ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 8: გაუს-ოსტროგრადსკის თეორემა (სტატიები)

გაუს-ოსტროგრადსკის თეორემა 3 განზომილებაში

ასევე ცნობილი, როგორც თეორემა, დივერგენიის თეორემა არის იარაღი ზედაპირული ინტეგრალებისა და სამმაგი ინტეგრალების ერთმანეთში გადასაყვანად.

ფონი

მკაცრად საჭირო არაა, ინტუიციისთვის გამოსადეგია:

დივერგენციის ფორმალური განმარტება სამ განზომილებაში

რის აგებას ვცდილობთ

აგება
- $F (x, y, z)$ ‍ არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
  - $V$ ‍ არის სამგანზომილებიანი მოცულობა.
  - $S$ ‍ არის $V$ ‍–ის ზედაპირი.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა $F$ ‍-ის დივერგენციას $V$ ‍-ის შიგნით უკავშირებს $F$ ‍-ის გარეთ მიმართულ, $S$ ‍ ზედაპირში გამავალ, ნაკადს:

$\underset{\begin{matrix} შეკრიბეთ პატარა ნაწილები \\ V -ის გარეთ მიმართული დინებისა \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} ზომავს სრულ გარე \\ ნაკადს V -ის საზღვრის გავლით \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{ნაკადის ინტეგრალი}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

აქ ინტუიციია ისაა, რომ დივერგენცია ზომავს სითხის გადინებას ცალკეულ წერტილებზე, ხოლო ნაკადი ზომავს სითხის გადინებას მთლიანი რეგიონიდან, ასე რომ, დივერგენციის პატარა ნაწილების შეკრება იმავე მნიშვნელობას იძლევა, რასაც - ნაკადი.

ზედაპირი ჩაკეტილი უნდა იყოს

შემდგომ ტექსტში იფიქრებთ სივრცეში ზედაპირზე. მაგრამ, ვთქვათ, სტოქსის თეორემისგან განსხვავებით, გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა გამოიყენება მხოლოდ ჩაკეტილ ზედაპირებზე, ანუ, საზღვრის არმქონე ზედაპირებზე. მაგალითად, ნახევარსფერო არ არის ჩაკეტილი ზედაპირი, მას წრე აქვს საზღვარზე, ასე რომ, არ შეგიძლიათ გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემის გამოყენება.

თუმცა, თუ ნახევარსფეროს ძირზე დაუმატებთ დისკოს და განიხილავთ, რომ დისკო და ნახევარსფერო ერთ ზედაპირს აგებს, ახლა გექნებათ ჩაკეტილი ზედაპირები, რომელთა შიდა მოცულობა ნახევარი ბურთია. ამ შემთხვევაში, რაიმე მოცემული ვექტორული ველით, გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემიის გამოყენება შეიძლება ამ ორნაწილიან ზედაპირსა და ნახევარ ბურთზე.

ამის მიზეზი ისაა, რომ უნდა შეგვეძლოს ზედაპირით შემოსაზღვრულ სამგანზომილებიან მოცულობაზე საუბარი, რასაც ღია ზედაპირებისთვის აზრი არ აქვს.

ინტუიცია

თუ ინტუიციურად გესმით ნაკადი სამ განზომილებაში, სამჯერადი ინტეგრალები და გაუს-ოსტროგრადსკის ორგანზომილებიანი (დივერგენციის) თეორემა, ფაქტიურად უკვე გესმით გაუს-ოსტროგრადსკის სამგანზომილებიანი (დივერგენციის) თეორემა. საჭიროა მხოლოდ ამ კონცეპტუალური იდეების თავმოყრა.

გადინება გლობალური თვალთახედვით: ნაკადი

როცა

F (x, y, z)

სამგანზომილებიანი ვექტორული ველით წარმოდგენილია სითხის დინება,

F

-ის ნაკადი

S

ზედაპირზე ზომავს, თუ რამდენად გაედინება სითხე ამ ზედაპირში ერთეულოვან დროში. ეს იზომება შემდეგი ინტეგრალით:

$\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

ამ ინტეგრალზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - ზედაპირის დაშლაზე ბევრ პატარა ნაწილად, სადაც

d Σ

წარმოადგენს ერთ-ერთი ასეთი ნაწილის ფართობს.

