ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 3

გაკვეთილი 2: ფესვიანი განტოლების გარეშე ამონახსნები

ფესვიანი განტოლების გარეშე ამონახსნები

Google–ის საკლასო ოთახი

გახურდით რამდენიმე ამოცანის ამოხსნით, სანამ სავარჯიშოზე გადახვალთ.

შესავალი

ამ სტატიაში ვივარჯიშებთ ამოცანებზე, რომლებიც მოიცავენ ფესვქვეშა განტოლებების ამოხსნისას გარეშე ამონახსნების მიღების პირობებს.

სავარჯიშო შეკითხვა 1

კალები განტოლებას ხსნის

x

–ის მიმართ.

x = \sqrt{x + 2} + 7

მისი პირველი ნაბიჯები მოცემულია ქვემოთ.

\begin{aligned} x - 7 & = \sqrt{x + 2} \\ (x - 7)^{2} & = (\sqrt{x + 2})^{2} \\ x^{2} - 14 x + 49 & = x + 2 \end{aligned}

საჭიროა თუ არა, რომ კალებმა შეამოწმოს მისი პასუხები გარეშე ამონახსნებისთვის?

გარეშე ამონახსნი არის ამონახსნი, რომელიც ჩნდება ამოხსნის პროცესში, მაგრამ სინამდვილეში სულაც არ არის ამონახსნი!

როდესაც განტოლების ორივე მხარე ლუწ ხარისხში აგყავთ, უნდა შეამოწმოთ, ხომ არ გაქვთ გარეშე ამონახსნები. ეს იმიტომ, რომ განტოლების ორივე მხარის ლუწ ხარისხში აყვანა არაა შექცევადი მოქმედება. მაგალითად, თუ

a = b

, მაშინ

a^{2} = b^{2}

, მაგრამ თუ

a^{2} = b^{2}

, არაა აუცილებელი, რომ

a = b

მაგალითად განიხილეთ

\sqrt{x} = - 1

განტოლება. თუ განტოლების ორივე მხარეს ავიყვანთ კვადრატში, მივიღებთ

x = 1

–ს, მაგრამ

\sqrt{1} \neq - 1

რადგან კალებმა მეორე ნაბიჯში განტოლების ორივე მხარე კვადრატში აიყვანა, უნდა შეამოწმოს, მიიღო თუ არა გარეშე ამონახსნები.

გამოვიდა, რომ პასუხია *დიახ.

სავარჯიშო შეკითხვა 2

ელენა განტოლებას ხსნის

x

–ის მიმართ.

\sqrt[3]{3 x - 5} + 2 = 7

მისი პირველი ნაბიჯები მოცემულია ქვემოთ.

\begin{aligned} \sqrt[3]{3 x - 5} & = 5 \\ {(\sqrt[3]{3 x - 5})}^{3} & = (5)^{3} \\ 3 x - 5 & = 125 \end{aligned}

საჭიროა თუ არა, რომ ელენამ შეამოწმოს მისი პასუხები გარეშე ამონახსნებისთვის?

როცა განტოლების ორივე მხარე აგყავთ ლუწ ხარისხში, უნდა შეამოწმოთ გარეშე ამონახსნები.

თუმცა, განტოლების ორივე მხარის კენტ ხარისხში აყვანა არ იძლევა გარეშე ამონახსნების გაჩენის შესაძლებლობას. ამის მიზეზი არის ის, რომ განტოლების ორივე მხარის კენტ ხარისხში აყვანა შექცევადი მოქმედებაა. მაგალითად, თუ

a = b

, მაშინ

a^{3} = b^{3}

და თუ

a^{3} = b^{3}

, მაშინ

a = b

მაგალითად განიხილეთ

\sqrt[3]{x} = - 1

განტოლება. თუ ორივე მხარეს კუბში ავიყვანთ, მივიღებთ

x = - 1

და

\sqrt[3]{- 1} = - 1

ამასთან ერთად შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა ნულისგან განსხვავებულ მთელ რიცხვებზე ყველა შექცევადი მოქმედებებია, რომლებიც არ იძლევა გარეშე ამონახსნებს.

რადგან ელენამ ამოხსნისას მხოლოდ შექცევადი მოქმედებები გამოიყენა, მას ვერ ექნება გარეშე ამონახსნები.

გამოვიდა, რომ პასუხია არა.

სავარჯიშო შეკითხვა 3

ედისონი ქვემოთ მოცემულ განტოლებას ხსნის თავდაპირველად კვადრატში აყვანით.

2 x - 1 = \sqrt{8 - x}

რა გარეშე ამონახსნებს იღებს ედისონი?

x =

სტრატეგია

გარეშე ამონახსნის საპოვნელად მოდით, ჯერ დავიწყოთ განტოლების ამოხსნა. ამონახსნი, რომელიც ჩნდება ამოხსნის პროცესში, თუმცა არ აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას, არის გარეშე ამონახსნი.

