თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის გააზრება

მათთვის, ვისაც გსურთ, ნახოთ, რატომ მუშაობს მეორე რიგის კერძო წარმოებული, დამტკიცებას განვიხილავ აქ.  

ფონი

ბოლო სტატიაში, მე მოგეცით მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტის დებულება, მაგრამ მისი ჭეშმარიტება მხოლოდ ინტუიციურად გაგააზრებინეთ. ეს სტატია განკუთვნილია მათთვის, ვისაც მათემატიკურ დეტალებში ჩახედვა სურს, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი, თუ მეორე რიგის კერძო წარმოებულის მხოლოდ გამოყენება გსურთ.

რის აგებას ვცდილობთ

  • დავტესტოთ, არის თუ არა მრავალცვლადიანი ფუნქციის სტაბილური წერტილი ლოკალური მინიმუმი/მაქსიმუმი, გადავხედოთ ფუნქციის კვადრატულ მიახლოებას ამ წერტილში. უფრო ადვილია, გავაანალიზოთ, ამ კვადრატულ ფუნქციას გააჩნია თუ არა მაქსიმუმი/მინიმუმი.
  • ორცვლადიანი ფუნქციების შემთხვევაში, ეს დადის იმ გამოსახულების შესწავლამდე, რომელიც შემდეგნაირად გამოიყურება:
    ax2+2bxy+cy2
    ისინი ცნობილია კვადრატული ფორმების სახელით. წესი იმის შესახებ, თუ როდის არის კვადრატული ფორმა ყოველთვის დადებითი ან ყოველთვის უარყოფითი, პირდაპირ გადადის მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტში.

ერთცვლადიანი შემთხვევა კვადრატული მიახლოებით

პირველ რიგში, მინდა, ფორმალური მსჯელობა განვიხილო იმის შესახებ, თუ რატომ მუშაობს ერთცვლადიანი მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი. „ფორმალურში“ ვგულისხმობ ჩაზნექილობის არსის დაჭერას უფრო მკაცრი არგუმენტით.
ერთცვლადიან კალკულუსში, როდესაც f(a)=0 რაიმე f ფუნქციისთვის და რაიმე a არგუმენტისთვის, აი, როგორ გამოიყურება მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი:
  • f-ს გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი a-ში, თუ f(a)<0
  • f-ს გააჩნია ლოკალური მინიმუმი a-ში, თუ f(a)<0
  • თუ f(a)=0, მხოლოდ მეორე წარმოებული ვერ გაარკვევს, f-ს გააჩნია მაქსიმუმი, მინიმუმი, თუ გადაღუნვის წერტილი a-ში.
იმის გასააზრებლად, თუ რატომ მუშაობს ეს ტესტი, დაიწყეთ ფუნქციის ტეილორის მრავალწევრით მიახლოებით კვადრატულ წევრამდე, რომელიც აგრეთვე ცნობილია „კვადრატული მიახლოების“ სახელით.
f(x)f(a)+f(a)(xa)+12f(a)(xa)2
ვინაიდან f(a)=0, ეს კვადრატული მიახლოება შემდეგნაირად მარტივდება:
f(a)+12f(a)(xa)2
კვადრატული მიახლოება ლოკალურ მინიმუმში.
შენიშნეთ, (xa)20-ს x-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის, რადგან კვადრატები ყოველთვის დადებითი ან ნულია. ეს მარტივი რამ ყველაფერს გვეუბნება, რაც გვჭირდება! რატომ?
ეს ნიშნავს, რომ როდესაც f(a)>0, შეგვიძლია, ჩვენი მიახლოება შემდეგნაირად წავიკითხოთ:
f(a)+12f(a)(xa)2ეს არის 0 x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის,და უდრის 0-ს, მხოლოდ მაშინ, როცა x=a
ასე რომ, a არის ჩვენი მიახლოების ლოკალური მინიმუმი. რეალურად, ის გლობალური მინიმუმიცაა, მაგრამ ჩვენ მხოლოდ ის ფაქტი გვაინტერესებს, რომ ის ლოკალური მინიმუმია. როდესაც ფუნქციის კვადრატულ მიახლოებას გააჩნია ლოკალური მინიმუმი მიახლოების წერტილში, თვითონ ფუნქციასაც უნდა ჰქონდეს აქ ლოკალური მინიმუმი. ამაზე მეტს ვიტყვი ბოლო სექციაში, მაგრამ ამ მომენტისთვის ინტუიციურად გასაგები უნდა იყოს, რადგან ფუნქცია და მისი მიახლოება "ეხუტებიან" ერთმანეთს მიახლოების წერტილ a-სთან.
კვადრატული მიახლოება ლოკალურ მაქსიმუმში
ანალოგიურად, თუ f(a)<0, შეგვიძლია, მიახლოება შემდეგნაირად წავიკითხოთ
f(a)+12f(a)(xa)2ეს არის 0 x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის,და უდრის 0-ს, როცა x=a
ამ შემთხვევაში მიახლოებას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი x=a-ში, რაც გვაჩვენებს, რომ თვითონ ფუნქციასაც აქვს იქ ლოკალური მინიმუმი.
კვადრატული მიახლოება გადაღუნვის წერტილში არის ბრტყელი.
როდესაც f(a)=0, ჩვენი კვადრატული მიახლოება ყოველთვის უდრის მუდმივას f(a), რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი ფუნქცია გარკვეული გაგებით ზედმეტად ბრტყელია მხოლოდ მეორე რიგის წარმოებულით ანალიზისთვის.
რა უნდა გავიგოთ აქედან:
როდესაც f(a)=0, იმის გაგება, f-ს a-ში ლოკალური მინიმუმი გააჩნია თუ - მაქსიმუმი, დადის იმის გარკვევამდე, ტეილორის მიახლოების კვადრატული წევრი 12f(a)(xa)2 ყოველთვის დადებითია თუ ყოველთვის უარყოფითი.

