ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 4: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ოპტიმიზაცია (სტატიები)

მაქსიმუმი, მინიმუმი და უნაგირა წერტილები

Google–ის საკლასო ოთახი

ისწავლეთ, როგორ გამოიყურება მაქსიმუმი და მინიმუმი მრავალცვლადიანი ფუნქციისთვის.

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

ინტუიციურად, როცა გრაფიკებით ფიქრობთ, მრავალცვლადიანი ფუნქციების ლოკალური მაქსიმუმი მწვერვალია, როგორც ეს არის ერთცვლადიან ფუნქციებში.
მაქსიმუმის წერტილზე მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი იქნება ნულოვანი ვექტორი, რომელიც შეესაბამება იმას, რომ გრაფიკს ბრტყელი მხები სიბრტყე აქვს.
ფორმალურად რომ ვთქვათ, ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი არის არგუმენტის სივრცეში ისეთი წერტილი, რომლის ყველა არგუმენტი ამ წერტილთან ახლოს პატარა რეგიონში იძლევა უფრო ნაკლებ მნიშვნელობებს, როცა ისმება მრავალცვლადიან f ფუნქციაში.

[შენიშვნა სიბრტყეებისა და ჰიპერსიბრტყეების შესახებ.]

ოპტიმიზაცია უფრო მაღალ განზომილებებში

კალკულუსის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენებაა მისი უნარი, მიაგნოს ფუნქციის მაქსიმუმს ან მინიმუმს.

დავუშვათ, თქვენ აღმოჩდნით კომპანიის სათავეში და შეადგინეთ ფუნქცია, რომ გამოგესახათ, თუ რამდენ ფულს უნდა ელოდეთ სხვადასხვა პარამეტრებზე დაყრდნობით, როგორებიცაა თანამშრომლების ხელფასები, ნედლი მასალების ფასი და ა.შ. და გინდათ, იპოვოთ რესურსების სწორი კომბინაცია, რომლებიც მოგების მაქსიმიზაციას მოახდენს.
შეიძლება, თქვენ მანქანის დიზაინს ქმნით იმ იმედით, რომ უფრო აეროდინამიურს გახდით და თქვენ შეადგინეთ ფუნქცია, რომ გამოგესახათ ქარის ჯამური წინააღმდეგობა, როგორც ფუნქცია ბევრი პარამეტრით, რომლებიც განსაზღვრავენ მანქანის ფორმას და გინდათ, იპოვოთ ფორმა, რომელიც ჯამური წინააღმდეგობის მინიმიზაციას მოახდენს.
სამანქანო სწავლებაში და ხელოვნურ ინტელექტში გზა, რომლითაც კომპიუტერი „სწავლობს“ რაღაცის გაკეთებას, არის იმ „ღირებულების ფუნქციის“ მინიმიზაცია, რომელიც პროგრამისტმა დაასახელა.

ლოკალური მაქსიმუმი და მინიმუმი ვიზუალურად

მოდით, დავიწყოთ ამ მრავალცვლადიან ფუნქციებზე ფიქრით, რომელთა გრაფიკების აგებაც შეგვიძლია: კერძოდ, ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და სკალარული მნიშვნელობის მქონეებზე, როგორიცაა:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, e, start superscript, minus, x, squared, minus, y, squared, end superscript

ეს ფუნქცია ავირჩიე, რადგან მას ბევრი პატარა ბორცვი და მწვერვალი აქვს. ერთ-ერთ ასეთ მწვერვალს ვუწოდებთ ლოკალურ მაქსიმუმს და მრავლობითში - ლოკალურ მაქსიმუმებს.

left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილს მწვერვალის არგუმენტის სივრცეში (რაც ამ შემთხვევაში არის x, y სიბრტყე) ეწოდება ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი.
ფუნქციის მნიშვნელობა ლოკალური მაქსიმუმის წერტილზე, რომლის გამოსახვა შეგიძლიათ ამ წერტილიდან გრაფიკის სიმაღლის სახით, არის თავად ლოკალური მაქსიმუმი.

სიტყვა „ლოკალური“ გამოიყენება მისი განცალკევებისთვის ფუნქციის გლობალური მაქსიმუმისგან, რომელიც არის უმაღლესი მნიშვნელობა, რომელსაც შეუძლია, მიაღწიოს ფუნქციამ. თუ მთის მწვერვალზე ხართ, ეს ლოკალური მაქსიუმია, მაგრამ იგი არ არის გლობალური მწვერვალი, თუ ეს მთა ევერესტი არ არის.

