ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 4: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ოპტიმიზაცია (სტატიები)

მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი

ისწავლეთ, როგორ უნდა შეამოწმოთ, ორარგუმენტიან ფუნქციას აქვს თუ არა ლოკალური მაქსიმუმი ან მინიმუმი.

ფონი

მკაცრად საჭირო არაა, მაგრამ გამოყენებულია ერთ სექციაში:

ჰესეს მატრიცა

აგრეთვე, თუ კარგად არ იცით მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი ერთცვლადიანი კალკულუსიდან, გირჩევთ, სწრაფად მიმოიხილოთ ის აქ, რადგან ის მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის კარგი ანალოგია.

ერთცვლადიან სამყაროში, როდესაც იპოვით არგუმენტს, სადაც ფუნქცია არის

0

f^{'} (a) = 0

მეორე რიგის წარმოებულს ამ წერტილში შეუძლია, გაარკვიოს ეს არგუმენტი არის ლოკალური მაქსიმუმი თუ მინიმუმი. კერძოდ,

$f^{″} (a) > 0$ ‍ მიუთითებს დადებით ჩაზნექილობაზე, ასე რომ, $f$ ‍-ს გააჩნია ლოკალური მინიმუმი $a$ ‍-ში.
ლოკალური მინიმუმი
$f^{″} (a) < 0$ ‍ მიუთითებს უარყოფით ჩაზნექილობაზე $a$ ‍-ში, ასე რომ, $f$ ‍-ს აქვს ლოკალური მაქსიმუმი.
ლოკალური მაქსიმუმი
$f^{″} (a) = 0$ ‍-ის შემთხვევაში გაურკვეველია, რადგან ის შეიძლება, იყოს გადაღუნვის წერტილი, როგორც $f (x) = x^{3}$ ‍-ის შემთხვევაში $x = 0$ ‍-ში, ან ის შეიძლება, მაინც იყოს ლოკალური მინიმუმი/მაქსიმუმი, როგორც $f (x) = x^{4}$ ‍-ის შემთხვევაში.
გადაღუნვის წერტილი
ლოკალური მინიმუმი 0-ის ტოლი მეორე რიგის წარმოებულით

მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის დებულება

თუ ეძებთ ლოკალურ მაქსიმუმს/მინიმუმს ორცვლადიანი ფუნქციისა

f (x, y)

, პირველი ნაბიჯი არის არგუმენტი წერტილების პოვნა

(x_{0}, y_{0})

, სადაც გრადიენტი არის

0

ვექტორი.

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = 0

ეს არის წერტილები, სადაც

f

-ის გრაფიკზე მხები სიბრტყე არის ბრტყელი.

მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი გვეუბნება, ეს სტაბილური წერტილი არის ლოკალური მაქსიმუმი, ლოკალური მინიმუმი, თუ უნაგირა წერტილი. კერძოდ, იწყებთ ამის გამოთვლით:

H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}

შემდეგ მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი გრძელდება შემდეგნაირად:

თუ $H < 0$ ‍, მაშინ $(x_{0}, y_{0})$ ‍ არის უნაგირა წერტილი.

თუ $H > 0$ ‍, მაშინ $(x_{0}, y_{0})$ ‍ არის ან მინიმალური, ან მაქსიმალური წერტილი, და სვამთ კიდევ ერთ შეკითხვას:
- თუ $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ‍, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ არის ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი.
- თუ $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍, $(x_{0}, y_{0})$ ‍ არის ლოკალური მინიმუმის წერტილი.
(აგრეთვე შეგეძლოთ, $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ ‍-ის ნაცვლად გამოგეყენებინათ $f_{y y} (x_{0}, y_{0})$ ‍, ამას მნიშვნელობა არა აქვს)

თუ $H = 0$ ‍, არ გვაქვს პასუხისთვის საკმარისი ინფორმაცია.

ჰესეს დეტერმინანტი

დაიჯერებთ თუ არა, ეს საკვანძო გამოსახულება

f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}

მათემატიკის ღმერთებს არ უბოძებიათ ჩვენთვის. ეს არის ჰესეს მატრიცის დეტერმინანტი:

\begin{aligned} det (H f (x_{0}, y_{0})) & = det ([\begin{array}{cc} f_{x x} (x_{0}, y_{0}) & f_{y x} (x_{0}, y_{0}) \\ f_{x y} (x_{0}, y_{0}) & f_{y y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}]) \\ = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - f_{x y} (x_{0}, y_{0}) f_{y x} (x_{0}, y_{0}) \\ = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2} \end{aligned}

სხვა სახელმძღვანელოში, როდესაც მე ვსაუბრობ მრავალცვლადიანი კალკულუსისა და წრფივი ალგებრის კავშირებზე, ნახავთ, რა კავშირშია ეს დეტერმინანტი მაქსიმუმსა და მინიმუმთან. ამ მომენტისთვის ამ ფაქტის ცოდნა ორ რაღაცას აკეთებს:

ეს დაგეხმარებათ, გაიხსენოთ, რა არის საკვანძო გამოსახულება მეორე რიგის წარმოებულის ტესტისთვის პატარა შეცდომების დაშვების გარეშე (მაგალითად, შერეული კერძო წარმოებულის კვადრატს უმატებთ თუ აკლებთ?).
ის გვეხმარება, დავწეროთ მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი ბევრად უფრო ელეგანტურად:
- $det (H f (x_{0}, y_{0})) < 0$ ‍ ნიშნავს, რომ $f$ ‍–ს გააჩნია უნაგირა წერტილი.
- $det (H f (x_{0}, y_{0})) > 0$ ‍ ნიშნავს, რომ $f$ ‍-ს აქვს ლოკალური მაქსიმუმი ან მინიმუმი.
- $det (H f (x_{0}, y_{0})) = 0$ ‍ ნიშნავს, რომ მხოლოდ მეორე რიგის წარმოებულები არ გვაძლევენ საკმარის ინფორმაციას დასკვნის გამოსატანად.

წრფივი ალგებრის გარეშეც კი შეგვიძლია, ინტუიცია გამოვიმუშავოთ იმის შესახებ, თუ რატომ მუშაობს ეს ფუნქცია ისე, როგორც ჩვენ გვინდა.

ინტუიცია

\underset{\begin{matrix} დადებითი მხოლოდ მაშინ, როცა x და y \\ მიმართულებები „თანხმდებიან“ ჩაზნექილობის მიმართულებაზე \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{\begin{matrix} ჩაზნექილობა \\ x-ის მიმართულებით \end{matrix}}{\overset{⏞}{f_{x x} (x_{0}, y_{0})}} \overset{\begin{matrix} ჩაზნექილობა \\ y-ის მიმართულებით \end{matrix}}{\overset{⏞}{f_{y y} (x_{0}, y_{0})}}}} - \underset{\begin{matrix} რამდენი f \\ ჰგავს g (x, y) = x y \end{matrix}}{\underset{⏟}{f_{x y} (x_{0}, y_{0})^{2}}}

ჯერ ამ წევრზე გავამახვილოთ ყურადღება:

f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0})

შეგიძლიათ, მასზე ისე იფიქროთ, როგორც ჭკვიანურად კოდირებაზე იმის მიუხედავად,

f

-ის ჩაზნექილობა არის თუ არა ერთი და იგივე

x

და

y

მიმართულებებით.

მაგალითად, შეხედეთ ფუნქციას

f (x, y) = x^{2} - y^{2}

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ამ ფუნქციას აქვს უნაგირა წერტილი

(x, y) = (0, 0)

-ში. მეორე რიგის კერძო წარმოებული

x

-ის მიმართ არის დადებითი მუდმივა:

\begin{aligned} f_{x x} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial x} 2 x \\ = 2 > 0 \end{aligned}

კონკრეტულად,

f_{x x} (0, 0) = 2 > 0

და ის ფაქტი, რომ იგი დადებითია, ნიშნავს, რომ

f (x, y)

ჩაზნექილად გამოიყურება, როცა ვმოძრაობთ

x

მიმართულებით. მეორე მხრივ, მეორე რიგის კერძო წარმოებული

y

-ის მიმართ უარყოფითი მუდმივაა:

\begin{aligned} f_{y y} (x, y) & = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial y} - 2 y \\ = - 2 < 0 \end{aligned}

ეს მიუთითებს ამოზნექილობაზე, როცა

y

მიმართულებით ვმოძრაობთ. ეს შეუსაბამობა ნიშნავს, რომ უნდა გვქონდეს უნაგირა წერტილი და ეს იწერება ორი მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ნამრავლის სახით:

f_{x x} (0, 0) f_{y y} (0, 0) = (2) (- 2) = - 4 < 0

რადგან

{f_{x y} (0, 0)}^{2}

მხოლოდ დადებითი შეიძლება, იყოს, მისი გამოკლებით მთლიანი გამოსახულება კიდევ უფრო უარყოფითი გახდება.

f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}

მეორე მხრივ, როცა

f_{x x} (x_{0}, y_{0})

-ისა და

f_{y y} (y_{0}, y_{0})

-ის ნიშნებიდან ორივე დადებითი ან ორივე უარყოფითია,

x

და

y

მიმართულებები თანმხდებიან, თუ რა უნდა იყოს

f

-ის ჩაზნექილობა/ამოზნექილობა. ნებისმიერ შემთხვევაში,

f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0})

წევრი დადებითი იქნება.

მაგრამ ეს საკმარისი არ არის!

$f_{x y}^{2}$ ‍ წევრი

განიხილეთ ფუნქცია

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} + y^{2} + p x y \end{array}

სადაც

p

რაღაც მუდმივაა.

