თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

ლაგრანჟის მამრავლების ინტერპრეტაცია

ლაგრანჟის მამრავლები მეტია, ვიდრე უცნაური ცვლადები, რომლებიც გვეხმარება შეზღუდული ოპტიმიზაციის ამოცანების ამოხსნაში...

ლაგრანჟის მამრავლების ტექნიკა, მოკლე შეჯამება

სურათის წყარო: Nexcis (საკუთარი ნამუშევარი) [საჯარო საკუთრება], Wikimedia Commons
როცა გინდათ მრავალცვლადიანი f(x,y,) ფუნქციის მაქსიმიზაცია (ან მინიმიზაცია) იმ შეზღუდვის გათვალისწინებით, რომ სხვა მრავალცვლადიანი ფუნქცია უდრის მუდმივას, g(x,y,)=c, მიჰყევით შემდეგ ნაბიჯებს:
  • ნაბიჯი 1: შემოიღეთ ახალი ცვლადი λ და განსაზღვრეთ ახალი ფუნქცია L, როგორც ქვევით არის აღნიშნული:
    L(x,y,,λ)=f(x,y,)λ(g(x,y,)c)
    ამ L ფუნქციას ეწოდება „ლაგრანჟიანი“ და ახალ λ ცვლადს მოიხსენეიბენ „ლაგრანჟის მამრავლად“
  • ნაბიჯი 2: L-ის გრადიენტი გაუტოლეთ ნულოვან ვექტორს.
    L(x,y,,λ)=0ნულოვანი ვექტორი
    სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ L-ის კრიტიკული წერტილები.
  • ნაბიჯი 3: განიხილეთ თითოეული ამონახსნი, რომლებიც დაახლოებით (x0,y0,,λ0) ფორმის იქნება. თითოეული მათგანი ჩასვით f-ში. ან ჯერ მოაშორეთ λ0 კომპონენტი და შემდეგ ჩასვით f-ში, რადგან f-ს არ აქვს λ არგუმენტად. რომელი მათგანიც მოგცემთ უდიდეს (ან უმცირეს) მნიშვნელობას არის საძიებელი მაქსიმუმის (ან მინიმუმის) წერტილი.