ამ სტატიის ბოლოს მოგცემთ ლოკალური მაქსიმუმის წერტილის ფორმალურ განმარტებას. ინტუიციურად, ეს არის განსაკუთრებული წერტილი არგუმენტის სივრცეში, სადაც ნებისმიერი მიმართულებით პატარა ნაბიჯის გადადგმას შეუძლია ფუნქციის მნიშვნელობის მხოლოდ შემცირება.

ამის მსგავსად, თუ გრაფიკს აქვს შებრუნებული მწვერვალი წერტილზე, ვამბობთ, რომ ფუნქციას აქვს ლოკალური მინიმუმის წერტილი left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis მნიშვნელობაზე ამ წერტილის ზევით/ქვევით x, y სიბრტყეზე და ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილზე არის ლოკალური მინიმუმი. ინტუიციურად ეს ის წერტილებია, რომლებიდანაც ნებისმიერი მიმართულებით ნაბიჯის გადადგმა გაზრდის ფუნქციის მნიშვნელობას.

სტაბილური წერტილი ერთ ცვლადში (გახსენება)

შეიძლება, გახსოვდეს ლოკალური მაქსიმუმის/მინიმუმის იდეა ერთცვლადიანი კალკულუსიდან, სადაც ბევრი ასეთი ამოცანა შეგიძლიათ, ნახოთ:

კონცეფციის შემოწმება: x-ის რა მნიშვნელობისთვისაა f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 5 უდიდესი? რას უდრის უდიდესი მნიშვნელობა?

x, equals

f-ის მაქსიმალური მნიშვნელობაა

ზოგადად, f ფუნქციის ლოკალური მაქსიმუმი და მინიმუმი შეისწავლება არგუმენტის ისეთი a მნიშვნელობების ძებნით, სადაც f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0. ამის მიზეზი ის არის, რომ როცა ფუნქცია უწყვეტი და დიფერენცირებადია, მხები წრფეები მწვერვალებსა და ველებზე გაბრტყელდება ისე, რომ მათი დახრილობა იქნება 0.

ასეთ a წერტილს სხვადასხვა სახელები აქვს:

სტაბილური წერტილი
კრიტიკული წერტილი
უძრავი წერტილი

ყოველი მათგანი ერთსა და იმავეს ნიშნავს: f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0

იმის მოთხოვნა, რომ f უწყვეტი და დიფერენცირებადი იყოს, მნიშვნელოვანია, რადგან იგი რომ არ იყოს უწყვეტი, წყვეტის მარტო მყოფი წერტილი შეიძლებოდა, ლოკალური მაქსიმუმი ყოფილიყო:

თუ f უწყვეტი და დიფერენცირებადია, ლოკალური მაქსიმუმი შეიძლება, ასე გამოიყურებოდეს:

ნებისმიერ შემთხვევაში, მხებ წრფეებზე საუბარი მათ მაქსიმუმ წერტილებზე სინამდვილეში არ არის ლოგიკური, არა?

თუმცა, მაშინაც კი, როცა f ფუნქცია უწყვეტი და დიფერენცირებადია, საკმარისი არ არის, რომ წარმოებული 0 იყოს, რადგან ეს გადაღუნვის წერტილებზეც ხდება:

ეს იმას ნიშნავს, რომ სტაბილური წერტილების პოვნა კარგი გზაა მაქსიმუმის ძებნის დასაწყებად, მაგრამ ეს აუცილებლად ბოლო არ არის.

სტაბილური წერტილები ორ ცვლადში

ამბავი ძალიან მსგავსია მრავალცვლადიანი ფუნქციების შემთხვევაში. როცა ფუნქცია უწყვეტი და დიფერენცირებადია, ყველა კერძო წარმოებული იქნება 0 ლოკალურ მაქსიმუმზე ან მინიმუმზე.

\begin{aligned} \quad \underbrace{ f_\blueE{x}(x_0, y_0, \dots) }_{\text{ნაწილობითი $\blueE{x}$-ით}} &= 0 \\ \underbrace{ f_\redE{y}(x_0, y_0, \dots) }_{\text{ნაწილობითი $\redE{y}$-ით}} &= 0 \\ &\vdots \end{aligned}

ფუნქციის გრაფიკის მიმართ ეს ნიშნავს, რომ მისი მხები სიბრტყე იქნება ბრტყელი ლოკალურ მაქსიმუმსა თუ მინიმუმზე. მაგალითად, აქ არის გრაფიკი ბევრი ლოკალური ექსტრემუმითა და ბრტყელი მხები სიბრტყეებით თითოეულზე:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

