If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განმარტება (არჩევითი საკითხავი)

ორ განზომილებაში როტორის ფორმალური განსაზღვრება

ისწავლეთ როტორის რეალური განმარტება, რაც მოიცავს სითხის ბრუნვის მათემატიკურ ინტუიციას. ეს კარგი მომზადებაა გრინის თეორემისთვის.

რის აგებას ვცდილობთ

ორ განზომილებაში როტორი ფორმალურად განისაზღვრება, როგორც წირითი ინტეგრალის შემდეგი ზღვარი:
2d-curlF(x,y)=lim|A(x,y)|0(1|A(x,y)|CFdr)
ეს ჩახლართულია, მაგრამ ლოგიკური გახდება, როცა ნაწილ-ნაწილ ავაგებთ.

სითხის ბრუნვის ფორმალიზება

დავუშვათ, გვაქვს შემდეგი სითხე, რომლის სიჩქარე მოცემულია F(x,y) ვექტორული ველით, ისეთით, როგორიც ვნახეთ ორგანზომილებიანი როტორის სტატიაში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
თუ აქამდე არ იცოდით როტორის შესახებ, მაგრამ ახლა ისწავლეთ ვექტორულ ველზე გამავალი წირითი ინტეგრალების შესახებ, როგორ აღწერდით სითხის ბრუნვას რეგიონში?
შედარებით მარტივი მაგალითი რომ ავიღოთ, განიხილეთ შემდეგი ვექტორული ველი:
F(x,y)=[yx]
ეს არის კლასიკური საათის ისრის საწინააღმდეგო ბრუნვის ვექტორული ველი.
როგორ შეგვიძლია, სითხის ბრუნვის იდეა გავხადოთ მათემატიკური (სანამ როტორის შესახებ გავიგებდით)? ამის გაკეთების ერთი გზაა, წარმოვიდგინოთ რაიმე რეგიონის პერიმეტრზე, როგორიცაა ერთეულოვანი წრე სათავეზე წერტილით, მოძრაობა და იმის გაზომვა, სითხე თქვენთან ერთად მოძრაობს თუ საწინააღმდეგოდ თითოეულ წერტილზე.
კონცეფციის შემოწმება: დავუშვათ, C წარმოადგენს სათავეზე ცენტრის მქონე, საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული ერთეულოვანი წრეწირის პერიმეტრს. ზემოთ მოცემული F-ის ვექტორული ველის გათვალისწინებით, განიხილეთ შემდეგი წირითი ინტეგრალი:
CFdr
გამოთვლის გარეშე როგორია ინტეგრალის ნიშანი? (გაიხსენეთ, რომ სიმბოლო უბრალოდ ხაზს უსვამს იმ ფაქტს, რომ წირითი ინტეგრალი ითვლება ჩაკეტილ მრუდზე, მაგრამ იგი იგივენაირად გამოითვლება, როგორც ნებისმიერი წირითი ინტეგრალი).
აირჩიეთ 1 პასუხი:

უფრო ზოგადად, თუ რეგიონზე სითხეს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობა ახასიათებს, მოელით, რომ რეგიონის პერიმეტრის ირგვლივ ამ სითხის სიჩქარის ვექტორის წირითი ინტეგრალი დადებითი იქნება (როდესაც იგი მიმართულია საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით).
თქვენ ასევე შეგეძლოთ, წარმოგედგინათ უფრო რთული ვექტორული ველი, რომელშიც სითხე თქვენთან ერთად მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით ზოგიერთ წერტილზე, მაგრამ საწინააღმდეგო მიმართულებით დანარჩენებზე.
Fdr მნიშვნელობა დადებით იქნება, როცა სითხის მოძრაობა თქვენსას ემთხვევა და უარყოფითი, როცა - საწინააღმდეგოა. CFdr ინტეგრალი თავისებური ხმის მიმცემი სისტემაა, რომელიც ითვლის, რამდენად აბათილებს ეს განსხვავებული მიმართულებები ერთმანეთს და საბოლოოდ რომელი იმარჯვებს.

