თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

ლოკალური გაწრფივება

ისწავლეთ, როგორ განაზოგადოთ მხები სიბრტყის იდეა სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის წრფივ მიახლოებად.

რის აგებას ვცდილობთ

  • ლოკალური გაწრფივება აზოგადებს მხები სიბრტყეების იდეას ნებისმიერ მრავაცვლადიან ფუნქციაში. აქ ვისაუბრებ მხოლოდ სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციების შესახებ.
  • იდეა მდგომარეობს ფუნქციის ერთ-ერთ არგუმენტთან ახლოს მის მიახლოებაში უფრო მარტივ ფუნქციასთან, რომელსაც აქვს იგივე არგუმენტი და იგივე კერძო წარმოებულის მნიშვნელობები.
  • აი, როგორ გამოიყურება ვექტორებით ჩაწერილი მიახლოებული ფუნქცია:
    Lf(x)=f(x0)მიდმივი+f(x0)მუდმივი ვექტორი(xx0)x არის ცვლადი
  • ამას ეწოდება f-ის ლოკალური გაწრფივება x0-თან ახლოს.

მხები სიბრტყეები, როგორც მიახლოებები

წინა სტატიაში ვისაუბრე ორცვლადიანი ფუნქციის გრაფიკის მხები სიბრტყის პოვნის შესახებ.
მხები სიბრტყის ფორმულა ასეთი აღმოჩდნდა.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)
T(x,y) ფუნქციას ხშირად განსხვავებული სახელი აქვს: f-ის „ლოკალუური გაწრფივება(x0,y0) წერტილზე. ამაზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - უმარტივეს ფუნქციაზე, რომელიც შემდეგ ორ თვისებას აკმაყოფილებს:
  1. ამას f-ის იგივე მნიშვნელობა აქვს (x0,y0) წერტილზე.
  2. ამას აქვს იგივე კერძო წარმოებულები, რაც - f-ს (x0,y0) წერტიილზე.
როგორც ყოველთვის მრავალცვლადიან კალკულუსში, კარგი ჩვევაა ახალ ცნებაზე მსჯელობა გრაფიკულ ინტუიციაზე დაყრდნობის გარეშე. ეს იმას არ ნიშნავს, რომ მასზე ვიზუალურად ფიქრი არ უნდა სცადოთ. ამის ნაცვლად შეგიძლიათ, იფიქროთ მხოლოდ არგუმენტის სივრცეზე, ან გრაფიკის ნაცვლად - შესაბამის გარდაქმნაზე.
ფუნდამენტურად, ლოკალური გაწრფივება ერთ ფუნქციას წერტილთან ახლოს აახლოვებს იმ ინფორმაციით, რომლის მიღებაც შეგიძლიათ ამ წერტილზე მისი წარმოებულ(ებ)ის შესახებ.
ისეთი ფუნქციის შემთხვევაში, რომელსაც ორცვლადიანი არგუმენტი და სკალარული (ანუ, არავექტორული) მნიშვნელობა აქვს, ეს შეიძლება, გამოისახოს, როგორც - მხები სიბრტყე. თუმცა, უფრო მაღალი გამოსახულებებით არ გვაქვს ვიზუალური გამოსახულების ფუფუნება, ასე რომ, მასზე ფიქრისთვის მხოლოდ მიახლოება გვრჩება.
მრავალცვლადიანი კალკულუსის რეალურ სამყაროში გამოყენებისას თითქმის არასდროს დარდობთ ნამდვილ სიბრტყეზე სივრცეში. ამის ნაცვლად, შეიძლება, გაქვთ რაიმე რთული ფუნქცია, როგორიცაა, ვთქვათ, ჰაერის წინაღობა პარაშუტზე, როგორც - სიჩქარისა და მიმართულების ფუნქცია. უშუალოდ ფუნქციაზე მუშაობა შეიძლება, რთული ან შრომატევადი იყოს, ასე რომ, გვადგება მისი მიახლოება რაიმე უფრო მარტივთან, მაგალითად - წრფივ ფუნქციასთან.

რას ვგულისხმობ „წრფივ ფუნქციაში“?