იმის თქმა, რომ ყველა კერძო წარმოებული ნულია წერტილზე, არის იგივე იმის თქმა, რომ ამ წერტილზე გრადიენტი არის ნულოვანი ვექტორი:

\begin{aligned} &\phantom{=} \nabla f(x_0, y_0, \dots) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} f_\blueE{x}(x_0, y_0, \dots) \\ f_\redE{y}(x_0, y_0, \dots) \\ \vdots \end{array} \right] \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}

ხალხი ამას ხშირად კომპაქტურად წერს შემდეგნაირად:

del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text

აქ შეთანხმებაა, რომ გამუქებული ცვლადი ვექტორია. ასე რომ, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript არის ვექტორი არგუმენტის left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis მნიშვნელობებით და start bold text, 0, end bold text არის ვექტორი ყველა ნულით.

ასეთი start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript არგუმენტი გვაძლევს იმავე განსხვავებულ სახელებს, როგორიც ერთცვლადიანის შემთხვევაშია:

სტაბილური წერტილი
უძრავი წერტილი
კრიტიკული წერტილი

„სტაბილურსა“ და „უძრავში“ ის აზრი დევს, რომ როცა ამ არგუმენტის ირგვლივ ოდნავ მოძრაობთ, ამ ფუნქციის მნიშვნელობა მნიშვნელოვნად არ იცვლება. სიტყვა კრიტიკული ყოველთვის ძალიან დრამატულად მეჩვენებოდა, თითქოს ფუნქცია ამ წერტილებზე სიკვდილის პირას იყოს.

როგორც ერთცვლადიანი ფუნქციების შემთხვევაში, საკმარისი არ არის გრადიენტის ნულობა იმისთვის, რომ დარწმუნებულევი ვიყოთ, რომ წერტილი ლოკალური მაქსიმუმი ან მინიმუმია. თუნდაც ისევ შეიძლება, გქონდეთ გადაღუნვის წერტილის მსგავსი რაღაც:

მაგრამ არის კიდევ ერთი სრულიად ახალი შესაძლებლობა, რომელიც მხოლოდ მრავალცვლადიან ფუნქციებშია.

უნაგირა წერტილები

განიხილეთ f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared ფუნქცია. მოდით, დავაკვირდეთ, თუ რა ხდება left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis სათავის ირგვლივ

ამ წერტილზე ორივე კერძო წარმოებული 0-ია:

\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 - y^2) &= 2x \to 2(\blueE{0}) = 0 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 - \redE{y}^2) &= -2y \to -2(\redE{0}) = 0 \end{aligned}

შესაბამისად, left parenthesis, start color #0c7f99, 0, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 0, end color #bc2612, right parenthesis სტაბილური წერტილია.

როცა ამ წერტილის ირგვლივ მოძრაობთ x მიმართულებაში, ფუნქცია გამოიყურება f, left parenthesis, x, comma, 0, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 0, squared, equals, x, squared სახით. ერთცვლადიან f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared ფუნქციას ლოკალური მინიმუმი აქვს x, equals, 0-ზე.
როცა ამ წერტილის ირგვლივ მოძრაობთ y მიმართულებაში, ანუ, ფუნქცია გამოიყურება f, left parenthesis, 0, comma, y, right parenthesis, equals, 0, squared, minus, y, squared, equals, minus, y, squared სახით. ერთცვლადიან f, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, minus, y, squared ფუნქციას ლოკალური მაქსიმუმი აქვს y, equals, 0-ზე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, x და y მიმართულებები არ თანხმდებიან, ეს არგუმენტი მაქსიმუმის წერტილია თუ მინიმუმის. შესაბამისად, მიუხედავად იმისა, რომ left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis სტაბილური წერტილია და არ არის გადაღუნვის წერტილი, იგი ვერ იქნება ლოკალური მაქსიმუმი ან ლოკალური მინიმუმი!

აქ არის ამ გრაფიკის სივრცეში ბრუნვის ვიდეო:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 0, right parenthesis-ის ირგვლივ რეგიონის ფორმა ცხენის უნაგირს არ წააგავს?

მათემატიკოსებიც ასე ფიქრობდნენ და ჩვენდა გასაკვირას ამას ასეთი კარგი სახელი შეურჩიეს: უნაგირა წერტილები. განმარტების თანახმად, ესენია სტაბილური წერტილები, სადაც ფუნქციას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი ერთ მიმართულებაში, მაგრამ - ლოკალური მინიმუმი მეორეში.