რეგიონის ზომისთვის შეცვლის უფლების დართვა

ასე რომ, მას შემდეგ, რაც მათემატიკურად გამოვსახეთ რეგიონის ირგვლივ სითხის მოძრაობის იდეა, შეიძლება, გინდათ, გამოავლინოთ წერტილის ირგვლივ სითხის ბრუნვის უფრო ჩახლართული იდეა. ამაზე რას იტყვით?
შეგიძლიათ, დაიწყოთ ამ წერტილის ირგვლივ სულ უფრო პატარა რეგიონების განხილვით, როგორებიცაა უფრო და უფრო პატარა რადიუსის მქონე წრეები და იმის ნახვა, როგორი იქნება ამ რეგიონების ირგვლივ სითხის დინება.
კონცეფციის შემოწმება:ვუბრუნდებით F=[yx] ვექტორულ ველს. იმის ნავცვლად, რომ მხოლოდ ერთეულოვან წრეს ვუყურებდეთ, დავუშვათ, რომ CR წარმოადგენს წრეს სათავეზე ცენტრითა და R რადიუსით. ეს წრე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ იქნება მიმართული.
გამოთვალეთ F-ის წირითი ინტეგრალი წრის ირგვლივ, როგორც R-ის ფუნქცია.
CRFdr=

ეს მნიშვნელობა როგორ უკავშირდება CR წრეს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

საშუალო ბრუნვა თითოეულ ერთეულოვან ფართობზე

ამ ბოლო შეკითხვის პასუხი საინტერესო რამეს გვეუბნება. რეგიონის ირგვლივ ბრუნვა, როგორც ჩანს, ამ რეგიონის პროპორციულია. რა თქმა უნდა, ეს აჩვენეთ მხოლოდ სათავეზე ცენტრის მქონე წრეებისთვის და არა ნებისმიერი შესაძლო რეგიონისთვის, მაგრამ მინიშნებას მაინც გვაძლევს. ამან შეიძლება, რაღაც იდეა მოგაწოდოთ.
საკვანძო იდეა: თუ აიღებთ CFdr-ს, რომელიც ზომავს სითხის ბრუნვას რეგიონის ირგვლივ და მას გაჰყოფთ ამ რეგიონის ფართობზე, ამან შეიძლება, მოგცეთ თითოელ ერთეულ რეგიონზე საშუალო მობრუნების ჩანაწერი.
„თითოეულ ერთეულ ფართობზე საშუალო მობრუნების“ იდეა შეიძლება, ცოტა უცნაურად მოგეჩვენოთ, მაგრამ, თუ დავუბრუნდებით როტორზე ფიქრს, დავინახავთ, რომ დაახლოებით ამას გვინდა, რომ წარმოადგენდეს როტორი. სითხის დიდ რეგიონში ბრუნვაზე ფიქრის ნაცვლად როტორმა უნდა გაზომოს, როგორი ბრუნვა ახასიათებს სითხეს წერტილთან ახლოს.
კონცეფციის შემოწმება: წინა მაგალითის ვექტორული ველი განსაკუთრებულია იმით, რომ სათავის ირგვლივ წრეების „თითო ერთეულ ფართობზე მობრუნება“ ერთი მნიშვნელობაა ყველა წრისთვის. კერძოდ რა მნიშვნელობაა ეს?

კონცეფციის შემოწმება: გაიხსენეთ, რომ 2d-როტორისთვის ფორმულაა
2d-როტორიF=F2xF1y
სადაც F1 და F2 არის F-ის კომპონენტები. შემდეგი მოცემული ფუნქციით
F(x,y)=[yx]
გამოთვალეთ F-ის როტორი.
2d-curlF=

