თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

ლაგრანჟის მამრავლები, მაგალითები

ლაგრანჟიანისა და ლაგრანჟის მამრავლის გამოყენების მაგალითები.

ლაგრანჟის მამრავლების ტექნიკა, მოკლე შეჯამება

სურათის წყარო: Nexcis (საკუთარი ნამუშევარი) [საჯარო საკუთრება], Wikimedia Commons
როცა გინდათ მრავალცვლადიანი f(x,y,) ფუნქციის მაქსიმიზაცია (ან მინიმიზაცია) იმ შეზღუდვის გათვალისწინებით, რომ სხვა მრავალცვლადიანი ფუნქცია უდრის მუდმივას, g(x,y,)=c, მიჰყევით შემდეგ ნაბიჯებს:
  • ნაბიჯი 1: შემოიღეთ ახალი ცვლადი λ და განსაზღვრეთ ახალი ფუნქცია L, როგორც ქვევით არის აღნიშნული:
    L(x,y,,λ)=f(x,y,)λ(g(x,y,)c)
    ამ L ფუნქციას ეწოდება „ლაგრანჟიანი“ და ახალ λ ცვლადს მოიხსენეიბენ „ლაგრანჟის მამრავლად“
  • ნაბიჯი 2: L-ის გრადიენტი გაუტოლეთ ნულოვან ვექტორს.
    L(x,y,,λ)=0ნულოვანი ვექტორი
    სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ L-ის კრიტიკული წერტილები.
  • ნაბიჯი 3: განიხილეთ თითოეული ამონახსნი, რომლებიც დაახლოებით (x0,y0,,λ0) ფორმის იქნება. თითოეული მათგანი ჩასვით f-ში. ან ჯერ მოაშორეთ λ0 კომპონენტი და შემდეგ ჩასვით f-ში, რადგან f-ს არ აქვს λ არგუმენტად. რომელი მათგანიც მოგცემთ უდიდეს (ან უმცირეს) მნიშვნელობას არის საძიებელი მაქსიმუმის (ან მინიმუმის) წერტილი.

მაგალითი 1: ბიუჯეტური შეზღუდვები

ამოცანა

წარმოიდგინეთ, რომ ქარხანას მართავთ, რომელიც აწარმოებს გარკვეულ მოწყობილობას, რომელსაც ესაჭიროება ფოლადი. თქვენი ხარჯები ძირითადად არის მუშახელი, რაც ღირს საათში $20 და თვითონ ფოლადი, რომლის ერთი ტონა ღირს $170. ვთქვათ, თქვენი შემოსავალი R დაახლოებით გამოითვლება შემდეგი განტოლებით:
R(h,s)=200h2/3s1/3
  • h წარმოადგენს მუშახელის მუშაობის საათებს
  • s წარმოადგენს ფოლადს ტონებში
თუ თქვენი ბიუჯეტი არის $20,000, რა არის მაქსიმალური შესაძლო შემოსავალი?

ამოხსნა

საათში $20 მუშახელის ღირებულება და ტონა $170 ფოლადის ღირებულება გვეუბნება, რომ პროდუქციის ჯამური ღირებულება h–ისა და s–ის მიხედვით არის
20h+170s
ასე რომ, შესაძლებელია, $20,000 განვიხილოთ შეზღუდვად.
20h+170s=20,000
სანამ გამოთვლებს დავიწყებთ, ამ ამოცანის ინტუიციურ გააზრებაში დაგეხმარებათ შემდეგი ინტერაქტიული დიაგრამა. შეგიძლიათ, ნახოთ (h,s)–ის რა მნიშვნელობები გვაძლევს მოცემულ შემოსავალს (ლურჯი წირი) და რომელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებენ შეზღუდვებს (წითელი ხაზი).
რადგან გვინდა R(h,s) ფუნქციის მაქსიმიზაცია 20h+170s=20,000 შეზღუდვის გათვალისწინებით, ვიწყებთ ამ პირობისთვის ლაგრანჟიანის ფუნქციის დაწერით:
L(h,s,λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000)
ახლა, გრადიენტ L-ს მივანიჭოთ 0 ვექტორის მნიშვნელობა. ეს იგივეა, რაც ყოველი კერძო წარმოებულისთვის 0 მნიშვნელობის მინიჭება. ჯერ მივხედოთ კერძო წარმოებულს h-ის მიმართ.
0=Lh0=h(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20023h1/3s1/320λ
ახლა მივხედოთ კერძო წარმოებულს s.-ის მიმართ.
0=Ls0=s(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20013h2/3s2/3170λ
საბოლოოდ, λ მიმართ კერძო წარმოებული გავუტოლეთ 0–ს, რაც, როგორც ყოველთვის, არის იგივე, რაც შეზღუდვა. პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ, მხოლოდ თვითონ შეზღუდვა დაწეროთ, მაგრამ აქ დავწერ კერძო წარმოებულს, რათა ყველაფერი უფრო ცხადი იყოს.
0=Lλ0=λ(200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000))0=20h170s+20,00020h+170s=20,000
ყველაფრის თავმოყრის შემდეგ, განტოლებების სისტემა, რომელიც უნდა ამოვხსნათ არის
0=20023h1/3s1/320λ0=20013h2/3s2/3170λ20h+170s=20,000
პრაქტიკაში თითქმის ყოველთვის უნდა გამოიყენოთ კომპიუტერი მას შემდეგ, რაც განტოლებების ამგვარ სისტემამდე მიხვალთ. განსაკუთრებით იმიტომ, რომ პრაქტიკაში განტოლება სავარაუდოდ ბევრად უფრო რთული იქნება, ვიდრე ესენი. ამის შესრულების შემდეგ გაიგებთ, რომ პასუხი არის
h=2,0003666,667s=2,0005139,2157λ=A8,00045932,593
ეს ნიშნავს, რომ მუშახელი უნდა ამუშაოთ დაახლოებით 667 საათი და იყიდოთ 39 ტონა ფოლადი, რომელიც მოგცემთ შემდეგ მაქსიმალურ მოგებას
R(667,39)=200(667)2/3(39)1/3$51,777
ამ λ=2,593 მუდმივას ინტერპრეტაცია დატოვებულია შემდეგი სტატიისთვის