მაქსიმუმობის/მინიმუმობის შემოწმება

„კარგით,“

გავიგონე, როგორ თქვით:

„ესე იგი, საკმარისი არ არის გრადიენტის 0-ობა, რადგან შეიძლება, გადაღუნვის ან უნაგირა წერტილი გქონდეთ, მაგრამ როგორ გავარჩიოთ, სტაბილური წერტილი ლოკალური მაქსიმუმია თუ მინიმუმი?“

მიხარია, რომ მკითხეთ! ეს შემდეგი სტატიის, მეორე რიგის კერძო წარმოებულის, თემაა. ჯერ-ჯერობით მოდით, მოვრჩეთ ლოკალური მაქსიმუმის ფორმალურ განმარტებას.

ფორმალური განმარტება

ეს მანამდეც ვთქვი, მაგრამ ფორმალური განმარტების სწავლის მიზეზი, მაშინაც კი, როცა უკვე გაქვთ ინტუიცია, არის ის, რომ ნახოთ, როგორ ზუსტად განისაზღვრება ინტუიციური მათემატიკური ცნებები. ეს თავისფულად ფიქრის კარგი პრაქტიკაა და ეს ასევე შეიძლება, დაგვეხმაროს ისეთ სიტუაციებში, სადაც ინტუიცია განსხვავდება რეალობისგან.

ლოკალური მაქსიმუმის განსაზღვრებისას ჩვენი არგუმენტისთვის გამოვიყენოთ ვექტორული ჩანაწერი და ჩავწეროთ start bold text, x, end bold text ფორმით.

ლოკალური მაქსიმუმის ფორმალური განმარტება: f სკალარულ ფუნქციას ლოკალური მაქსიმუმი აქვს start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript-ზე, თუ არსებობს რაიმე r, is greater than, 0 დადებითი რიცხვი, რომელსაც რადიუსად წარმოვიდგენთ, რომლისთვისაც შემდეგი მტკიცება ჭეშმარიტია:

f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, is less than or equal to, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ყველა ისეთი start bold text, x, end bold text-ისთვის, რომელთათვისაც vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r

ეს ცოტა რთულად ჟღერს, ასე რომ, ნაწილებად დავშალოთ:

„vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r-ის“ თქმა ნიშნავს, რომ start bold text, x, end bold text ცვლადი არიის r მანძილის ფარგლებში მაქსიმუმის start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript წერტილიდან. როცა start bold text, x, end bold text არის ორგანზომილებიანი, ეს იგივე იმის თქმაა, რომ start bold text, x, end bold text მდებარეობს r რადიუსის მქონე წრის შიგნით, რომლის ცენტრი start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript წერტილზეა.

უფრო ზოგადად, თუ start bold text, x, end bold text არის n-განზომილებიანი, ყველა ისეთი start bold text, x, end bold text-ის ერთობლიობა, რომელთათვისაც vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r, ადგენს n-განზომილებიან ბურთს r რადიუსით და start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript ცენტრით.

შემდეგ ეს განმარტება მათემატიკური ენიდან შეგვიძლია, შემდეგნაირად გადავთარგმნოთ, რომ ქართულს უფრო დაემსგავსოს:

start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript არის f-ის მაქსიმუმის წერტილი, თუ გვაქვს რაიმე (ბურთის ფორმის) რეგიონი start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript წერტილის ირგვლივ არგუმენტის სივრცეში, რომელთათვისაც მაქსიმალური შესაძლო მნიშვნელობა, რომელიც f-ის გამოთვლით შეიძლება, მიიღოთ წერტილებზე ამ რეგიონში, მიიღება start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript წერტილზე.

შეამოწმეთ, როგორ გაიგეთ: დაწერეთ ლოკალური მინიმუმის ფორმალური განმარტება და პარალელურად იფიქრეთ, თუ რას ნიშნავს თითოეული კომპონენტი (გაუძელით ცდუნებას და არ დააკოპიროთ ზემოთ მოცემული განმარტების სიტყვები)

[პასუხი]

შეჯამება

ინტუიციურად, როცა გრაფიკებით ფიქრობთ, მრავალცვლადიანი ფუნქციების ლოკალური მაქსიმუმი მწვერვალია, როგორც ეს არის ერთცვლადიან ფუნქციებში.
მაქსიმუმის წერტილზე მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი იქნება ნულოვანი ვექტორი, რომელიც შეესაბამება იმას, რომ გრაფიკს ბრტყელი მხები სიბრტყე აქვს.
ფორმალურად რომ ვთქვათ, ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი არის არგუმენტის სივრცეში ისეთი წერტილი, რომლის ყველა არგუმენტი ამ წერტილთან ახლოს პატარა რეგიონში იძლევა უფრო ნაკლებ მნიშვნელობებს, როცა ისმება მრავალცვლადიან f ფუნქციაში.

დავალაგოთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.