ბიუჯეტური შეზღუდვები, დაბრუნება

წინა სტატია, რომელიც ფარავდა ლაგრანჟის მამრავლების ტექნიკის მაგალითებს, მოიცავდა შემდეგ ამოცანას.
  • ამოცანა: წარმოიდგინეთ, რომ ქარხანას მართავთ, რომელიც აწარმოებს გარკვეულ მოწყობილობას, რომელსაც ესაჭიროება ფოლადი. თქვენი ხარჯები ძირითადად არის მუშახელი, რაც ღირს საათში $20 და თვითონ ფოლადი, რომლის ერთი ტონა ღირს $170. ვთქვათ, თქვენი შემოსავალი R დაახლოებით გამოითვლება შემდეგი განტოლებით:
    R(h,s)=200h2/3s1/3
    სადაც
    • h წარმოადგენს მუშახელის მუშაობის საათებს
    • s წარმოადგენს ფოლადს ტონებში
    თუ თქვენი ბიუჯეტი არის $20,000, რა არის მაქსიმალური შესაძლო შემოსავალი?
ამ ამოცანის ინტუიციურად გააზრებაში დაგეხმარებათ შემდეგი ინტერაქტიული დიაგრამა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ, იხილოთ, (h,s)-ის რომელი მნიშვნელობები იძლევა მოცემულ შემოსავალს (ლურჯი მრუდი წირი) და რომელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს შეზღუდვას (წითელი ხაზი).
ამონახსნის სრული დეტალები შეგიძლიათ, იპოვოთ ბოლო სტატიაში. აქ ჩვენი მიზნებისთვის უბრალოდ უნდა იცოდეთ, პრინციპულად რა ხდება, როცა ლაგრანჟის მამრავლების ტექნიკის მიხედვით ვდგამთ ნაბიჯებს.
  • L(h,s,λ) ლაგრანჟიანის ჩაწერას ვიწყებთ R(h,s) ფუნქციასა და 20h+170s=20,000 შეზღუდვაზე დაყრდნობით.
    L(h,s,λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20,000)
  • შემდეგ ვპოულობთ L-ს კრიტიკულ წერტილებს, ანუ, შემდეგი განტოლების ამონახსნებს"
    L(h,s,λ)=0
  • ამ განტოლებას შესაძლოა ჰქონდეს რამდენიმე (h,s,λ) ამონახსნი,
    (h0,s0,λ0)(h1,s1,λ1)(h2,s2,λ2)
ასე რომ, თითოეულისთვის სვამთ h და s კომპონენტებს შემოსავლის R(h,s) ფუნქციაში, რომ ნახოთ, სინამდვილეში რომელი მათგანი შეესაბამება მაქსიმუმს.
გავრცელებულია მაქსიმუმის მომცემი კრიტიკული წერტილის (h,s,λ) სახით ჩაწერა ფიფქის გამოყენებით, რათა გამოჩნდეს ის, რომ იგი ამონახსნია. ეს იმას ნიშნავს, რომ h და s წარმოადგენს სამუშაო საათებისა და ფოლადის ტონებს, რომლებიც უნდა გამოიყენოთ, რათა მაქსიმალური გახადოთ შემოსავალი თქვენი ბიუჯეტის გათვალისწინებით. როგორ მოვახდინოთ ლაგრანჟის λ მამრავლის ინტერპეტრიება, რომელსაც ეს მაქსიმალური მნიშვნელობები აქვს? ეს სტატიის მთავარი შეკითხვაა.
აღმოჩნდა, რომ λ გვეუბნება, რამდენით მეტი ფულის გაკეთება შეიძლება ბიუჯეტის შეცვლით.
მოდით, შევიგრძნოთ, თუ რას ნიშნავს ბიუჯეტის შეცვლა. შემდეგი ინსტრუმენტი ზემოთ მოცემულის მსგავსია, მაგრამ ახლა წითელი ხაზი, რომელიც წარმოადგენს, თუ რომელი (h,s) წერტილები აკმაყოფილებს ბიუჯეტის შეზღუდვას, გადააგილდება, როცა ბიუჯეტს $20,000-ის ირგვლივ ამოძრავებთ. ეს ბიუჯეტი წარმოდგენილია b ცვლადით.
b ბიუჯეტის თითოეული მნიშვნელობისთვის სცადეთ R-ის მაქსიმიზაცია და იმავდროულად დარწმუნდით, რომ მრუდები კვლავ ეხება ერთმანეთს. შენიშნეთ, რომ მაქსიმალური R-ის მნიშვნელობა, რომლის მიღწევაც შეგიძლიათ, იცვლება b-ს ცვლილებასთან ერთად. ჩვენ გვაინტერესებს ამ ცვლილების მახასიათებლების შესწავლა.
დავუშვათ, M წარმოადგენს მაქსიმალურ შემოსავალს, რომლის მიღწევაც შეგიძლიათ. მომდევნო ინტერაქტიულ დიაგრამაში ერთადერთი ცვლადი, რომლის შეცვლაც შეგიძლიათ, არის b და შეგიძლიათ, დაინახოთ, თუ რატომაა M-ის მნიშვნელობა b-ზე დამოკიდებული.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმუალური M შემოსავალი არის b ბიუჯეტის ფუნქცია, ასე რომ, მას შემდეგნაირად ვწერთ:
M(b)
ახლა მართლაც შესანიშნავი რაღაცის გამოხატვა შეგვიძლია: ლაგრანჟის მამრავლი λ(b) გვაძლევს M-ის წარმოებულს:
dMdb(b)=λ(b)
ზემოთ მოცემული ინტერაქტიული დიაგრამისთვის ეს ნიშნავს, რომ λ(b) გაძლევთ M-ის შავი წერტილის ცვლილების სიჩქარეს, როცა მოძრაობთ მწვანე წერტილის ირგვლივ, რომელიც b-ს წარმოადგენს.
ამის ჭეშმარიტობის ჩვენება ცოტა რთულია, მაგრამ ჯერ მისი ინტერპრეტირება სცადეთ. მაგალითად, თუ დავადგენდით λ(b)=2,59-ს, ეს იმის მაჩვენებელი იქნებოდა, რომ თითოეული დამატებითი დოლარი დამატებით $2,59 შემოსავალს მოგცემდათ. პირიქით, ბიუჯეტის ერთი დოლარით შემცირება დაგიჯდებათ ამ ოდენობის შემოსავლის დაკარგვად.
λ-ის ეს ინტერპრეტაცია ეკონომიკაში იმდენად ხშირად გვხვდება, რომ საკუთარ სახელს იმსახურებს: „ჩრდილოვანი ფასი“. ეს არის თანხა, რომელიც მიიღება შეზღუდვის ერთი დოლარით შემსუბუქებით ან პირიქით - შეზღუდვის ერთი დოლარით გამკაცრების ფასი.