კონცეფციის შემოწმება:

f

-ის ამ განსაზღვრებით, გამოთვალეთ მისი მეორე რიგის წარმოებულები:

f_{x x} (x, y) =

f_{y y} (x, y) =

f_{x y} (x, y) =

რადგან

f_{x x} (0, 0)

-ისა და

f_{y y} (0, 0)

-ის მეორე რიგის წარმოებულები დადებითებია, გრაფიკი ჩაზნექილი გამოჩნდება, როცა სრულად

x

მიმართულებით ან სრულად

y

მიმართულებით ვიმოძრავებთ (

p

-ს მნიშვნელობა არ ექნება).

უყურეთ მოცემულ ვიდეოს, რომელშიც ჩვენ გაჩვენებთ, როგორ იცვლება ეს გრაფიკი, როცა

p

მუდმივას ვცვლით

1

-დან

3

-ად, შემდეგ ისევ

1

-ად:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რა ხდება აქ? როგორ შეიძლება, გრაფიკს ჰქონდეს უნაგირა წერტილი იმის მიუხედავად, რომ ის ჩაზნექილია როგორც

x

, აგრეთვე

y

მიმართულებით? მოკლე პასუხია, რომ სხვა მიმართულებებსაც აქვს მნიშვნელობა და ამ შემთხვევაში ისინი დაჭერილია

p x y

წევრის მიერ.

მაგალითად, თუ ცალკე გამოვყოფთ ამ

x y

წევრს და შევხედავთ

g (x, y) = x y

-ის გრაფიკს, აი, როგორ გამოიყურება ის:

მას უნაგირა წერტილები აქვს

(0, 0)

-ზე. ამის მიზეზი ის არ არის, რომ

x

და

y

მიმართულებები არ თანხმდებიან ჩაზნექილობა/ამოზნექილობაზე, არამედ ის, რომ ჩაზნექილობა/ამოზნექილობა დადებითი ჩანს

[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

დიაგონალურ მიმართულებაზე და უარყოფითი

[\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}]

მიმართულებაზე.

ვნახოთ, რას გვეუბნება მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი

f (x, y) = x^{2} + y^{2} + p x y

ფუნქციის შესახებ. მეორე რიგის წარმოებულების იმ მნიშვნელობების გამოყენებით, რომელთა გამოთვლაც ზემოთ გთხოვეს, მიიღებთ შემდეგს:

f_{x x} (0, 0) f_{y y} (0, 0) - {f_{x y} (0, 0)}^{2} = (2) (2) - p^{2}

როდესაც

p > 2

, ის არის უარყოფითი, ასე რომ,

f

-ს გააჩნია უნაგირა წერტილი. როდესაც

p < 2

, ის არის დადებითი, ასე რომ,

f

-ს გააჩნია ლოკალური მინიმუმი.

Y $f_{x y} (x_{0}, y_{0})$ ‍ ოდენობაზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - იმის გაზომვაზე, თუ რამდენად ჰგავს $f$ ‍ ფუნქცია $g (x, y) = x y$ ‍-ის გრაფიკს $(x_{0}, y_{0})$ ‍ წერტილთან ახლოს.

იმის გათვალისწინებით, თუ რამდენი მიმართულება უნდა ეთანხმებოდეს ერთმანეთს, საკმაოდ გასაკვირია, რომ მხოლოდ სამი მნიშვნელობის,

f_{x x} (0, 0)

-ის,

f_{y y} (0, 0)

-ისა და

f_{x y} (0, 0)

-ის, განხილვა გჭირდებათ.

მომდევნო სტატია უფრო დეტალურად განიხილავს მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტს.

შეჯამება

როცა იპოვით წერტილს, სადაც მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი ნულოვანი ვექტორია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ამ წერტილზე გრაფიკის მხები სიბრტყე ბრტყელია, მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი იმის გარჩევის გზაა, ეს წერტილი ლოკალური მაქსიმუმია, ლოკალური მინიმუმი თუ უნაგირა წერტილი.
მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის საკვანძო წევრი არის ეს:

H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}, y_{0})}^{2}

თუ $H > 0$ ‍, ფუნქციას აუცილებლად გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი/მინიმუმი $(x_{0}, y_{0})$ ‍ წერტილში.
- თუ $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍, ის მინიმუმია.
- თუ $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ‍, ის მაქსიმუმია.
თუ $H < 0$ ‍, ფუნქციას აუცილებლად გააჩნია უნაგირა წერტილი $(x_{0}, y_{0})$ ‍-ში.
თუ $H = 0$ ‍, არ გვაქვს პასუხისთვის საკმარისი ინფორმაცია.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

ფონი

მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის დებულება

ინტუიცია

fxy2‍ წევრი

შეჯამება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$f_{x y}^{2}$ ‍ წევრი