ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 8: გაუს-ოსტროგრადსკის თეორემა (სტატიები)

2D დივერგენციის თეორემა

Google–ის საკლასო ოთახი

ეს არის გრინის თეორემის ანალოგი, მაგრამ როტორის ნაცვლად განშლადობისთვის.

ფონი

აუცილებელი არ არის, მაგრამ გვეხმარება უფრო ღრმად გაგებაში:

განშლადობის (დივერგენციის) ფორმალური განსაზღვრება

რის აგებას ვცდილობთ

2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა დივერგენციისთვის იგივეა, რაც - გრინის თეორემა როტორისთვის. ეს რეგიონის შიგნით ვექტორული ველი დივერგენციას უკავშირებს ამ რეგიონის საზღვარზე გამავალი ვექტორული ველის როტორს.
პირობა:
- $F (x, y)$ ‍ არის ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
  - $R$ ‍ არის რაიმე რეგიონი $x y$ ‍ სიბრტყეში.
  - $C$ ‍ არის $R$ ‍-ის საზღვარი.
  - $\hat{n}$ ‍ არის ფუნქცია, რომელიც იძლევა გარეთ მიმართულ $C$ ‍-ის მართობულ ერთეულოვან ვექტორს.
2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა ამბობს, რომ $C$ ‍ მრუდ ზღვარში გამავალი $F$ ‍-ის ნაკადი იგივეა, რაც - $div F$ ‍-ის ორჯერადი ინტეგრალი მთლიან $R$ ‍ რეგიონზე.
$\underset{ნაკადის ინტეგრალი}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}} = \iint_{R} div F d A$ ‍
აქ ინტუიცია ისაა, რომ $F$ ‍ წარმოადგენს სითხის დინებას, $R$ ‍-იდან გარეთ მიმართულ დინების ჯამურ სიჩქარეს, რომელიც იზომება ნაკადის ინტეგრალით, უდრის ჯამს თითოეულ წერტილზე გარეთ მიმართული პატარა დინებების ჯამს, რომელიც დივერგენციით იზომება.
ხშირად $F (x, y)$ ‍-ის კომპონენტები მოიცემა $P (x, y)$ ‍-ითა და $Q (x, y)$ ‍-ით:
$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍
ამ შემთხვევაში, როცა ორივე ინტეგრალი $P$ ‍-სა და $Q$ ‍-ს გამოყენებითაა ჩაწერილი, 2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა შემდეგნაირი იქნება:
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍
ამ ფორმით ჩაწერისას უფრ ადვილი დასანახია, რომ 2-განზომილებიანი დივერგენციის თეორემა სინამდვილეში იგივეს ამბობს, რასაც გრინის თეორემა.

ინტუიცია: გარეთ მიმართული ორი დინების სიდიდეების დაკავშირება

გლობალურად შეხედვა: ნაკადი

აქ ვუშვებ, რომ უკვე ისწავლეთ ორგანზომილებიანი ნაკადისა და იმის შესახებ, რასაც ის წარმოადგენს. კონკრეტულად ეს იძლევა ტემპს, რომლითაც ნაკადი გადის მრუდში, როგორიცაა -

C

. როცა მრუდი რაიმე რეგიონს შემოწერს, როგორიცაა -

R

, ნაკადი ზომავს სიჩქარეს, რომლითაც სითხე ტოვებს ამ რეგიონს.

თუ მოცემული გაქვთ

F (x, y)

ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს სითხის ვექტორულ ველს,

F (x, y)

-ის

C

-ში გამავალი ნაკადი იზომება შემდეგი ინტეგრალით:

$\underset{ნაკადის ინტეგრალი}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}}$ ‍

ეს ინტეგრალი მოძრაობს

C

ზღვარის თითოეულ წერტილზე და იღებს

F

-ზე მოთავსებული ვექტორის, რომლის მიმართულებაა გარეთ მიმართული ერთეულოვანი მართობული

\hat{n}

ვექტორის მიმართულება, კომპონენტს. რაც უფრო დიდია ეს მნიშვნელობა, მით უფრო სწრაფად გაედინება სითხე

R

-დან ამ წერტილზე; რაც უფრო უარყოფითია, სითხე მით უფრო შეედინება ამ წერტილში.