ზოგადად რომ ვთქვათ

მოდით, განვაზოგადოდ ის, რაც გავაკეთეთ ბიუჯეტის მაგალითზე და ვნახოთ, რატომაა ეს ჭეშმარიტი. მთელი შედეგის წარმოთქმა საკმაოდ ჩახლართულია, მაგრამ ნათელი უნდა გახდეს გონებაში შემდეგი ფრაზის ჩაბეჭვდით: „როგორ იცვლება ამონახსნი, როცა შეზღუდვა შეიცვალა?“.
ჩვენ ვიწყებთ ჩვეულებრივი ლაგრანჟის მამრავლის აგებით. გვაქვს ფუნქცია, რომლის მაქსიმიზაციაც გვინდა,
f(x,y)
და შეზღუდვა,
g(x,y)=c
დავიწყებთ ლაგრანჟიანის დაწყებით,
L(x,y,λ)=f(x,y)λ(g(x,y)c).
დავუშვათ, (x,y,λ) იყოს L-ის კრიტიკული წერტილი, რომელიც ხსნის ჩვენს ამოცანას შეზრუდულ ოპტიმიზაციაზე. სხვა სიტყვებით,
L(x,y,λ)=0
და (x,y) ახდენს f-ის მაქსიმიზაციას (შეზღუდვის გათვალისწინებით).
როცა ფიქრს ვიწყებთ c-ზე, როგორც - ცვლადზე, უნდა გავითვალისწინოთ ის ფაქტი, რომ (x,y,λ) ამონახსნი იცვლება, როცა c შეზღუდვა იცვლება. ამისთვის ჩვენ ვიწყებთ თითოეული კომპონენტის ჩაწერით c-ს ფუნქციის სახით:
x(c)y(c)λ(c)
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა შეზღუდვა უდრის რაიმე c მნიშვნელობას, ლაგრანჟის მამრავლის ამოცანის ამონახსნი ტრიპლეტი არის (x(c),y(c),λ(c)).
ჩვენ ახლა დავუშვებთ, რომ M(c) წარმოადგენს f-ის (შეზღუდულ) მაქსიმუმ მნიშვნელობას, როგორც - c-ს ფუნქციას, რომელიც f-ით, x(c)-ითა და y(c)-თი იწერება შემდეგნაირად:
M(c)=f(x(c),y(c))
ძირითადი შედეგი, რომლის ჩვენებაც გვინდა არის
dMdc=λ(c)
ეს ამბობს, რომ ლაგრანჟის მამრავლი λ გვაძლევს შეზღუდული მაქსიმიზაციის ამოცანის ამონახსნის ცვლილების სიჩქარეს, როცა შეზღუდვა იცვლება.

გსურთ, ჭკუაში აჯობოთ თქვენს მასწავლებელს?

ამის დამტკიცება შეიძლება, ალგებრული კოშმარი იყოს, რადგან არ არსებობს ზოგადი ფორმულა x(c), y(c), λ(c) ან M(c) ფუნქციებისთვის. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა დაგეწყოთ x-ის, y-ისა და λ-ის თვისების განმარტებით, კონკრეტულად ის, რომ L(x,y,λ)=0 და მსჯელობით მიხვიდეთ dMdc-მდე. ეს მთლად ასე პირდაპირ ვერ ხდება (სცადეთ!).
ეს სასაცილო ისტორიაა, რომელშიც პროფესორს ჰკითხეს, თუ რა იყო ყველაზე რთული ჭეშმარიტება, რომელიც სტუდენტისგან ისწავლა. მან გაიხსენა, რომ კლასს, რომელსაც ასწავლიდა, აჩვენა ძალიან გრძელი და ალგებრულად დატვირთული დამტკიცება და სტუდენტმა უჩვენა, რომ ბევრად მარტივი მიდგომაც არსებობს. მან თქვა, რომ ამის მიზეზი ის იყო, რომ იგი ისეთი ჭკვიანი არ იყო, როგორიც თავი ეგონა.
შედეგი, რომელზეც ის საუბრობდა, სწორედ ისაა, რომლის დამტკიცებასაც ვცდილობთ. მიუხედავად იმისა, რომ სტუდენტის მიდგომა მთლად ისეთი მარტივი არაა, როგორსაც ისტორია გვიყვება, ეს მაინცაა ამოცანის განხილვის სუფთა გზა. უფრო მნიშვნელოვანია ისაა, რომ ეს სხვა დამტკიცებებზე უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია, ასე რომ, აქ მთლიანად დავასახელებ. მათემატიკაში ხშირად ხდება ისე, რომ ცოტა უფრო შორსმჭვრეტელობა გვარჩენს ზედმეტი ალგებრული გამოთვლებისგან.

