ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 8: გაუს-ოსტროგრადსკის თეორემა (სტატიები)

გაუს-ოსტროგრადსკის თეორემის მაგალითები

Google–ის საკლასო ოთახი

ნახეთ, თუ როგორ უნდა გამოიყენოთ 3d დივერგენციის თეორემა ზედაპირული ინტეგრალების გასამარტივებლად.

ფონი

სამგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემა
- ნაკადი სამ განზომილებაში
  - დივერგენცია
  - სამჯერადი ინტეგრალები

დივერგენციის (გაუს–ოსტროგრადსკის) თეორემა (სწრაფი მიმოხილვა)

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

აგება:

$F (x, y, z)$ ‍ არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
$V$ ‍ არის სამგანზომილებიანი მოცულობა.
$S$ ‍ არის $V$ ‍–ის ზედაპირი.
$\hat{n}$ ‍ არის ფუნქცია, რომელიც იძლევა ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორებს $S$ ‍–ის ზედაპირზე.

აი, რას ამბობს დივერგენციის თეორემა:

$\underset{\begin{matrix} შეკრიბეთ პატარა ნაწილები \\ V -ის გარეთ მიმართული დინებისა \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} ზომავს სრულ გარე \\ ნაკადს V -ის საზღვრის გავლით \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{ნაკადის ინტეგრალი}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

აქ ინტუიცია ისაა, რომ ორივე ინტეგრალი ზომავს სიჩქარეს, რომლითაც

F

ვექტორული ველის გასწრივ მოძრავი სითხე ტოვებს

V

რეგიონს (ან შედის

V

რეგიონში, თუ ორივე ინტეგრალის მნიშვნელობა უარყოფითია). დივერგენციის სამჯერადი ინტეგრება ამას აკეთებს

V

-ის შიგნით სითხის გარეთ გადინების ყველა პატარა ნაწილის ჯამურად დათვლით, ხოლო ნაკადის ინტეგრალი მას ზომავს იმის შემოწმებით თუ რამდენი გაედინება (ან შეედინება)

V

-ის საზღვარზე.

სტრატეგიის შემუშავება

გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა საშუალებას გაძლევთ, ზედაპირის ინტეგრალები გადაიყვანოთ სამჯერად ინტეგრალებში და პირიქით, მაგრამ ეს მხოლოდ მაშინ გვადგება, როცა ერთ-ერთი მათგანი მეორეზე მარტივია. თითოეულ შემდეგ მაგალითში ყურადღება მიაქციეთ იმას, რომ შესაბამისი რეგიონის მოცულობის აღწერა უფრო ადვილია, ვიდრე - ამ რეგიონის ზედაპირის.

ზოგადად, როცა უპირისპირდებით ზედაპირის ინტეგრალს ჩაკეტილ ზედაპირზე, განიხილეთ, იქნება თუ არა ადვილი ამ ზედაპირით შემოსაზღვრული რეგიონის ინტეგრება. თუ ასეა, მნიშვნელოვანი სიგნალი იქნება იმისა, რომ გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა გამოგვადგება.

მაგალითი 1: ზედაპირის ინტეგრალი კუბში.

ამოცანა

ვთქვათ,

C

არის

1 \times 1 \times 1

კუბი, მოთავსებული სივრცეში ისე, რომ ერთი კუთხე ემთხვევა ათვლის სათავეს, ერთი კუთხე არის

(1, 1, 1)

–ზე და მისი ყველა წიბოები არის შესაბამისი საკოორდინატო ღერძების პარალელური.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ვთქვათ,

S

წარმოადგენს ამ კუბის ზედაპირს, რომელიც შედგება

6

კვადრატული წახნაგისგან, გარეთ მიმართული ნორმალური ვექტორებით. გამოთვალეთ შემდეგი ზედაპირის ინტეგრალი:

$\iint_{S} (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) \cdot d Σ$ ‍

[რა არის ეს ჩანაწერი?]