განიხილეთ ფუნქცია მრავალგანზომილებიანი არგუმენტით.
f(x1,x2,,xn)
ფუნქციას ეწოდება წრფივი, თუ მის გნმარეტებაში, ყველა კოორდინატი რაიმე მუდმივზეა გამრავლებული და სხვა არაფერი ემართებათ. მაგალითად, ეს ასეთი რამ შეიძლება, იყოს:
f(x1,x2,,xn)=2x1+3x2+5xn
წრფივადობის მთელი ისტორია უფრო ღრმად მიდის (მაშასადამე, „წრფივი ალგებრის“ საზღვრებიც), მაგრამ ჯერჯერობით ეს კონცეფციაც გვეყოფა. ტიპიურად, ყველა ცვლადის ასე ჩამოწერის ნაცვლად არგუმენტს ვექტორივით მოექცევით:
x=[x1x2xn]
და ფუნქციას სკალარული ნამრავლის გამოყენებით განსაზღვრავთ:
f(x)=[235]x
ამ სტატიის მიზნებისთვის და უფრო ზოგადად, როცა საუბრობთ ლოკალურ გაწრფივებაზე, შეგიძლიათ, ამ გამოსახულებაში მუდმივი ჩაამატოთ:
f(x)=cრაღაც მუდმივა+vრაღაც ვექტორიx
თუ პედანტურობა გინდათ, ეს აღარაა წრფივი ფუნქცია. მათ ეწოდებათ „აფინური“ ფუნქცია. მაგრამ უმეტსობა იტყოდა, „ეს, ფაქტიურად, წრფივია“.

ლოკალური გაწრფივება

ახლა დავუშვათ, თქვენს f(x) ფუნქციას არ აქვს იმის ფუფუნება, რომ წრფივი იყოს. (მსხვილად გამოსახული „x“ კვლავ წარმოადგენს მრავალგანზომილებიან ვექტორს). იგი შეიძლება, განისიზღვროს რაიმე გიჟური გამოსახულებით, ბევრად უფრო გიჟურით, ვიდრე სკალარული ნამრავლია.
ამ ლოკალური გაწრფივების იდეა მდგომარეობს ამ ფუნქციის მიახლოებაში რაიმე კონრეტული არგუმენტის მნიშვნელობასთან, x0-სთან, ახლოს ისეთ ფუნქციასთან, რომელიც არის წრფივი. კონკრეტულად, აი, ასე გამოიყურება ახალი ფუნქცია:
Lf(x)=f(x0)მუდმივი+f(x0)მუდმივი ვექტორი(xx0)x არის ცვლადი
  • შენიშნეთ, რომ x=x0-ის ჩასმისას შეგიძლიათ, დაინახოთ, რომ ორივე f და Lf ფუნქციას ექნება ერთი და იგივე მნიშვნელობა x0 არგუმენტზე.
  • ვექტორი, რომელიც მრავლდება x ცვლადზე, არის f-ის გრადიენტი კონკრეტულ არგუმენტზე, f(x0). ეს გარანტიას იძლევა, რომ ორივე ფუნქციას, f-სა და Lf-ს, ექნება ერთი და იგივე გრადიენტი ამ კონკრეტულ არგუმენტზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათი ყველა კერძო წარმოებულის ინფორმაცია ერთნაირი იქნება.
მე ვფიქრობ, რომ ამ ფორმულის გაგების საუკეთესო გზაა, თავად გამოიყვანოთ რაიმე კონკრეტული ფუნქციის კონტექსტში.

მაგალითი 1: ლოკალური გაწრფივების პოვნა.

ამოცანა: აიღეთ ფუნქცია:
f(x,y,z)=zex2y3
იპოვეთ წრფივი Lf(x,y,z) ფუნქცია, რომლისთვისაც Lf-ის და მისი ყველა კერძო წარმოებულის მნიშვნელობა შეესაბამება f-ისას შემდეგ წერტილზე:
(x0,y0,z0)=(8,4,3)
ნაბიჯი 1: f გამოთვალეთ არჩეულ წერტილზე
f(8,4,3)=

ნაბიჯი 2: ეს გამოიყენეთ თქვენი ფუნქციის დასაწერად. შემდეგი ფუნქციებიდან რომელი იქნება აუცილებლად f-ის ტოლი (x,y,z)=(8,4,3) არგუმენტზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
ორივე მათგანისთვის a, b და c ნებისმიერი მუდმივი წევრებია.