შორსმჭვრეტელობა

ხაზგასმული შორსმჭვრეტელობა არის ის, რომ თავად ლაგრანჟიანის გამოთვლა (x,y,λ) ამონახსნზე, მოგვცემს მაქსიმალურ M მნიშვნელობას. ამის მიზეზი ისაა, რომ „g(x,y)c“ წევრი ლაგრანჟიანში მიდის ნულამდე (რადგან ამონახსნმა შეზღუდვა უნდა დააკმაყოგილოს), ასე რომ, გვაქვს
L(x,y,λ)=f(x,y)λ(g(x,y)c)=f(x,y)+0=M
იმის გათვალისწინებით, რომ გვინდა dMdc-ის პოვნა, ეს გვეუბნება, რომ უნდა ვიპოვოთ გზა, რომლითაც L-ს განვიხილავთ c-ს ფუნქციად. მაშინ შეიძლება, შევძლოთ სასურველი წარმოებულის დაკავშირება L-ის წარმოებულთან c-ს მიმართ.

გაგრძელება

დაიწყეთ L-ის განხილვით ოთხი ცვლადის ფუნქციად სამის ნაცვლად, რადგან ახლა c ცვლაბადი მნიშვნელობითაა გამოსახული:
L(x,y,λ,c)=f(x,y)λ(g(x,y)c).
სააზროვნო შეკითხვა: როცა L ასეთნაირად იწერება ოთხცვლადიანი ფუნქციის სახით, რას უდრის Lc?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ეს კერძო წარმოებული იმედისმომცემია, რადგან ჩვენი მიზანი იმის ჩვენებაა, რომ dMdc=λ და ჩვენ ვიცით, რომ M=L ამონახსნებზე. თუმცა, კვლავ ბევრი საქმე გვაქვს.
იმ ფაქტის კოდირებისთვის, რომ გვაინტერესებს მხოლოდ L-ს მნიშვნელობა (x,y,λ) ამონახსნებზე c-ს მოცემული მნიშვნელობისთვის, ჩვენ x,y-სა და λ-ს ვცვლით x(c),y(c)-ითა და λ(c)-ით. ესენია c-ის ფუნქციები, რომლებიც შეესაბამება ლაგრანჟიანის ამოცანის ამონახსნს c-ს ნებისმიერი მოცემული „შეზღუდვისთვის“.
ეს საშუალებას გვაძლევს, რომ M ჩავწეროთ c-ის ფუნქციის სახით შემდეგნაირად:
M(c)=L(x(c),y(c),λ(c),c)
მიუხედავად იმისა, რომ ამ გამოსახულებას მხოლოდ ერთი c ცვლადი აქვს, აქ გვაქვს შუალედური ოთხცვლადიანი L ფუნქცია. ასე რომ, რომ ავიღოთ ეს (ჩვეულებრივი) წარმოებული c-ს მიმართ, ვიყენებთ მრავალცვლადიან ჯაჭვურ წესს :
dMdc=ddcL(x(c),y(c),λ(c),c)=Lxdxdc+Lydydc+Lλdλdc+Lcdcdc
შენიშნეთ, რომ ზემოთ მოცემულ გამოსახულებაში თითოეული კერძო წარმოებული უნდა გამოითვალოს (x(c),y(c),λ(c),c)-ზე, მაგრამ ამის დაწერა კიდევ უფრო არევდა გამოსახულებას.
ეს შეიძლება, ბევრი მოგეჩვენოთ, მაგრამ გაიხსენეთ, საიდან მოვიდა x, y და λ წარმოებულები. თითოეული კერძო წარმოებული, Lx, Ly და Lλ, არის ნული, როცა გამოითვლება (x,y,λ)-ზე. ასე განისაზღვრება (x,y,λ) ამონახსნი! ეს ნიშნავს, რომ პირველი სამი წევრი ნულდება.
Lxdxdc+Lydydc+Lλdλdc+Lcdcdc
გარდა ამისა, რადგან dcdc=1, მთლიანი გამოსახულება შემდეგნაირად მარტივდება
dMdc=Lc
დავაკვირდეთ, რომ ეს გამარტივება ეყრდნობა ამოხსნის (x,y,λ) წერტილების განსაკუთრებულ თვისებებს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მთლიან წარმოებულზე მუშაობა მრავალცვლადიან ჯაჭვურ წესზე დაყრდნობით კოშმარი იქნებოდა!
ჩანაწერის სისუფთავისთვის გამოვტოვეთ ამ წარმოებულების არგუმენტები, მაგრამ მოდით, დავაბრუნოთ.
dMdc(c)=Lc(x(c),y(c),λ(c),c)
რადგან ზემოთ მოცემულ სააზროვნო შეკითხვაში ვნახეთ, რომ Lc=λ, ეს ნიშნავს, რომ
dMdc(c)=λ(c)
დასრულებულია!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.