ამოხსნა

კონცეპტის შემოწმება: დივერგენციის თეორემის მიხედვით, ჩამოთვლილთაგან რომელია იმ ზედაპირის ინტეგრალის ტოლი, რომლის გამოთვლასაც გვთხოვენ?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \times (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z$ ‍
(Choice B)
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z$ ‍
(Choice C)
$6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \times (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y$ ‍
(Choice D)
$6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y$ ‍

[პასუხი]

კუბი დიდებული მაგალითია ისეთი ობიექტისა, რომლის მოცულობა ზედაპირზე მარტივია. ეს ზედაპირის ინტეგრალი პირდაპირ რომ განახორციელოთ, ცალ-ცალკე უნდა მიმართოთ

6

-ივე კვადრატულ წახნაგს. გარდა ამისა, ვექტორული ფუნქცია, რომელსაც ვაინტეგრებთ უფრო მარტივდება, როცა დივერგენციას ვიყენებთ, რასაც მალე ნახავთ. ასე რომ, გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემის გამოყენება ორმაგად გამოგვადგება!

კონცეპტის შემოწმება: გამოთვალეთ ვექტორული ფუნქციის დივერგენცია ზემოთ მოცემულ ზედაპირის ინტეგრალში.

$\nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) =$ ‍

[პასუხი]

კონცეპტის შემოწმება: გამოიყენეთ დივერგენციის თეორემა, რათა დაასრულოთ ამოცანა თქვენ მიერ გამოთვლილი დივერგენციის ჩასმით მის წინა კითხვაში თქვენ მიერ არჩეულ სამჯერად ინტეგრალში:

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \nabla \cdot (2 y \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} + 4 z \hat{k}) d x d y d z =

[პასუხი]

მაგალითი 2: ზედაპირის ინტეგრალი ცილინდრში

ამოცანა

დავუშვათ,

C

იყოს ცილინდრი, რომლის ფუძე არის წრე

x y

სიბრტყეზე

3

-ის ტოლი რადიუსით, სათავეზე ცენტრით და სიმაღლეა

5

S

წარმოადგენდეს გარეთ მიმართული ერთეულოვანი მართობული ვექტორით ორიენტირებული ცილინდრის ზედაპირს და გამოთვალეთ შემდეგი ზედაპირის ინტეგრალი:

$\iint_{S} [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}] \cdot d Σ$ ‍

ამოხსნა

როგორც წინა მაგალითში, გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემის გამოსადეგობაზე მიგვანიშნებს ის, რომ ჩვენი რეგიონის მოცულობის აღწერა უფრო ადვილია, ვიდრე - ზედაპირის. ეს განსაკუთრებით ჭეშმარიტი იქნება, თუ წინასწარ გავთვლით ცილინდრული კოორდინატებით ინტეგრებას. შესაბამისი ფუნქციის დივერგენცია მას გაამარტივებს.

კონცეპტის შემოწმება: გამოთვალეთ ვექტორული ფუნქციის დივერგენცია ზემოთ მოცემულ ინტეგრალში.

$\nabla \cdot [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}] =$ ‍

[პასუხი]

კონცეფციის შემოწმება: გამოთვალეთ ამოცანაში აღწერილი

C

ცილინდრის შიგნით დივერგენციის სამჯერადი ინტეგრალი. შეგახსენებთ, რომ მისი ფუძეა წრე

x y

-ზე

3

-ის ტოლი რადიუსით, სათავეზე ცენტრით და

5

-ის ტოლი სიმაღლით.

$∭_{C} (\nabla \cdot [\begin{matrix} x^{3} \\ y^{3} \\ x^{3} + y^{3} \end{matrix}]) d V =$ ‍

[პასუხი]

მაგალითი 3: ზედაპირის ფართობი მოცულობის ინტეგრალიდან

ამოცანა:

დივერგენციის თეორემის გამოყენებით გამოთვალეთ

1

სიგრძის რადიუსის მქონე სფეროს ზედაპირის ფართობი, თუ მოცემულია, რომ ამ სფეროს მოცულობა არის

\frac{4}{3} π

ამოხსნა

ეს წინა ორი მაგალითისგან ოდნავ განსხვავდება, არა? დავიწყოთ იმით, რომ ამოცანაში არ გვხვდება ვექტორული ველი, იმის მიუხედავდ, რომ დივერგენციის თეორემა სულ ვექტორულ ველებზეა!

