If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 2: კვადრატული მიახლოებები (აპროქსიმაციები)

კვადრატული მიახლოება

კვადრატული მიახლოებები განაზოგადებს ლოკალური ლინეარიზაციის ცნებას, იძლევა ფუნქციის უკეთეს აპროქსიმაციას.

რის აგებას ვცდილობთ

აქაც, როგორც ლოკალური გაწრფივებისას, მიზანი არის პოტენციურად რთული მრავალცვლადიანი f ფუნქციის მიახლოება რაიმე არგუმენტთან, რომელსაც ჩავწერ x0 ვექტორის სახით. კვადრატული მიახლოება, მეორე რიგის კერძო წარმოებულების გამოყენებით, ამას უფრო მჭიდროდ აკეთებს, ვიდრე - ლოკალური გაწრფივება.
არავექტორული ფორმა
კონკრეტულ შემთხვაში, როცა f-ის არგუმენტი ორგანზომილებიანია და აახლოებთ (x0,y0) წერტილთან ახლოს, თქვენ ნახავთ, რომ კვადრატული მიახლოება შემდეგნაირი ხდება:
Qf(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+12fxx(x0,y0)(xx0)2+fxy(x0,y0)(xx0)(yy0)+12fyy(x0,y0)(yy0)2
ვექტორული ფორმა:
ამის ზოგადი ფორმა, ნებისმიერი სახის მრავალგანზომილებიანი არგუმენტის მქონე სკალარული f ფუნქციისთვის, აი, ასე გამოიყურება კვადრატული მიახლოება:
Qf(x)=f(x0)მუდმივი+f(x0)(xx0)წრფივი წევრი+12(xx0)THf(x0)(xx0)კვადრატული წევრი
ვიცი, ცოტა დამაბნეველია, მაგრამ მას მოგვიანებით ნაბიჯ-ნაბიჯს მივყვები. აქ არის თითოეული წევრის მოკლე აღწერა.
  • f არის ფუნქცია მრავალგანზომილებიანი არგუმენტითა და სკალარული მნიშვნელობით.
  • f(x0) არის f-ის x0-ზე ამოხსნილი გრადიენტი.
  • Hf(x0) არის f-ის x0-ზე ამოხსნილი ჰესეს მატრიცა.
  • x0 კონკრეტული არგუმენტია, რომელთან ახლოსაც ვაახლოებთ.
  • x ვექტორი წარმოადგენს ცვლად არგუმენტს.
  • მიახლოების Qf ფუნქციას აქვს იგივე მნიშვნელობა, რაც - f-ს x0 წერტილზე, მის ყველა კერძო წარმოებულს აქვს იგივე მნიშვნელობა, რაც - f-ისას ამ წერტილზე და მისი ყველა მეორე რიგის კერძო წარმოებულს აქვს იგი მნიშვნელობა, რაც - f-ისას ამ წერტილზე.

უფრო და უფრო მჭიდროდ მიახლოებები

წარმოიდგინეთ, რომ მოცემული გაქვთ რაიმე f(x,y) ფუნქცია ორი არგუმენტითა და ერთი მნიშვნელობით, როგორიცაა
f(x,y)=sin(x)cos(y)
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
მიზანია უფრო მარტივი ფუნქციის პოვნა, რომელიც f(x,y)-ს აახლოებს რაიმე კონკრეტულ (x0,y0) წერტილთან. მაგალითად,
(x0,y0)=(π3,π6)

ნულოვანი რიგის მიახლოება

ყველაზე მარტივი მიახლოება იქნებოდა მუდმივი ფუნქცია, რომელიც ყველგან უდრის f-ის მნიშვნელობას (x0,y0)-ზე. ჩვენ მას ვუწოდებთ „0-ოვანი რიგის მიახლოებას“.
ამ მაგალითში:
C(x,y)=sin(π3)cos(π6)=(32)32=34
ჩაწერილია აბსტრაქტულად:
C(x,y)=f(x0,y0)მუდმივი ფუნქცია
გრაფიკულად:
ამ მიახლოების C(x,y) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყე, რომელიც გადის ჩვენი ფუნქციის გრაფიკის (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილზე. ქვემოთ მოცემული ვიდეო გვიჩვენებს, როგორ იცვლება ეს მიახლოება, როცა (x0,y0) წერტილს ვამოძრავებთ.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
f-ის გრაფიკი გამოსახულია ლურჯად, მიახლოების გრაფიკი თეთრია და (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილი გამოსახულია წითლად.