ლოკალურად შეხედვა: დივერგენცია

ასე ვუშვებ, რომ თქვენ ისწავლეთ სითხის მოძრაობაში „გადინების“ განსხვავებული საზომი: დივერგენცია.

F (x, y)

-ის დივერგენცია არის ფუნქცია, რომელიც გეუბნებათ, რამდენად შორდება სითხე თითოეულ

(x, y)

წერტილს.

ორგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემა აკავშირებს ამ ორ იდეას:

$\underset{სრული გარე დინება R -დან}{\underset{⏟}{\overset{ნაკადის ინტეგრალი}{\overset{⏞}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} = \underset{გარე დინების თითოეული მცირე ნაწილის ჯამი}{\underset{⏟}{\iint_{R} div F d A}}$ ‍

უფრო ღრმა გააზრება გსურთ?

ეს ინტუიცია ძალიან უნდა ჰგავდეს გრინის თეორემისას, რომელშიც რეგიონში სითხის ჯამური ბრუნვა უდრის

2d-როტორი F

-ით წარმოდგენილი ბრუნვის პატარა ნაწილების ჯამს:

$\underset{სითხის სრული ბრუნვა R -ს გარშემო}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} = \underset{ბრუნვის თითოეული მცირე ელემენტის ჯამი}{\underset{⏟}{\iint_{R} 2d-როტორი F d A}}$ ‍

თუმცა გრინის თეორამაშიც და 2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემაშიც ბრუნვის პატარა ნაწილების შეკრება ან გადინება საკმაოდ ბუნდოვანია. მიუხედავად იმისა, რომ კარგ ინტუიცურ აღქმას იძლევიან, ეს არაა ზუსტი მათემატიკა, არა?

გრინის თეორემის სტატიაში შევაბიჯე უფრო ზუსტ მსჯელობის ხაზში იმის შესახებ, თუ საიდან შემოდის როტორის ორჯერადი ინტეგრალი. ეს მოიცავდა

R

რეგიონის დაშლას და იმის ნახვას, თუ როგორ აბათილებენ კონკრეტული წირითი ინტეგრალები ერთმანეთს

R

-ში გამავალ ფენებში.

მსჯელობის თითქმის იდენტური ხაზის გამოყენება შეიძლება 2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემის საჩვენებლად. ვისაც გინდათ, უფრო სიღრმისეული წარმოდგენა შეგექმნათ, კარგი ვარჯიში იქნება თავიდან მიჰყვეთ მსჯელობის იმავე ხაზს, მაგრამ

\oint_{C} F \cdot d r

წირითი ინტეგრალი, რომელიც ზომავს დინებას

R

-ის ირგვლივ, ჩაანაცვლეთ

\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s

ნაკადით, რომელიც ზომავს სითხის გადინებას

R

-იდან.

თუ ასეთ სიღრმისეულ აღქმას ეძებთ, გირჩევთ, შეუდგეთ დივერგენციის ფორმალური განმარტებით შეირაღებულები.

დამტკიცება: ნაკადის ინტეგრალები + ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორი + გრინის თეორემა

სიღრმისეული გაგებისთვის ვარჯიში არ არის აუცილებელი 2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემის დასამტკიცებლად. სინამდვილეში, როცა დაიწყებთ იმის თქმას, თუ როგორ გამოითვლება თითოეული ინტეგრალი, ნახავთ, რომ ეს თეორემა იმავეს ამბობს, რასაც - გრინის თეორემა.

დაიწყეთ

F

-ის ჩაწერით

P (x, y)

და

Q (x, y)

კომპონენტი ფუნქციების გამოყენებით:

$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍

აქ არის ნაკადის ინტეგრალის წარმოდგენის კიდევ ერთი გზა ერთეულოვანი მართობული ვექტორის ფორმულის გამოყენებით ნაკადის ინტეგრალზე.

$\int_{C} F \cdot \hat{n} d s = \int_{C} [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}] \cdot \hat{n} d s$ ‍

შემდეგ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორი ჩავწეროთ ზოგადი წევრით.