Lf-ის კერძო წარმოებულები, რომლებიც აქამდე დაწერეთ, არის ზუსტად ეს a, b და c მუდმივები. ასე რომ, თუ ფუნქციას აიძულებთ, ჰქონდეს იგივე კერძო წარმოებულის ინფორმაცია, რაც - f-ს (8,4,3) წერტილზე, ჩვენ ეს მუდმივები უნდა გავუტოლოთ f-ის შესაბამის კერძო წარმოებულებს ამ წერტილზე.
ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ f(x,y,z)=zex2y3-ის თითოეული კერძო წარმოებული
fx(x,y,z)=
fy(x,y,z)=
fz(x,y,z)=

ახლა თითეული მათგანი გამოთვალეთ (8,4,3)-ზე.
fx(8,4,3)=
fy(8,4,3)=
fz(8,4,3)=

ნაბიჯი 4: Lf-ის გამოსახულებაში a, b და c მუდმივების შეცვლით ამ კერძო წარმოებულებით რას მიიღებთ?
Lf(x,y,z)=

ახლა შენიშნეთ, რას ჰგავს ეს, როცა ვექტორის ჩანაწერით გამოსახავთ.
ეს უბრალოდ არის ზემოთ ნაჩვენები ზოგადი ფორმულის კონკრეტული ფორმა.
Lf(x)=f(x0)მუდმივი+f(x0)მუდმივი ვექტორი(xx0)x არის ცვლადი

მაგალითი 2: მიახლოებით შეფასებისთვის ლოკალური გაწრფივების გამოყენება

რაც შემდეგ მოდის არ არის პრაქტიკული გამოყენება, მაგრამ მასზე მუშაობა დაგვეხმარება აზრის ჩამოყალილებაში, თუ რას აკეთებს ლოკალური გაწრფივება.
ამოცანა: დავუშვათ, თქვენ ხართ უკაცრიელ კუნძულზე კალკულატორის გარეშე და გინდათ, მიახლოებით შეაფასოთ 2,01+0,99+9,01. რას იზამდით?
ამოხსნა:
ამ ამოცანას შეგვიძლია, შევხედოთ, როგორც - კონკეტრული სამცვლადიანი ფუნქციის გამოთვლას (2,01,0,99,9,01) წერტილზე. კონკრეტულად
f(x,y,z)=x+y+z
თქვენი არ ვიცი და მე ზუსტად არ წარმომიდგენია, როგორ უნდა გამოვთვალო კვადრატული ფესვები ხელით. ნეტავ, ეს ფუნქცია წრფივი იყოს! მაშინ მასზე ხელით მუშაობისთვის მხოლოდ რიცხვების შეკრება და გამრავლება იქნებოდა საჭირო. ჩვენ შეგვიძლია, ვიპოვოთ ლოკალური გაწრფივება ახლო წერტილთან, სადაც f-ის გამოთვლა უფრო ადვილია. შემდეგ შეგვიძლია, მივუახლოვდეთ სწორ პასუხს (2,01,0,99,9,01) წერტილზე გაწრფივებულის ამოხსნით.
წერტილი, რომელიც გვაინტერესებს, ძალიან ახლოსაა ბევრად მარტივ (2,1,9) წერტილთან, ასე რომ, ვპოულობთ f-ის ლოკალურ გაწრფივებას ამ წერტილთან ახლოს. როგორც მანამდე, ახლაც უნდა ვიპოვოთ
  • f(2,1,9)
  • f-ის ყველა კერძო წარმოებული (2,1,9)-ზე
მათგან პირველია
f(2,1,9)=2+1+9=2+1+3=2+4=2+2=4=2
როგორც ჩანს, ვიღაცამ მოსახერხებელი მნიშვნელობები აირჩია, არა?
გადავდივართ კერძო წარმოებულებზე. რადგან კვადრატული ფესვები მრავლადაა, მოდით, ჩავწეროთ x-ის წარმოებული.
ddxx=ddxx12=12x12=12x
კარგი, წავედით. უმარტივესი კერძო წარმოებულია fx
fx=xx+y+z=12x+y+z
რადგან მასში ჩაშენებულია y, fy-ისთვის საჭიროა ჯაჭვური წესის გამოყენება:
fy=yx+y+z=12x+y+z12y+z
უფრო ღრმად ჩაშენებულ z-ს დაჭირდება ჯაჭვური წესის ორჯერ გამოყენება:
fz=zx+y+z=12x+y+z12y+z12z
შემდეგ თითეული მათგანი გამოთვალეთ (2,1,9)-ზე. ეს შეიძლება, ბევრი მოგეჩვენოთ, მაგრამ ყველა მათგანი შედგება საერთო სამი საბაზო კომპონენტისგან:
12x+y+z=122+1+9=122+2=1412y+z=121+9=124=1412z=129=16
ამ მნიშვნელობების ჩასმით ჩვენს გამოსახულებაში კერძო წარმოებულებისთვის, გვექნება:
fx(2,1,9)=14fy(2,1,9)=1414=116fz(2,1,9)=141416=196
ლოკალური გაწრფივების ფორმულის გახსნით მივიღებთ შემდეგს:
Lf(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)=f(x0)+fx(x0)(xx0)+fy(x0)(yy0)+fz(x0)(zz0)=2+14(x2)+116(y1)+196(z9)
ბოლოს, ამ მთელი მუშაობის შემდეგ, შეგვიძლია, ჩავსვათ (x,y,z)=(2,01,0,99,9,01), რომ გამოვთვალოთ ჩვენი მიახლოება
2+14(2,012)+116(0,991)+196(9,019)=2+0,014+0,0116+0,0196
ამის ხელით გამოთვლა კვლავ არ არის ადვილი, მაგრამ შესაძლებელი მაინცაა. როცა მორჩებით, საბოლოო პასუხი იქნება:
2,001979
კალკულატორი რომ გამოგვეყენებინა, მოგვცემდა შემდეგ პასუხს:
2,01+0,99+9,012,001978
ჩვენი მიახლოება საკმაოდ კარგია!