პირველი რიგის მიახლოება

მუდმივი ფუნქციით ნულოვანი რიგის მიახლოება არც ისე ზუსტია. მართალია, იგი აუცილებლად უდრის f(x,y)-ს (x0,y0) წერტილზე, მაგრამ სულ ეს არის. ერთი თავით უკეთესია, თუ გამოვიყენებთ ლოკალურ გაწრფივებას, რომელიც ასევე „პირველი რიგის მიახლოებადაა“ ცნობილი.
ამ მაგალითში:
Lf(x,y)=34+34(xπ3)+34(yπ6)
ჩაწერილია აბსტრაქტულად:
Lf(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)
აქ, fx-ითა და fy-ით ჩაწერილია f-ის კერძო წარმოებულები.
გრაფიკულად:
ლოკალური გაწრფივების გრაფიკი არის f-ის გრაფიკის მხები სიბრტყე (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილზე. აქ არის ვიდეო, რომელიც გვიჩვენებს, როგორ იცვლება ეს მიახლოება, როცა ვმოძრაობთ (x0,y0) წერტილის ირგვლივ:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

მეორე რიგის მიახლოება.

თუმცა, მაინც უკეთესია კვადრატული მიახლოება, რომელსაც ასევე ეწოდება „მეორე რიგის მიახლოება“.
ამ სტატიის დარჩენილი ნაწილი ეძღვნება ასეთი მიახლოების ანალიტიკური ფორმის პოვნასა და გაგებას, მაგრამ, სანამ ჩავეფლობოდეთ, ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ეს მიახლოებები გრაფიკულად. ამ მიახლოებებზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც გრაფიკის მრუდების ჩაშენებაზე (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილზე.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

„კვადრატულში" იგულისხმება ორი ცვლადის ნამრავლი

ერთცვლადიან ფუნქციაში სიტყვა კვადრატული შეესაბამება ნებისმიერ სიტუაციას, სადაც ცვლადი კვადრატში ადის, როგორც ეს x2 წევრშია. მრავალი ცვლადის შემთხვევაში, „კვადრატულში“ იგულისმება არა მხოლოდ კვადრატული წევრები, როგორებიცაა x2 და y2, არამედ ის წევრებიც, რომლებიც ორი განსხვავებული ცვლადის ნამრავლს შეიცავს, როგორიცაა xy.
ზოგადად, ისეთი წევრების „რიგი“, რომლებიც რამდენიმე რაღაცის ნამრავლებია, როგორიცაა 3x2y3, არის ამ წევრში მამრავლი ცვლადების რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, რიგი იქნება 5: ორი x, სამი y და მუდმივს მნიშვნელობა არ აქვს.