ორი ცვლადის შემთხვევა, ვიზუალური მოთელვა

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ გაქვთ ფუნქცია f(x,y) ორი არგუმენტით და ერთი მნიშვნელობით და თქვენ პოულობთ სტაბილურ წერტილს. ანუ წერტილს, რომელშიც მისი ორივე კერძო წარმოებული არის 0,
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
ეს უფრო მოკლედ ასე იწერება
f(x0,y0)=0ნულოვანი ვექტორი
f(x0,y0)=0 გვაჩვენებს, რომ მხები სიბრტყე (x0,y0)-ში არის ბრტყელი.
იმისთვის, რომ გავარკვიოთ, ეს ლოკალური მაქსიმუმია, ლოკალური მინიმუმი, თუ არც ერთი, უნდა შევხედოთ მის კვადრატულ მიახლოებას. დავიწყოთ იმის ვიზუალური გამოსახვით, რისი გაკეთებაც გვსურს:
  • f-ს ექნება ლოკალური მინიმუმი სტაბილურ წერტილში (x0,y0) თუ ამ წერტილში კვადრატული მიახლოება არის ჩაზნექილი პარაბოლოიდი.
  • f-ს იქ ექნება ლოკალური მაქსიმუმი, თუ კვადრატული მიახლოება არის ამოზნექილი პარაბოლოიდი:
  • თუ კვადრატული მიახლოება უნაგირა ფორმისაა, f-ს არ გააჩნია არც მაქსიმუმი და არც მინიმუმი, მას აქვს უნაგირა წერტილი.
  • თუ კვადრატული მიახლოება არის ბრტყელი ერთი ან ყველა მიმართულებით, არ გვაქვს საკმარისი ინფორმაცია f-ის შესახებ დასკვნების გასაკეთებლად.