თუ

S

-ით აღწერთ სფეროს ზედაპირს, მისი ზედაპირის ფართობი მოიცემა შემდეგი მაქსიმალურად მარტივი ზედაპირის ინტეგრალით:

$\iint_{S} 1 d Σ$ ‍

თუმცა, ეს არის სკალარული ფუნქციის ზედაპირის ინტეგრალი, სახელდობრ მუდმივი ფუნქცია

f (x, y, z) = 1

, მაგრამ დივერგენციის თეორემა მიესადაგება ვექტორული ველების ზედაპირის ინტეგრალებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დივერგენციის თეორემა მიესადაგება ზედაპირის ინტეგრალებს, რომლებიც ასე გამოიყურებიან:

$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

აქ

\hat{n}

არის რაიმე ფუნქცია, რომელიც იძლევა სფეროს

S

ზედაპირის ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორებს. მისი გარდაქმნა სასურველი ზედაპირის ფართობის ინტეგრალად შეგიძლიათ

F

ვექტორული ფუნქციის პოვნით, რომლისთვისაც

F \cdot \hat{n}

ყოველთვის უდრის

1

-ს.

კონცეფციის შემოწმება:

F

ვექტორული ველების შემდეგ განმარტებებს შორის რომელი იქნება იმის გარანტი, რომ

F \cdot \hat{n} = 1

შესრულდება სფეროში ყველა წერტილზე?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$F = \hat{n}$ ‍
(Choice B)
$F = \hat{n} \times (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$ ‍

[პასუხი]

კონცეფციის შემოწმება: ამ ვარიანტის გამოყენებით

F

-ისთვის გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემასთან ერთად, შემდეგ ინტეგრალებს შორის რომელი მოგვცემს ერთეულოვანი სფეროს ზედაპრის ფართობს? დავუშვათ,

B

წარმოადგენს სფეროთი შემოსაზღვრულ მოცულობას, რომელიც ასევე „ერთეულოვან ბურთულადაა“ ცნობილი.

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$∭_{B} \nabla \cdot \hat{n} d V$ ‍
(Choice B)
$∭_{B} \nabla \cdot (\hat{n} \cdot \hat{n}) d V$ ‍

[პასუხი]

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგ ფუნქციებს შორის რომელი იძლევა ერთეულოვანი სფეროს მართობულ ერთეულოვან ვექტორებს?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\hat{n} (x, y, z) = (x + y + z) (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ ‍
(Choice B)
$\hat{n} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{3}} x \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}} y \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}} z \hat{k}$ ‍
(Choice C)
$\hat{n} (x, y, z) = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ ‍

[პასუხი]

კონცეპტის შემოწმება: გამოთვალეთ ამ ფუნქციის დივერგენცია.

$\nabla \cdot \hat{n} =$ ‍

[პასუხი]

კონცეპტის შემოწმება: საბოლოოდ, თუ მოცემულია ფაქტი, რომ ერთეულოვან სფეროში მოცულობა არის

\frac{4}{3} π

, გამოთვალეთ შემდეგი ინტეგრალი:

$∭_{B} \nabla \cdot \hat{n} d V =$ ‍

[პასუხი]

[საინტერესო შესამჩნევი რამ]

შეჯამება

დივერგენციის თეორემა გამოსადეგია, როცა ამა თ ამ არის შიდა მოცულობა უფრო ადვილი აღსაწერია, ვიდრე მისი ზედაპირი.
აგრეთვე გვეხმარება, თუ შესაბამისი ვექტორული ველის დივერგენცია მას უფრო მარტივ ფუნქციად აქცევს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.