კვადრატული ფუნქციების გრაფიკები

კვადრატულ ფუნქციაზე ფიქრის ერთი გზაა ამოზნექილობა-ჩაზნექილობის ცნება, რაც იმაზე შეიძლება, იყოს დამოკიდებული, თუ რა მიმართულებით მოძრაობთ.
თუ ფუნქცია ჩაზნეზილია, როგორც, ვთქვათ, f(x,y)=x2+y2-ის შემთხვევაში, გრაფიკი დაახლოებით ასეთი იქნება:
ამ ფიგურას, რომელიც სამგანზომილებიანი პარაბოლაა, ეწოდება პარაბოლოიდი.
თუ ფიგურა ჩაზნექილია ერთ მიმართულებაში და წრფივი მეორეში, გრაფიკი ჰგავს პარაბოლოიდურ მრუდს, რომელიც სივრცეში შემოწერს ზედაპირს. მაგალითად, ეს ხდება f(x,y)=x2+y-ის შემთხვევაში:
თუ გრაფიკი ჩაზნექილია ერთ მიმართულებაში მოძრაობისას და ამოზნექილი - მეორე მიმართულებაში მოძრაობისას, როგორც - f(x,y)=x2y2-ის შემთხვევაში, გრაფიკი უნაგირს ემსგავსება. აი, როგორ გამოიყურება ასეთი გრაფიკი:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ლოკალური გაწრფივების გზის გახსენება

იმისთვის, რომ ჩავწეროთ f ფუნქციის კვადრატული მიახლოება (x0,y0) წერტილზე, აგებას ვიწყებთ ლოკალური გაწრფივებიდან:
Lf(x,y)=f(x0,y0)მუდმივი წევრი+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)წრფივი წევრები
ღირს ლოკალური გაწრფივების პოვნის გზისთვის კიდევ ერთხელ გადახედვა, რადგან კვადრატული მიახლოების პოვნის გზა ძალიან მსგავსია.
  • დაიწყეთ მუდმივი f(x0,y0) წევრით, რომ ჩვენი მიახლოება f-ს (x0,y0) წერტილზე მაინც შეესაბამებოდეს.
  • ჩაამატეთ fx(x0,y0)(xx0) და fy(x0,y0)(yy0) წრფივი წევრები.
  • გამოიყენეთ fx(x0,y0) და fy(x0,y0) მუდმივები, რათა დარწმუნდეთ, რომ ჩვენს მიახლოებას იგივე კერძო წარმოებული აქვს, რაც - f-ს (x0,y0) წერტილზე.
  • გამოიყენეთ (xx0) და (yy0) წევრები x-ისა და y-ის ნაცვლად, რომ არ აგვერიოს ის ფაქტი, რომ ჩვენი მიახლოება უდროის f(x0,y0)-ს (x0,y0) წერტილზე.

კვადრატული მიახლოების პოვნა

კვადრატული მიახლოებისთვის ვუმატებთ (xx0)2, (xx0)(yy0), და (yy0)2 კვადრატულ წევრებს და ახლა მათ კოეფიციენტს ვწერთ, როგორც - a, b და c მუდმივებს, რომელთაც სულ მალე ამოვხნით:
Qf(x,y)=f(x0,y0)0 რიგის ნაწილი+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)1 რიგის ნაწილი+a(xx0)2+b(xx0)(yy0)+c(yy0)2კვადრატული ნაწილი
იმავე გზით, რა გზითაც დავრწმუნდით, რომ ლოკალურ გაწრფივებას აქვს იგივე კერძო წარმოებულები, რაც - f-ს (x0,y0)-ზე, ჩვენ გვინდა, რომ კვადრატულ მიახლოებას ჰქონდეს იგივე მეორე რიგის კერძო წარმოებულები, რაც - f-ს ამ წერტილზე.
ზემოთ Qf ისეთი კარგი ფორმით დავწერე, რომ მეორე რიგის წარმოებული, 2Qfx2, დამოკიდებულია მხოლოდ a(xx0)2 წევრზე.
  • სცადეთ! აიღეთ ზემოთ მოცემული Qf(x,y) გამოსახულების თითოეული წევრის მეორე რიგის კერძო წარმოებული x-ის მიმართ და შენიშნეთ, რომ ყველა მათგანი მიდის ნულთან a(xx0)2 წევრის გარდა.
მართლა სცადეთ? სერიოზულად გეუბნებით, დრო დაუთმეთ ამაზე მსჯელობას. ეს მართლა გვეხმარება იმის გაგებაში, თუ რატომაა Qf ასე გამოსახული.
ეს ფაქტი კარგია, რადგან მთლიანად ჩახლართული გამოსახულების მეორე რიგის კერძო წარმოებულის აღების ნაცვლად იგი შემდეგნაირად შეგიძლიათ, განიხილოთ:
2Qfx2(x,y)=(რამდენიმე 0)+2x2a(xx0)2+(კიდევ რამდენიმე 0)=x2a(xx0)=2a
რადგან ამის მიზანია fxx(x,y)-ზე დამთხვევა (x0,y0) წერტილზე, a შემდეგნაირად შეგიძლიათ, ამოხსნათ:
a=12fxx(x0,y0)
თავი გამოცადეთ: გამოიყენეთ მსგავსი მსჯელობა, რომ დაადგინოთ, რას უნდა უდრიდეს b და c მუდმივები.
ახლა შეგვიძლია, ჩავწეროთ საბოლოო კვადრატული მიახლოება, ექვსივე წევრით, რომლებიც ჰარმონიაში მუშაობს, რომ f-ის ქცევის იმიტაცია მოახდინოს (x0,y0)-ზე:
Qf(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+12fxx(x0,y0)(xx0)2+fxy(x0,y0)(xx0)(yy0)+12fyy(x0,y0)(yy0)2