მაგალითი 2: სკალარული ნამრავლის მაქსიმიზაცია

ამოცანა: ვთქვათ სამგანზომილებიანი ვექტორი v იყოს განსაზღვრული შემდეგნაირად.
v=[231]
განვიხილოთ ყველა შესაძლო ერთეულოვანი ვექტორი u^ სამგანზომილებიან სივრცეში. რომლისთვის არის სკალარული ნამრავლი u^v უდიდესი?
ქვემოთ მოცემული დიაგრამა ორგანზომილებიანია, მაგრამ სამ განზომილებაში გადასვლისას ინტუიციურად ბევრი არაფერი იცვლება.
ჩვენი სამგანზომილებიანი ამოცანის ორგანზომილებიანი ანალოგი. რომელი ერთეულოვანი ვექტორი u^ გვაძლევს მაქსიმალურ სკალარულ ნამრავლს u^v?
თუ სკალარული ნამრავლები ძალიან კარგად იცით, მაშინ შეიძლება, პასუხი უკვე იცით. ეს ერთ-ერთია იმ მათემატიკურ ფაქტებს შორის, რომლის დამახსოვრებაც ღირს. თუ პასუხი არ იცით, კიდევ უკეთესი! რადგან ახლა ვიპოვით და დავამტკიცებთ შედეგს ლაგრანჟის მამრავლების მეთოდით.
ამოხსნა:
პირველ რიგში, უნდა ავხსნათ, რატომ არის ეს შეზღუდვის მქონე ოპტიმიზაციის ამოცანა. ჩავწეროთ ჩვენი ერთეულოვანი ვექტორების კოორდინატები როგორც x, y და z:
u^=[xyz]
ფაქტი, რომ u^ არის ერთეულოვანი ვექტორი ნიშნავს, რომ მისი სიგრძე არის 1:
||u^||=x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1
ეს არის ჩვენი შეზღუდვა.
u^v-ის მაქსიმიზაცია ნიშნავს შემდეგი რაოდენობის მაქსიმიზაციას:
[xyz][231]=2x+3y+z
ლაგრანჟიანი ამ ფუნქციისა და ზემოთ მოცემული შეზღუდვის მიმართ არის:
L(x,y,z,λ)=2x+3y+zλ(x2+y2+z21).
ახლა ვხსნით L=0–ის მიმართ ამ გამოსახულების თითოეული კერძო წარმოებულის 0–ისთვის გატოლებით.
x(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=2λ2x=0y(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=3λ2y=0z(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=1λ2z=0
გახსოვდებთ, λ–ს მიმართ კერძო წარმოებულის 0–ისთვის გატოლება უბრალოდ ხელახლა აკეთებს შეზღუდვის ფორმულირებას.
λ(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=x2y2z2+1=0
ზემოთ მოცემულ პირველ სამ განტოლებაში x-ის, y-ისა და z-ის მიმართ ამოხსნისას ვიღებთ
x=212λy=312λz=112λ
უჰ, რა ლამაზი სიმეტრიაა. თითოეულ გამოსახულებას გააჩნია ერთი და იგივე 12λ მამრავლი და კოეფიციენტები 2, 3 და 1 შეესაბამება v-ს კოორდინატებს. ვინაიდან ჩვენ მათემატიკის კარგი მოსწავლეები ვართ, კარგ სიმეტრიას არ გავაფუჭებთ. ამ შემთხვევაში, ზემოთ მოცემული სამი განტოლების ერთი ვექტორის განტოლებაში გაერთიანებით შეგვიძლია, u^ და v ერთმანეთს შემდეგნაირად დავაკავშიროთ:
u^=[xyz]=12λ[231]=12λv
ორგანზომილებიანი ანალოგი, რომელიც აჩვენებს ორ ერთეულოვან ვექტორს, რომლებიც მაქსიმიზაციასა და მინიმიზაციას უკეთებენ u^v-ს.
ასე რომ, u^ არის v-ს პროპორციული! გეომეტრიულად ეს ნიშნავს, რომ u^ და v ერთსა და იმავე მხარესაა მიმართული. ორი ერთეულოვანი ვექტორი არის v-ს პროპორციული,
  • ერთი, რომელიც იგივე მხარეს არის მიმართული, ეს არის ვექტორი, რომელიც მაქსიმიზაციას უკეთებს u^v-ს.
  • მეორე, რომელიც საპირისპიროდაა მიმართული. ეს მინიმიზაციას უკეთებს u^v-ს.
ამ ორი ერთეულოვანი ვექტორის ჩაწერა შეგვიძლია v-ს ნორმალიზაციით, რაც უბრალოდ ნიშნავს v-ს გაყოფას მის სიგრძეზე:
u^max=v||v||u^min=v||v||
||v|| სიგრძე არის 22+32+12=14, ასე რომ, მაქსიმიზაციის ერთეულოვანი ვექტორი u^max შეგვიძლია ასე ჩავწეროთ:
u^max=[2/143/141/14]