კვადრატული მიახლოების გაანალიზება

f-ის კვადრატული მიახლოების ფორმულა ვექტორული ფორმით შემდეგნაირად გამოიყურება:
Qf(x)=f(x0)მუდმივი+f(x0)(xx0)წრფივი წევრი+12(xx0)THf(x0)(xx0)კვადრატული წევრი
ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს წერტილები, რომლებშიც გრადიენტი ნულია, შეგვიძლია, ეს გრადიენტის წევრი მოვიშოროთ
Qf(x)=f(x0)+12(xx0)THf(x0)(xx0)
ამის ორცვლადიანი შემთხვევის სანახავად, მოდით, გავშალოთ ჰესეს წევრი,
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(xx0)2+fxy(x0,y0)(xx0)(yy0)+12fyy(x0,y0)(yy0)2
(შენიშვნა: თუ ეს მიახლოება ან ნებისმიერი ნოტაცია გეუცხოვებათ, გადახედეთ ამ სტატიას კვადრატულ მიახლოებებზე).
როგორც ერთცვლადიანი შემთხვევით განახეთ, ჩვენი სტრატეგიაა იმის შესწავლა, ამ მიახლოების კვადრატული წევრი ყოველთვის დადებითია, თუ ყოველთვის უარყოფითი.
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(xx0)2+fxy(x0,y0)(xx0)(yy0)+12fyy(x0,y0)(yy0)2}არის თუ არა 0?არის თუ არა 0?შეიძლება ნებისმიერი იყოს?
ეს დასაწერად დიდი წევრია, მაგრამ შეგვიძლია, მისი არსის შეცვლის გარეშე ის შემდეგნაირად გადავწეროთ:
ax2+2bxy+cy2
ასეთ გამოსახულებებს ჰქვია "კვადრატული ფორმები".
  • სიტყვა „კვადრატული“ გვაცნობებს, რომ წევრები მეორე თანრიგისაა, რაც ნიშნავს, რომ ისინი მოიცავენ ორი ცვლადის ნამრავლს.
  • სიტყვა „ფორმა“ ყოველთვის მჭედავდა და ის კვადრატული ფორმის იდეას უფრო რთულად წარმოაჩენს, ვიდრე ის რეალურად არის. მათემატიკოსები ამბობენ „კვადრატულ ფორმას“ „კვადრატული გამოსახულების“ ნაცვლად, რათა ხაზი გაუსვან, რომ ყველა წევრი არის მე-2 თანრიგის და რომ არ არის არც ერთი წრფივი ან მუდმივი წევრი გამოსახულებაში. ფრაზა, როგორიცაა „წმინდად კვადრატული გამოსახულება“, იქნებოდა ზედმეტად აზრიანი და გასაგები.
იმისთვის, რომ კვადრატული ფორმების ჩანაწერის განზოგადება გაადვილდეს მაღალ განზომილებებში, ისინი ხშირად იწერება M სიმეტრიული მატრიცის მიმართ
xMx=[xy][abbc][xy]
აი, უმნიშვნელოვანესი შეკითხვა:
  • როგორ გავიგოთ, გამოსახულება ax2+2bxy+cy2 ყოველთვის დადებითია, ყოველთვის უარყოფითი, თუ არც ერთი, მხოლოდ a, b და c მუდმივების გაანალიზებით?

კვადრატული ფორმების გაანალიზება

თუ y-ში ჩავსვამთ მუდმივ მნიშვნელობა y0-ს, მივიღებთ ერთცვლადიან კვადრატულ ფუნქციას:
ax2+2bxy0+c(y0)2
ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა და ის x ღერძს გადაკვეთს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ კვადრატულ ფუნქციას გააჩნია ნამდვილი ფესვები.
კვადრატული ორი ნამდვილი ფესვით შეიძლება, იყოს დადებითიც და უარყოფითიც.
წინააღმდეგ შემთხვევაში ის ან რჩება მთლიანად დადებითი, ან მთლიანად უარყოფითი, გააჩნია a-ს მნიშვნელობას.
კვადრატული არც ერთი ნამდვილი ფესვით შეიძლება, იყოს ან მთლიანად დადებითი ან მთლიანად უარყოფითი.
შეგვიძლია, ამ გამოსახულებაზე გამოვიყენოთ კვადრატული განტოლების ფორმა, რათა ვნახოთ, მისი ფესვები ნამდვილია თუ - კომპლექსური.
ax2+2bxy0+c(y0)2
  • წამყვანი წევრი არის a.
  • წრფივი წევრი არის 2by0.
  • მუდმივი წევრი არის cy02
კვადრატული განტოლების ფორმულის გამოყენება შემდეგნაირად გამოიყურება:
2by0±(2by0)24acy022a2by0±2y0b2ac2ay0(b±b2aca)
თუ y0=0, კვადრატულს აქვს ორი ფესვი x=0-ში, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა ეხება x ღერძს ამ წერტილში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს ფესვები ნამდვილია თუ არა დამოკიდებულია მხოლოდ გამოსახულება b2ac-ს ნიშანზე.
  • თუ b2ac0, არის ნამდვილი რიცხვები, ასე რომ, ax2+2bxy0+c(y0)2-ის გრაფიკი კვეთს x ღერძს.
  • წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ b2ac<0, არ გვაქვს არც ერთი ნამდვილი ფესვი, ასე რომ, ax2+2bxy0+c(y0)2-ის გრაფიკი რჩება ან მთლიანად დადებითი, ან მთლიანად უარყოფითი.
მაგალითად, განვიხილოთ შემთხვევა
  • a=1
  • b=3
  • c=5
ამ შემთხვევაში, b2ac=32(1)(5)=4>0, ასე რომ f(x)=x2+6xy0+5y02-ის გრაფიკი ყოველთვის კვეთს x ღერძს. აქ მოცემულია ვიდეო, რომელშიც ნაჩვენებია, როგორ მოძრაობს ეს გრაფიკი, როცა y0-ის მნიშვნელობას ნელა ვცვლით.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ f(x,y)=x2+6xy+5y2-ის გრაფიკი შეიძლება, იყოს როგორც დადებითი, აგრეთვე - უარყოფითი.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამის საპირისპიროდ, განვიხილოთ შემთხვევა
  • a=2
  • b=2
  • c=3
ახლა, b2ac=22(2)(3)=2<0. ეს ნიშნავს, რომ f(x)=2x2+4xy0+3y02-ის გრაფიკი არასოდეს კვეთს x-ღერძს, თუმცა ის ეხება მას, თუ y0 მუდმივა არის 0. აი, ვიდეო, რომელიც გაჩვენებთ, როგორ იცვლება ეს გრაფიკი, როცა y0 მუდმივას ვუცვლით მნიშვნელობებს:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ მრავალცვლადიანი ფუნქცია f(x,y)=2x2+4xy+3y2 ყოველთვის დადებითია.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

