ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 8

გაკვეთილი 2: სასრული არითმეტიკული პროგრესიები

არითმეტიკული პროგრესიები: სამუშაო რვეული

სცადეთ რამდენიმე ამოცანა, სადაც მოგიწევთ სასრული არითმეტიკული მწკრივის შეფასება.

ივარჯიშეთ არითმეტიკულ პროგრესიებზე

ამოცანა 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

რას გვეკითხებიან?

გვეკითხებიან

- 5 k + 12

–ის მნიშვნელობების ჯამს

k = 1

–იდან

k = 275

–მდე:

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

მიმდევრობა არითმეტიკული პროგრესიაა, რადგან

- 5 k + 12

არის

k

–ს წრფივი ფუნქცია.

არითმეტკიული პროგრესიის ფორმულა

სასრული არითმეტკიული პროგრესიის ჯამი

S_{n}

არის

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

სადაც

a_{1}

არის პირველი წევრი,

a_{n}

არის ბოლო წევრი და

n

არის წევრების რაოდენობა.

რა გვჭირდება ამ ფორმულის გამოსაყენებად?

წევრთა რაოდენობა

(n = 275)

არის სიგმა-ჩანაწერის ზედა ზღვარი.

უნდა ვიპოვოთ

a_{1}

(პირველი წევრი) და

a_{275}

(ბოლო წევრი).

ნაბიჯი 1: იპოვეთ $a_{1}$ ‍ და $a_{275}$ ‍ (პირველი და ბოლო წევრი)

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1363

ნაბიჯი 2: პროგრესიაში იპოვეთ ჯამი $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186,450 \end{aligned}

პასუხი

- 186 450

ამოცანა 2

a_{i}

არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება ფორმულით:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

იპოვეთ პროგრესიის პირველი $335$ ‍ წევრის ჯამი.

პირველი ნაბიჯები

მოდით, ჩამოვწეროთ პროგრესიის პირველი რამდენიმე წევრი:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

საქმე გვაქვს არითმეტიკულ პროგრესიასთან, რადგან წევრების სხვაობა მუდმივია. ესე იგი, თითოეული წევრი მის წინაზე

3

–ით ნაკლებია.

წევრების ჯამის გამოსათვლელად გვჭირდება ფორმულა.

არითმეტკიული პროგრესიის ფორმულა

სასრული არითმეტკიული პროგრესიის ჯამი

S_{n}

არის

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

სადაც

a_{1}

არის პირველი წევრი,

a_{n}

არის ბოლო წევრი და

n

არის წევრების რაოდენობა.

რა გვჭირდება ამ ფორმულის გამოსაყენებად?

პირველი წევრი

(a_{1} = 2)

და წევრების რაოდენობა

(n = 335)

ტოლობაში მოცემულია.

უნდა ვიპოვოთ ბოლო წევრი,

(a_{n})

ნაბიჯი 1: ვიპოვოთ $a_{n}$ ‍ (ბოლო წევრი)

პირველი წევრის შემდეგ

335 - 1 = 334

წევრია. მიმდევრობის ყოველი ახალი წევრი

3

–ით მცირდება. ასე რომ, მიმდევრობა იწყება

2

–ით და სულ

334 \cdot 3 = 1002

–ით მცირდება. ეს იმას ნიშნავს, რომ ბოლო წევრი უნდა იყოს

2 - 1002 = - 1000

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

a_{n} = - 1000

ნაბიჯი 2: პროგრესიაში იპოვეთ ჯამი $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167,165 \end{aligned}

პასუხი

- 167 165

ამოცანა 3

იპოვეთ $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍–ის ჯამი.

პირველი ნაბიჯები

6

–ით მეტია.

წევრების ჯამის გამოსათვლელად გვჭირდება ფორმულა.

არითმეტკიული პროგრესიის ფორმულა

სასრული არითმეტკიული პროგრესიის ჯამი

S_{n}

არის

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

სადაც

a_{1}

არის პირველი წევრი,

a_{n}

არის ბოლო წევრი და

n

არის წევრების რაოდენობა.

რა გვჭირდება ამ ფორმულის გამოსაყენებად?

პირველი წევრი

(a_{1} = - 50)

და ბოლო წევრი

(a_{n} = 2044)

ტოლობაში მოცემულია.

უნდა ვიპოვოთ

n

(წევრების რაოდენობა).

ნაბიჯი 1: ვიპოვოთ $n$ ‍ (წევრების რაოდენობა)

პროგრესია პირველი წევრიდან ბოლო წევრამდე იზრდება

2044 - (- 50) = 2094

–ით. რადგან პროგრესია ყოველ ჯერზე

6

–ით იზრდება, ბოლო წევრამდე მისასვლელად საჭიროა

\frac{2094}{6} = 349

წევრი. პირველი წევრიც უნდა მივათვალოთ, ასე რომ, პროგრესიაში სულ

349 + 1 = 350

წევრია.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

n = 350

ნაბიჯი 2: პროგრესიაში იპოვეთ ჯამი $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348,950 \end{aligned}

პასუხი

348 950

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.