რატომ გვაინტერესებს?

მიუხედავად იმისა, რომ გავრცელებული მოვლენა არაა უკაცრიელ კუნძულზე მოხვედრა, სადაც კვადრატული ფესვების გამოთვლა დაგჭირდებათ, მათემატიკისა და ინჟინერიის კონტექსტში ნამდვილად არის გავრცელებული რთულ, მაგრამ გაწარმოებად ფუნქციებზე მსჯელობა. ფრაზა, „უბრალოდ გააწრფივეთ“, იმდენად ხშირად გამოიყენება, რომ უხერხულია იმის არ ცოდნა, თუ რას ნიშნავს.
გაიხსენეთ, ლოკალური გაწრფივება ერთ ფუნქციას წერტილთან ახლოს აახლოვებს იმ ინფორმაციაზე დაყრდნობით, რომელსაც იღებთ მისი წარმოებულ(ებ)ით წერტილზე. მიუხედავად იმისა, რომ შეგიძლიათ, კომპიუტერი გამოიყენოთ ფუნქციების ამოსახსნელად, ეს ყოველთვის საკმარისი არ არის.
  • შეიძლება, გჭირდებოდეთ მისი გამოთვლა წამში მრავალ ათასჯერ და მის სრულად დამუშავებას დიდი დრო სჭირდება.
  • შეიძლება, ფუნქცია ზოგადი წევრით არცაა ჩაწერილი და თქვენ მხოლოდ რამდენიმე პარამეტრი გაქვთ მოცემული წერტილთან ახლოს, რომელთა ექსტრაპოლაცია გინდათ.
  • ზოგჯერ შეიძლება, შებრუნებული ფუნქცია გაინტერესებდეთ, რომლის პოვნა შეიძლება, მთელი ფუნქციისთვის რთული ან შეუძლებელიც კი იყოს, ხოლო წრფივი ფუნქციის შებრუნება პირდაპირ ხდება.

შეჯამება

  • ლოკალური გაწრფივება აზოგადებს მხები სიბრტყეების იდეას ნებისმიერი მრავალცვლადიანი ფუნქციისთვის.
  • იდეა მდგომარეობს ფუნქციის ერთ-ერთ არგუმენტთან ახლოს მის მიახლოებაში უფრო მარტივ ფუნქციასთან, რომელსაც აქვს იგივე არგუმენტი და იგივე კერძო წარმოებულის მნიშვნელობები.
  • აი, როგორ გამოიყურება ვექტორებით ჩაწერილი მიახლოებული ფუნქცია:
    Lf(x)=f(x0)მიდმივი+f(x0)მუდმივი ვექტორი(xx0)x არის ცვლადი
  • ამას ეწოდება f-ის ლოკალური გაწრფივება x0-თან ახლოს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.