კვადრატული ფორმების ნიშნის წესი

თითქოს, იმ მოსწავლეების დასაბნევად, რომლებმაც კვადრატული განტოლების ფორმულა იციან, კვადრატულ ფორმებთან დაკავშირებული წესები ხშირად არის ფრაზირებული acb2-ის მიმართ და არა b2ac-ის მიმართ. ვინაიდან ერთი არის მეორის უარყოფითი, ეს საჭიროებს შეცვლას, როცა ამბობთ 0 და როცა ამბობთ 0. მათემატიკოსებს იმიტომ ურჩევნიათ acb2, რომ ის არის კვადრატული ფორმის აღმწერი მატრიცის დეტერმინანტი.
det([abbc])=acb2
შეგახსენებთ, აი, ასე გამოიყურება კვადრატული ფორმა მატრიცის გამოყენებით.
ax2+2bxy+cy2=[xy][abbc][xy]
ამ შეთანხმებისა და წინა სექციის მიგნების გამოყენებით კვადრატული ფორმის ნიშნის წესს ვწერთ შემდეგნაირად:
  • თუ acb2<0, კვადრატულ ფორმას შეუძლია, მიიღოს როგორც დადებითი, აგრეთვე უარყოფითი მნიშვნელობები და აგრეთვე შესაძლოა, ის უდრიდეს 0-ს მნიშვნელობებზე (x,y)=(0,0)-ის გარდა.
  • თუ acb2>0 ფორმა არის ან ყოველთვის დადებითი, ან ყოველთვის უარყოფითი, რაც დამოკიდებულია a-ს ნიშანზე, მაგრამ ორივე შემთხვევაში ის 0-ს უდრის მხოლოდ (x,y)=(0,0)-ში.
    • თუ a>0, ფორმა ყოველთვის დადებითია, ასე რომ, (0,0) არის ფორმის გლობალური მინიმუმის წერტილი.
    • თუ a<0, ფორმა ყოველთვის უარყოფითია, ასე რომ, (0,0) არის ფორმის გლობალური მაქსიმუმის წერტილი.
  • თუ acb2=0, ფორმა ისევ იქნება ან ყოველთვის დადებითი, ან ყოველთვის უარყოფითი, მაგრამ ახლა შესაძლებელია, ის უდრიდეს 0-ს მნიშვნელობებზე გარდა (x,y)=(0,0)-ისა

ცოტაოდენი ტერმინოლოგია:

როცა ax2+2bxy+cy2>0 ყველა (x,y)-ისთვის (x,y)=(0,0)-ის გარდა, კვადრატულ ფორმასაც და მასთან დაკავშირებულ მატრიცასაც ეწოდება დადებითი განსაზღვრული.
როცა ax2+2bxy+cy2<0 ყველა (x,y)-ისთვის (x,y)=(0,0)-ის გარდა, ორივეს ეწოდება უარყოფითი განსაზღვრული.
თუ >-სა და <-ს შეცვლით -ითა და -ით, შესაბამისი თვისებებია დადებითი ნახევრად განსაზღვრული და უარყოფითი ნახევრად განსაზღვრული.