ნაბიჯი 1: განტოლების ამოხსნა

\begin{aligned} 2 x - 1 & = \sqrt{8 - x} \\ {(2 x - 1)}^{2} & = {(\sqrt{8 - x})}^{2} \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = 8 - x \\ 4 x^{2} - 3 x - 7 & = 0 \\ (4 x - 7) (x + 1) & = 0 \end{aligned}

მივიღეთ ორი შესაძლო ამონახსნი.

x = - 1

და

x = \frac{7}{4}

ნაბიჯი 2: გარეშე ამონახსნების შემოწმება

ახლა შევამოწმოთ, რომელიმე მათგანი გარეშე ხომ არ არის.

თავდაპირველი განტოლება არის

2 x - 1 = \sqrt{8 - x}

თუ

x = - 1

, მაშინ:

\begin{aligned} 2 x - 1 & = \sqrt{8 - x} \\ 2 (- 1) - 1 & \overset{?}{=} \sqrt{8 - (- 1)} \\ - 3 & \overset{?}{=} \sqrt{9} \\ - 3 & \neq 3 \end{aligned}

ასე რომ,

x = - 1

არ არის ამონახსნი. ის არის გარეშე ამონახსნი.

თუ

x = \frac{7}{4}

, მაშინ:

\begin{aligned} 2 x - 1 & = \sqrt{8 - x} \\ 2 (\frac{7}{4}) - 1 & \overset{?}{=} \sqrt{8 - (\frac{7}{4})} \\ \frac{5}{2} & \overset{?}{=} \sqrt{\frac{25}{4}} \\ \frac{5}{2} & = \frac{5}{2} \end{aligned}

ასე რომ,

x = \frac{7}{4}

არის ამონახსნი.

დასკვნა

გარეშე ამონახსნი, რომელიც განტოლების ამოხსნის შედეგად ჩნდება, არის $x = - 1$ ‍.

სავარჯიშო შეკითხვა 4

$d$ ‍–ს რა მუდმივი მნიშვნელობისთვის ხდება $x = - 1$ ‍ შემდეგი განტოლების გარეშე ამონახსნი?

\sqrt{8 - x} = 2 x + d

d =

თავდაპირველი განტოლება რომ ამოგვეხსნა, განტოლების ორივე მხარის კვადრატში აყვანა მოგვიწევდა:

\begin{aligned} \sqrt{8 - x} & = 2 x + d \\ (\sqrt{8 - x})^{2} & = (2 x + d)^{2} \\ 8 - x & = (2 x + d)^{2} \end{aligned}

თუმცა, განტოლების ორივე მხარის კვადრატში აყვანამ შეიძლება, გარეშე ამონახსნები გააჩინოს!

ფესვქვეშა განტოლებების ამოხსნისას გარეშე ამონახსნები იმიტომ ჩნდება, რომ ორივე მხარის კვადრატში აყვანა არაა მაშინ და მხოლოდ მაშინ ტიპის მოქმედება. მაგალითად, თუ

a = b

, მაშინ

a^{2} = b^{2}

, მაგრამ თუ

a^{2} = b^{2}

, აუცილებელი არაა, რომ

a = b

როცა გვაქვს

a^{2} = b^{2}

ფორმის ტოლობა, მხოლოდ იმის დასკვნა შეგვიძლია, რომ

a = b

ან

a = - b

მოდით,

x = - 1

ჩავსვათ ბოლოს მიღებულ განტოლებაში:

\begin{aligned} 8 - x & = (2 x + d)^{2} \\ 8 - (- 1) & = (2 (- 1) + d)^{2} \\ 9 & = (- 2 + d)^{2} \end{aligned}

ეს განტოლება არის სწორი მაშინაც, როცა

- 2 + d = 3

და მაშინაც, როცა

- 2 + d = - 3

თუმცა, თავდაპირველი განტოლება

- 2 + d = - 3

–ისთვის არ არის სწორი, რადგან ასე გამოდის, რომ

\sqrt{9} = - 3

შესაბამისად, გარეშე ამონახსნი მიიღება

d

–ის იმ მნიშვნელობისთვის, რომელზეც

- 2 + d

უდრის

- 3

–ს, რაც არის

d = - 1

ამის თავდაპირველ განტოლებაში ჩასმა გვაძლევს

\sqrt{8 - x} = 2 x - 1

–ს. შეგიძლიათ, იგი ამოხსნათ

x

–ის მიმართ და თავად ნახოთ, რომ

x = - 1

არის ნამდვილად გარეშე ამონახსნი.

გამოვიდა, რომ ამონახსნი არის $d = - 1$ ‍.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.