კონცეფციის შემოწმება: თუ

[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]

ვექტორზე ვიფიქრებთ, როგორც

C

მრუდის ირგვლივ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართულ უმცირეს ნაბიჯზე,

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

აბსოლუტური სიდიდით, ჩამოთვლილთაგან რომელი წარმოადგენს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან მართობულ ვექტორს?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]$ ‍
(Choice B)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d y \\ - d x \end{matrix}]$ ‍
(Choice C)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍

[პასუხი]

ამის ჩასმით ნაკადის ინტეგრალში და გამარტივებით მივიღებთ შემდეგს:

\begin{aligned} \int_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot \hat{n} d s & = \int_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot (\frac{1}{d s} [\begin{array}{c} d y \\ - d x \end{array}]) d s \\ = \int_{C} P d y - Q d x \end{aligned}

ამ ფორმაში ჩაწერილზე პირდაპირ შეგვიძლია გრინის თეორემის გამოყენება.

კონცეფციის შემოწმება: ჩამოთვლილთაგან რომელია გრინის თეორემა, რომელშიც

C

წარმოადგენს ჩაკეტილ მრუდს, რომელიც

R

რეგიონს ერტყმის გარედან?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍
(Choice B)
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}) d A$ ‍

[პასუხი]

კონცეპტის შემოწმება: რას იღებთ, როცა იყენებთ გრინის თეორემას ნაკადის ინტეგრალზე

\int_{C} P d y - Q d x

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍
(Choice B)
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍

[პასუხი]

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ბოლო შეკითხვის პასუხის ორჯერადი ინტეგრალის შიდა გამოსახულება ნამდვილად

F

-ის დივერგენციაა:

$div F = div [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}] = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍

2-განზომილებიანი დივერგენციის თეორემის გამოყენება?

როცა საქმე მიდის წირითი ინტეგრალებსა და ორჯერად ინტეგრალებს შორის გადაყვანაზე, 2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა ფაქტიურად იმავეს ამბობს, რასაც - გრინის თეორემა. ასე რომ, ნებისმიერი კონკრეტული გამოთვლა მაგალითში, რომელიც ამ თეორემას იყენებს, არ განსხვავდება მაგალითისგან, რომელიც გრინის თეორემას იყენებს (როგორებიცაა ამ სტატიაში გრინის თეორემის მაგალითების შესახებ).

თუმცა ორგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემის სწავლას ორი უპირატესობა აქვს:

კონცეპტუალური სარგებელი: ეს არის ნაკადების, დივერგენციისა და გრინის თეორემის შესახებ თქვენი ცოდნის გარღმავების დიდებული გზა.
სტრატეგიული სარგებელი: ზოგჯერ მაგალითი, რომელშიც გრინის თეორემა არის გამოყენებული, უფრო ბუნებრივად გამოიყურება დივერგენციაზე დაყრდნობილ განმარტებაში. მაგალითად, თუ წირითი ინტეგრალი, რომლის გამოთვლაც გსურთ, იწყებს სიცოცხლეს როგორც ნაკადის ინტეგრალი, ნაცვლად იმისა, რომ ეს წირითი ინტეგრალი გავშალოთ შემდეგნაირად: $\int P d x + Q d y$ ‍ და შემდეგ გამოვიყენოთ გრინის თეორემა, და მაშინვე შენიშნავთ, რომ ის იგივეა, რაც ორჯერადად ინტეგრებული დივერგენცია.

შეჯამება

2-განზომილებიანი გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა ერთმანეთთან აკავშირებს ორგანზომილებიან ნაკადს და რეგიონში დივერგენციის ორჯერად ინტეგრალს.
$\underset{სრული გარე დინება R -დან}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}} = \underset{გარე დინების თითოეული მცირე ნაწილის ჯამი}{\underset{⏟}{\iint_{R} div F d A}}$ ‍
ხშირად $F (x, y)$ ‍ ვექტორული ველი წარმოდგენილია კომპონენტურად:
$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍
აი, როგორ გამოიყურება ორგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემა ამ შემთხვევაში:
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍
ამ ფორმით ჩაწერისას უფრო ადვილი დასანახია, რომ ორგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემა სინამდვილეში იგივეს ამბობს, რასაც გრინის თეორემა.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.