მაგალითი: sin(x)cos(y)-ის მიახლოება

ეს მხეცი მოქმედებაში რომ ვნახოთ, იგი გამოვცადოთ შესავალში მოცემულ ფუნქციაზე.
ამოცანა: იპოვეთ შემდეგი ფუნქციის კვადრატული მიახლოება:
f(x,y)=sin(x)cos(y)
(x,y)=(π3,π6) წერტილის ირგვლივ.
ამოხსნა:
ყველა აუცილებელი ინფორმაცია რომ შევაგროვოთ, უნდა გამოვთვალოთ f(x,y)=sin(x)cos(y) და მისი ყველა კერძო წარმოებული და ყველა მეორე რიგის წარმოებული (π3,π6) წერტილზე.
f(π3,π6)=

fx(x,y)=
fx(π3,π6)=

fy(x,y)=
fy(π3,π6)=

fxx(x,y)=
fxx(π3,π6)=

fxy(x,y)=
fxy(π3,π6)=

fyy(x,y)=
fyy(π3,π6)=

თითქმის მივედით! საბოლოო ნაბიჯად ყველა ეს მნიშვნელობა ჩასვით კვადრატული მიახლოების ფორმულაში.
ასე რომ, მაგალითად, კვადრატული მიახლოების ანიმაციის გენერირებისთვის ეს ფორმულა უნდა ჩამესვა გრაფიკის ამგებ პროგრამაში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვექტორული ჩანაწერი ჰესეს გამოყენებით