\hat{n}

წარმოადგენს ფუნქციას, რომელიც იძლევა ზედაპირის თითოეულ წერტილზე ერთეულოვან მართობულ ვექტორს.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

როცა

F \cdot \hat{n}

სკალარული ნამრავლი დიდია, ეს ნიშნავს, რომ სითხე იმავე მიმართულებით მიედინება, რა მიმართულებითაც -

\hat{n}

და შესაბამისად, სითხე ზედაპირის ამ წერტილზე ჩქარა გადის. შენიშნეთ, რომ ეს იმას ნიშნავს, რომ ნაკადის ინტეგრალის სითხის დინებას დადებითად თვლის, როცა იგი იმავე მხარეს მიედინება, რა მხარესაც -

\hat{n}

ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები და უარყოფითად, როცა - ამ ვექტორების საპირისპიროდ.

ამ სტატიისთვის იფიქრეთ შემთხვევებზე, სადაც

S

ჩაკეტილი ზედაპირია, რომელიც შემოსაზღვრავს რაიმე სამგანზომილებიან

V

მოცულობას („ჩაკეტილი“ ნიშნავს, რომ მას არ აქვს ბოლოები). თუ

S

ორიენტირებულია გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით,

S

-ში გამავალი

F

-ის ნაკადი ზომავს, რამდენად სწრაფად ტოვებს სითხე

V

მოცულობას. ეს ჰგავს რეგიონის საზღვარზე ყველა კართან მისვლას, თითოეულში გამავალი სითხის ოდენობის შეკრებასა და შემავალის გამოკლებას.

$\iint_{S} \overset{\begin{matrix} სითხის რა რაოდენობა \\ გამოდის/შედის? \end{matrix}}{\overset{⏞}{F \cdot \hat{n}}} \underset{ფართობის მცირე ნაწილი}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

გადინება ლოკალური თვალთახედვით: დივერგენცია

დივერგენცია ნებისმიერ განზომილებაში ზომავს სითხის დინების ტენდენციას ზედაპირის თითოეული წერტილიდან. უფრო კონკრეტულად, თუ აიღებთ რაიმე

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

წერტილს სივრცეში და რაიმე

V_{მცირე}

პატარა მოცულობას ამ წერტილის ირგვლივ, სიჩქარე, რომლითაც

F

ვექტორულ ველზე მოძრავი სითხე ტოვებს რეგიონს, იქნება დაახლოებით შემდეგი გამოსახულების ტოლი:

$\underset{დივერგენცია}{\underset{⏟}{(\nabla \cdot F (x_{0}, y_{0}, z_{0}))}} \overset{V_{მცირე} -ს მოცულობა}{\overset{⏞}{| V_{tiny} |}}$ ‍

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დივერგენცია იძლევა ამ წერტილზე გადინების სიჩქარეს ყოველ ერთეულოვან მოცულობაზე. მიზეზი, რის გამოც იგი მოცულობაზე უნდა გამრავლდეს უშუალოდ გადინების სიჩქარის შეფასებამდე, არის ის, რომ ამ წერტილზე დივერგენცია არის რიცხვი, რომელსაც არ აინტერესებს იმ მოცულობის ზომა, რომელზეც ფიქრობთ ამ წერტილის ირგვლივ. მაგრამ გარეთ მიმართული დინების სიჩქარე პატარა მოცულობებისთვის იქნება უფრო მცირე იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ იქ ნაკლები სითხეა, რომელიც მიედინება.

დააჯამეთ ლოკალური თვალთახედვით ნაპოვნები, რათა მიიღოთ გლობალური

ახლა, სამჯერადი ინტეგრალების თამაშში შემოსაყვანად იფიქრეთ შემდეგ პროცესზე:

სამგანზომილებიანი $V$ ‍ მოცულობა დაშალეთ ბევრ პატარა ნაწილად (პატარა სამგანზომილებიან ნამცეცებად).
თითოეული ნაწილის შიგნით გამოთვალეთ $F$ ‍.
მნიშვნელობა გაამრავლეთ ნაწილის მოცულობაზე.
დააჯამეთ მიღებული.