უბრალოდ გამოტოვეთ ლაგრანჟიანი

თუ წაიკითხეთ ბოლო სტატია, გაგახსენდებათ, რომ L ლაგრანჟიანის მთელი არსი მდებარეობს L=0-ის აგებაში, რომელშიც კოდირებულია ორი თვისება, რომელსაც შეზღუდული მაქსიმუმი უნდა აკმაყოფილებდეს:
  • გრადიენტული თანხვედრა სამიზნე და შეზღუდულ ფუნქციებს შორის,
    f(x,y)=λg(x,y)
  • თვითონ შეზღუდვა
    g(x,y)=c
მაგალითებზე მუშაობისას შეიძლება, დაინტერესდეთ, საერთოდ რატომ ვიწუხებთ თავს ლაგრანჟიანის დაწერით. უფრო ადვილი არ იქნებოდა, დაგვეწყო პირდაპირ ორი განტოლებით იმის ნაცვლად, რომ ყოველ ჯერზე აგვეწყო L=0-იდან? მოკლე პასუხია: დიახ, უფრო მარტივი იქნებოდა. თუ ამჩნევთ, რომ შეზღუდული ოპტიმიზაციის ამოცანებს ხელით ხსნით და გახსოვთ გრადიენტული თანხვედრის იდეა, თავისუფლად შეგიძლიათ, ლაგრანჟიანზე ფიქრის გარეშე განაგრძოთ.
პრაქტიკაში ამ ამოცანებს ძირითადად კომპიუტერი ხსნის და არა – ადამიანი. ვინაიდან არსებობს ბევრი ოპტიმიზირებული პროგრამა, რომელიც პოულობს, როდის არის მოცემული ფუნქციის გრადიენტი 0, უსაფრთხოც და გამოსადეგიც არის ჩვენი ამოცანის L=0 განტოლებაში მოქცევა.
გარდა ამისა, თავად ლაგრანჟიანი და მისგან მიღებული რამდენიმე ფუნქცია ხშირად გვხვდება ოპტიმიზაციის თეორიული შესწავლისას. ამ მსუბუქ მსჯელობაში კონკრეტულ L ობიექტზე და არა რამდენიმე რთულ პირობაზე უფრო ადვილია მაღალი დონის იდეებს შორის კავშირის დანახვა. თანაც, მისი დაწერა დაფაზე უფრო სწრაფად შეიძლება.
ნებისმიერ შემთხვევაში, მომავალში რა შეხებაც არ უნდა გქონდეთ შეზღუდულ ოპტიმიზაციასთან, კარგია, რომ შეგეძლოთ იფიქროთ თავად ლაგრანჟიანსა და იმაზე, თუ რას აკეთებს ის. ზემოთ მოცემული მაგალითები გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოდის ეს და იმედია, დაგვეხმარება იმ აზრის ჩაბეჭვდაში, რომ L=0 ერთ განტოლებაში აქცევს f=λg-სა და g(x,y)=c-ს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.