ორგანზომილებიანი როტორის განსაზღვრა

ბოლო ორი კითხვა გვიჩვენებს, რომ „თითო ერთეულოვან ფართობზე საშუალო მობრუნება“ წრეებში, რომელთა ცენტრი სათავეზეა, ამ ფუნქციის როტორს უდრის, ყოველ შემთხვევაში - ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში. როგორც აღმოჩნდა, ეს უფრო ფართოდ სრულდება. სინამდვილეში, გზა, რომლითაც F ვექტორული ველის როტორს განვსაზღვრავთ (x,y) წერტილზე, არის თითო ერთეულოვან ფართობზე საშუალო მობრუნების ზღვარი უფრო და უფრო პატარა რეგიონებისთვის (x,y) წერტილის ირგვლივ.
აქ არის ფორმულა, რომელიც განსაზღრავს ორგანზომილებიან როტორს:
2d-როტორიF(x,y)=lim|A(x,y)|0(1|A(x,y)|CFdr)საშუალო ბრუნვა ფართობის ერთეულზე
სადაც
  • F არის ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
  • (x,y) არის რაღაც კონკრეტული წერტილი სიბრტყეზე.
  • A(x,y) წარმოადგენს იმავე რეგიონს (x,y)-ის ირგვლივ. მაგალითად, წრეს - (x,y)-ზე ცენტრით.
  • |A(x,y)| გვიჩვენებს A(x,y)-ის ფართობს.
  • lim|A(x,y)|0 გვიჩვენებს, რომ ზღვარს განვიხილავთ, როცა A(x,y)-ის ფართობი მიდის 0-სკენ, რაც იმას ნიშნავს, რომ ეს რეგიონი ვიწროვდება (x,y)-ის ირგვლივ.
  • C არის A(x,y)-ის ზღვარი, რომელიც საათის ისრის საწინააღმდეგოდაა მიმართული.
  • C არის წრფივი ინტეგრალი C-ს ირგვლივ, რომელიც იწერება, როგორც და არა , რათა ხაზი გაესვას იმ ფაქტს, რომ C დახურული მრუდია.
ეს ფორმულა გამოთვლებისთვის არაპრაქტიკულია, მაგრამ მასა და სითხის ბრუნვას შორის კავშირი გონების დაძაბვის შემდეგ ძალიან ნათელი ხდება. ძალიან ლამაზი ფაქტია ის, რომ ეს განმარტება გვაძლევს იმავე რამეს, რასაც ფორმულა, რომელიც ორგანზომილებიანი როტორის გამოსათვლელად გამოიყურება.
2d-როტორიF=F2xF1y

კონსერვატიული ვექტორული ველების კიდევ ერთი თვისება

თუ F(x,y) არის კონსერვატიული ვექტორული ველი, ყველა წირითი ინტეგრალი დახურულ ციკლში არის 0. შეხედეთ ზემოთ მოცემულ ინტეგრალს, რას გულისხმობს ის?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ეს იძლევა საინტერესო ფაქტს: თუ ვექტორული ველი კონსერვატიულია, იგი ირაციონალურია, რაც იმას ნიშნავს, რომ როტორი ყველგან ნულია.
კონკრეტულად, რადგან გრადიენტული ველები ყოველთვის კონსერვატიულია, გრადიენტის როტორი ყოველთვის ნულია. ეს ფაქტი ფორმულებზე თამაშით შეიძლება, იპოვოთ. თუმცა, მე ვფიქრობ, რომ უფრო ღრმა ცოდნას იძლევა მისი გაგება როტორის ფორმალური განმარტების გამოყენებით იმ ინტუიციასთან ერთად, თუ რატომაა გრადიენტული ველები ყოველთვის კონსერვატიული.
შებრუნებულ თეორემაზე რას ფიქრობთ? თუ ვექტორულ ველს 0 როტორი აქვს ყველგან, ნიშნავს ეს, რომ ის ყველგან კონსერვატიული უნდა იყოს?

შეჯამება

  • თუ ვექტორული ველი წარმოადგენს სითხის დინებას, შეგიძლიათ, განსაზღვროთ „სითხის დინება რეგიონში“ ამ ვექტორული ველის წირითი ინტეგრალის აღებით ამ რეგიონის საზღვარზე.
  • იმისთვის, რომ რეგიონში სითხის ბრუნვის იდეიდან გადახვიდეთ წერტილის ირგვლივ სითხის დინებამდე (რასაც როტორი ზომავს), შემოვიტან რეგიონში „ყოველ ერთეულოვან ფართობზე საშუალო ბრუნვის“ ცნებას. შემდეგ განიხილეთ, რას უახლოვდება ეს მნიშვნნელობა, როცა თქვენი რეგიონი წერტილის ირგვლივ ვიწროვდება.
  • ფორმულებში ეს გვაძლევს ორგანზომილებიანი როტორის განმარტებას შემდეგნაირად:
    2d-როტორიF(x,y)=limA(x,y)0(1|A(x,y)|CFdr)ფართობის ერთეულზე მოსული საშუალო ბრუნვა
  • როტორსა და ჩაკეტილი მარყუჟის წრფივ ინტეგრალებს შორის ამ დამოკიდებულებიდან გამომდინარეობს, რომ ირაციონალური და კონსერვატიული ველები ერთი და იგივეა.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.