ალბათ, ეს იმის თქმის გარეშე გავიარეთ, რომ კვადრატული მიახლოების გამოსახულება ძალიან გრძელია. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ f-ს სამი არგუმენტი აქვს: x, y და z. პრინციპში, შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, ეს როგორ მოხდება, fz, fxz, fzz-ის შემცველი წევრების 3-ივე კერძო წარმოებულისა და 9-ვე მეორე რიგის კერძო წარმოებულის შეკრებით, მაგრამ ეს ნამდვილი კოშმარი იქნებოდა!
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ წერთ პროგრამას 100 არგუმენტის მქონე ფუნქციის კვადრატული მიახლოების საპოვნელად. სიგიჟეა!
ეს არ უნდა იყოს ასეთი ცუდი. როცა რაიმეს პრინციპი არ არის რთული, არც მისი ჩანაწერი უნდა იყოს ჩახლართული. მართალია, კვადრატული მიახლოებები ცოტა რთულია, მაგრამ არა - აბსურდული.
ვექტორებისა და მატრიცების გამოყენებით, კერძოდ f-ის გრადიენტისა და ჰესეს მატრიცის გამოყენებით, Qf-ის კვადრატული მიახლოება შემდეგნაირად შეგვიძლია, ჩავწეროთ:
Qf(x)=f(x0)მუდმივი+f(x0)(xx0)წრფივი წევრი+12(xx0)THf(x0)(xx0)კვადრატული წევრი
მოდით, ეს დავშალოთ:
  • გამუქებული x წარმოადგენს არგუმენტის ცვლად(ებ)ს ვექტორის სახით,
    x=[xy]
    გარდა ამისა, x0 არის კონკრეტული ვექტორი არგუმენტის სივრცეში. თუ მას აქვს ორი კომპონენტი, Qf-ის ეს ფორმულა არის მანამდე მიღებულის ჩაწერის განსხვავებული გზა, მაგრამ იგი ასევე შეიძლება, წარმოადგენდეს უფრო მაღალი განზომილების ვექტორს.
  • f(x0)(xx0) სკალარული ნამრავლი გაიშლება fx(x0)(xx0), fy(x0)(yy0) ფორმის ყველა წევრის ჯამად. თუ ეს არ გეცნობათ ლოკალური გაწრფივების ვექტორული ჩანაწერიდან, თავად დაამუშავეთ იგი 2 განზომილების შემთხვევაში, რომ ნახოთ!
  • (xx0)T გამოსახულებაში პატარა T აჩვენებს ტრანსპონირებას. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ იღებთ თავდაპირველ (xx0) ვექტორს, რომელიც შემდეგნაირად გამოიყურება:
    (xx0)=[xx0yy0]
    შემდეგ მას აბრუნებთ, რომ ასეთი რამ მიიღოთ:
    (xx0)T=[xx0yy0]
  • Hf(x0) is the ჰესიანი of f.
  • (xx0)THf(x0)(xx0) გამოსახულება შეიძლება, რთული ჩანდეს, თუ ასეთი რამ ადრე არ გინახავთ. კვადრატული წევრების გამოხატვის ეს გზა საკმაოდ გავრცელებულია ვექტორულ კალკულუსსა და ვექტორულ ალგებრაში, ასე რომ, ღირს ასეთი გამოსახულების გაშლა ცხოვრებაში რამდენჯერმე მაინც. მაგალითად, სცადეთ ამაზე მუშაობა იმ შემთხვევაში, როცა x ორგანზომილებიანია, რომ ნახოთ, თუ როგორ გამოიყურება იგი.
    თქვენ უნდა იპოვოთ, რომ ეს არის იმ არავექტორული ფორმულის, რომელიც ზევით მივიღეთ, კვადრატული წილის ზუსტად 2-მაგი.

რა აზრი აქვს?

სინამდვილეში, კვადრატული მიახლოების ხელით გამოთვლა ძალიან რთულია და შეცდომა რომ არ დავუშვათ, საჭიროა მყარი ორგანიზების შენარჩუნება. პრაქტიკაში ადამიანები ზემოთ მოცემული კვადრატული მიახლოების მსგავს სამუშაოს არ ასრულებენ, მაგრამ მისი მექანიზმის ცოდნა გვადგება მინიმუმ ორი ფართო მიზეზით:
  • გამოთვლები: მაშინაც კი, თუ არასდროს არ გჭირდებათ კვადრატული მიახლოების ჩაწერა, ერთ დღეს შეიძლება, კომპიუტერის დაპროგრამება დაგჭირდეთ ამის გასაკეთებლად კონრეტულ ფუნქციაზე. მაშინაც კი, როცა სხვა ვინმეს პროგრამას იყენებთ, შეიძლება, დაგჭირდეთ იმის გაანალიზება, თუ რატომ ვერ სრულდება მიახლოება ზოგ შემთხვევაში.
  • თეორია: მეორე რიგის მიახლოების გაგება გვეხმარება წერტილთან ახლოს ზოგადი ფუნქციების ქცევაზე მსჯელობაში. ეს მომავალში დაგვეხმარება იმის დადგენაში, წერტილი ლოკალური მაქსიმუმია თუ მინიმუმი.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.