x,y,z))k^=lim|A((x,y,z),k^)|0(1|A((x,y,z),k^)|CFdr)
კონცეფციის შემოწმება: რას წარმოადგენს A((x,y,z),j^)?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ეს გვაძლევს სრულ განმარტებას, რადგან როტორF-ის თითოეული კომპონენტი ეთვლება.

ზოგადი ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები

თუმცა ცოტა არაელეგანტურია როტორის სამი დამოუკიდებელი ფორმულით განსაზღვრა. გარდა ამისა, როცა როტორს პრაქტიკაში იყენებთ, ხშირად მოგიწევთ როტორF ვექტორისა და რაიმე სხვა ვექტორის სკალარული ნამრავლის პოვნა, ასე რომ, გვადგება განმარტება, რომელიც შეესაბამება როტორF-ისა და ნებისმიერი ვექტორის სკალარული ნამრავლის ინტერპრეტირებაში, არა მხოლოდ - i^-ის, j^-ისა და k^-ის.
წარმოიდგინეთ, რომ ზოგადი სიბრტყე კვეთს F(x,y,z) ვექტორულ ველს:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
დავუშვათ, რომ ეს სიბრტყე განისაზღვრება, როგორც რაიმე n^ ერთეულოვანი ვექტორის მართობი, როგორიცაა:
n^=[1/31/31/3]
ახლა წარმოიდგინეთ ყველაფრის იმიტირება, რაც მანამდე x=x0 სიბრტყეზე გავაკეთეთ.
  • ვიხილავთ იმ ვექტორებად, რომლებიც სიბრტყის წერტილიდან იტოტება.
  • მათ პროქტირებას ვახდენთ სიბრტყეზე
  • ვზომავთ მიღებულ ორგანზომილებიან როტორს ამ სიბრტყეზე.
ეს საშუალებას მოგვცემს, განვსაზღვროთ სამგანზომილებიანი როტორის კომპონენტი n^ მიმართულებაში:
(როტორიF(x,y,z))n^=lim|A((x,y,z),n^)|0(1|A((x,y,z),n^)|CFdr)
ეს არის როტორის განსაზღვრება, რომელსაც მოდევნო ტექსტში შეიძლება, შევხვდეთ. ეს უცნაური განსაზღვრებაა, რადგან თავად როტორF ვექტორის განსაზღვრების ნაცვლად იგი მხოლოდ იმას საზღვრავს, თუ რა იქნება ამ ვექტორისა და ნებისმიერი სხვა რამის სკალარული ნამრავლი.
მაგრამ აქ მოცემულია, ამის ასე გაკეთება რატომაა ლოგიკური, მოუხედავად იმისა, რომ ჩახლართული გვეჩვენება: მობრუნება ორგანზომილებიანი ცნებაა და როცა მობრუნებაზე სამ განზომილებაში (მაგალითად, დედამიწის მობრუნება) ვფიქრობთ, უხერხულად ვხდებით იძულებული, ვექტორები გამოვიყენოთ. მობრუნების მოცემული ვექტორი ამბობს, რომ: „მობრუნება სინამდვილეში ხდება რაღაც ორგანზომილებიან სიბრტყეში და მე უბრალოდ გეუბნებით, თუ რა სიბრტყეა ეს.“
როცა საქმე სითხის ბრუნვას ეხება, ჩვენ გვჭირდება გზა, რომ ავიღოთ მობრუნების ნებისმიერი ვექტორი (რაც იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ ნებისმიერი სიბრტყე, რომელშიც მობრუნება ხდება) და იმის კითხვა, „რამდენად გაქვს მოცემულ წერტილთან სითხის მოძრაობა ამ ვექტორს?" როტორი გვაძლევს ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის გზას. მაგალითად, მოცემული ვექტორისთვის, რომელიც წარმოადგენს რაიმე მობრუნებას, როცა ამ ვექტორს ამრავლებთ სითხის დინების როტორზე, ეს გვეუბნება, რამდენად გამოხატავს სითხის მობრუნება ამ ვექტორით გამოხატულ მობრუნებას.

შეჯამება

  • იმისთვის, რომ როტორი განვსაზღვროთ სამ განზომილებაში, სათითაოდ ვიღებთ ორ განზომილებაში. სითხის მოძრაობის პროექტირებას ვახდენთ ერთ სიბრტყეზე და ვზომავთ ორგანზომილებიან როტორს ამ სიბრტყეზე.
  • ორ განზომილებაში მრუდის ფორმალური განსაზღვრების გამოყენებით ეს გვაძლევს გზას, რომ განვსაზღვროთ სამგანზომილებიანი როტორის თითოეული კომპონენტი. მაგალითად, x კომპონენტი შემდეგნაირად განისაზღვრება:
    (როტორიF(x,y,z))i^=განმარტებაlim|A((x,y,z),i^)|0(1|A((x,y,z),i^)|CFdr)
  • i^ შეგიძლიათ, ჩაანაცვლოთ ნებისმიერი ერთეულოვანი ვექტორით, შესაბამისად, განსაზღვრავთ, curlF-ის რა კომპონენტი უნდა იყოს ნებისმიერი მიმართულებით.

გილოცავთ!

ამ ჩახლართული განსაზღვრების სრულად გაგება იმის ნიშანია, რომ თქვენ კარგად აითვისეთ როტორებიც და წირითი ინტეგრალებიც, რომლებიც ცალკე მნიშვნელოვანი ცნებებია.
ასევე, ეს განმარტება დაგეხმარებათ, მოემზადოთ სტოქსის თეორემის კარგად გაგებაში, თემისა, რომელიც მრავალცვლადიანი კალკულუსის კენწეროში მდებარეობს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.