ეს მოგცემთ

F

-ით გამოწვეულ „ჯამურ გადინებას“ მთლიან

V

მოცულობაზე, მაგრამ, როგორც ზემოთ აღვნიშნე, ეს ოდენობა ასევე იზომება

F

-ის ნაკადით

V

-ის

S

ზედაპირში.

ზემოთ ჩამოყალიბებული პროცესი ასევე აღწერს ინტუიციას სამჯერადი ინტეგრალისთვის:

$∭_{V} \overset{დივერგენცია}{\overset{⏞}{\nabla \cdot F}} \underset{\begin{matrix} მოცულობის \\ მცირე ნაწილი \end{matrix}}{\underset{⏟}{d V}}$ ‍

ამის გატოლებით

V

ზედაპირში გამავალი

F

-ის ნაკადისთვის ვიღებთ გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემას:

$\underset{\begin{matrix} შეკრიბეთ პატარა ნაწილები \\ V -ის გარეთ მიმართული დინებისა \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} ზომავს სრულ გარე \\ ნაკადს V -ის საზღვრის გავლით \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{ნაკადის ინტეგრალი}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

გამოსადეგობა

ზედაპირის ინტეგრალებიც და სამჯერადი ინტეგრალებიც ძალიან ჩახლართული გამოსათვლელი შეიძლება, იყოს. საბედნიეროდ, გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა გვაძლევს ინსტრუმენტს, რომლითაც მათი ერთმანეთში გადაყვანა შეგვიძლია და ეს ხშირად გვეხმარება, კონკრეტული რთული ზედაპირის ინტეგრალის გარდაქმნაში უფრო მარტივ მოცულობის ინტეგრალად. ეს განსაკუთრებით ეფექტურია, თუ

V

მოცულობას რაიმე ნაცნობი ფორმა აქვს, როგორიცაა - სფერო და თუ მისი დივერგენცია მარტივი ფუნქცია აღმოჩნდება.

ამ თეორემის მაგალითებით ვარჯიში შეგიძლიათ შემდეგ სტატიაში.

ეს ასევე ძლიერი თეორიული ინსტრუმენტია, განსაკუთრებით - ფიზიკისთვის. მაგალითად, ელექტროდინამიკაში საშუალებას გაძლევთ, სხვადასხვა ფუნდამენტური კანონები, როგორიცაა - გაუსის კანონი, გამოხატოთ დივერგენციით ან ზედაპირის ინტეგრალით. ეს კონცეპტუალურად ძალიან გვეხმარება. ზოგჯერ სიტუაციაზე ფიქრი ლოკალურად უფრო მარტივია, მაგალითად, სივრცის ცალკეულ წერტილებზე რა ცალკეული მუხტები ქმნის ელექტრულ ველს. ხოლო ზოგჯერ გინდათ უფრო გლობალური ხედვა, მაგალითად იმის კითხვა, თუ როგორ გადის ელექტრული ველი მთლიან ზედაპირში.

შეჯამება

გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა ამბობს, რომ, როცა დივერგენციის სამჯერადი ინტეგრალის გამოყენებით კრებთ მოცულობაში გადინებების პატარა ნაწილებს, იგი იძლევა მოცულობიდან ჯამურ გადინებას, რომელიც იზომება ამ ზედაპირში გამავალი ნაკადით.

$\underset{\begin{matrix} შეკრიბეთ პატარა ნაწილები \\ V -ის გარეთ მიმართული დინებისა \end{matrix}}{\underset{⏟}{∭_{V} div F d V}} = \underset{\begin{matrix} ზომავს სრულ გარე \\ ნაკადს V -ის საზღვრის გავლით \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{ნაკადის ინტეგრალი}{\overset{⏞}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}}}}$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.