ამის გამოყენება Qf-ზე

დავბრუნდეთ იქ, საიდანაც დავიწყეთ, კიდევ ერთხელ ჩავწეროთ ჩვენი კვადრატული მიახლოება:
Qf(x,y)=f(x0,y0)+12fxx(x0,y0)(xx0)2+fxy(x0,y0)(xx0)(yy0)+12fyy(x0,y0)(yy0)2
Qf-ის კვადრატული პორცია ჩაწერილია (xx0)-ისა და (yy0)-ის მიმართ უბრალოდ x-ისა და y-ის ნაცვლად, ასე რომ, ყველგან, სადაც კვადრატული ნიშნის წესი მიუთითებს (0,0) წერტილს, მას ვიყენებთ (x0,y0) წერტილზე.
როგორც ერთცვლადიანის შემთხვევაში, Qf კვადრატულ მიახლოებას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი (ან მინიმუმი) (x0,y0)-ზე, რაც ნიშნავს, რომ f-ს აქვს ლოკალური მაქაიმუმი ან (მინიმუმი) ამ წერტილზე. ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული ფორმის ნიშნის წესი ისე შეგვიძლია, გადავაკეთოთ, რომ პირდაპირ მეორე რიგის წარმოებულის ტესტი მივიღოთ:
ვთქვათ, f(x0,y0)=0, მაშინ
  • თუ fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2<0, f-ს არ გააჩნია არც მინიმუმი და არც მაქსიმუმი (x0,y0)-ში, მას აქვს უნაგირა წერტილი.
  • თუ fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2>0, f-ს აუცილებლად გააჩნია ან მინიმუმი ან მაქსიმუმი (x0,y0)-ში და ჩვენ უნდა შევხედოთ fxx(x0,y0)-ის ნიშანს, რათა გავიგოთ, რომელია.
    • თუ fxx(x0,y0)>0, f–ს გააჩნია ლოკალური მინიმუმი.
    • თუ fxx(x0,y0)<0, f-ს გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი.
  • თუ fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2=0, მხოლოდ მეორე წარმოებულებით ვერ გავარკვევთ f-ს ლოკალური მინიმუმი აქვს თუ - მაქსიმუმი.

ჩვენი ახლანდელი არსენალი არასრულყოფილია

აქ მოცემული ყველაფერი თითქმის ქმნის სრულყოფილ დამტკიცებას, გარდა ერთი ბოლო ნაბიჯისა.
ინტუიციურად, შეიძლება, ლოგიკური იყოს, რომ, როცა კვადრატული მიახლოება ხრის და ამრუდებს კონკრეტული გზით, ფუნქცია უნდა მოიხაროს და გამრუდდეს იმავენაირად მიახლობის წერტილთან ახლოს. მაგრამ როგორ გავცდეთ ინტუიციას და გავაფორმალუროთ?
სამწუხაროდ, აქ ამას არ გავაკეთებთ. წარმოებულებზე დეტალურად მსჯელობისთვის საჭიროა რეალური ანალიზი, კალკულუსის თეორიული ფუნდამენტი.
გარდა ამისა, შეიძლება, გაინტერესებდეთ, როგორ განაზოგადოთ ორ არგუმენტზე მეტის მქონე ფუნქციები. არსებობს მრავალი ცვლადით კვადრატული ფორმის ჩანაწერი, მაგრამ იმის თქმა, თუ როდისაა ასეთი ფორმა ყოველთვის დადებითი ან ყოველთვის უარყოფითი, იყენებს წრფივი ალგებრის მრავალ იდეას.

შეჯამება

  • დავტესტოთ, არის თუ არა მრავალცვლადიანი ფუნქციის სტაბილური წერტილი ლოკალური მინიმუმი/მაქსიმუმი, გადავხედოთ ფუნქციის კვადრატულ მიახლოებას ამ წერტილში. უფრო ადვილია, გავაანალიზოთ, ამ კვადრატულ ფუნქციას გააჩნია თუ არა მაქსიმუმი/მინიმუმი.
  • ორცვლადიანი ფუნქციების შემთხვევაში, ეს დადის იმ გამოსახულების შესწავლამდე, რომელიც შემდეგნაირად გამოიყურება:
    ax2+2bxy+cy2
    ისინი ცნობილია კვადრატული ფორმების სახელით. წესი იმის შესახებ, თუ როდის არის კვადრატული ფორმა ყოველთვის დადებითი ან ყოველთვის უარყოფითი, პირდაპირ გადადის მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტში.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.