ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 2

გაკვეთილი 13: მრავალწევრიანი ფუნქციების სიმეტრიულობა

მრავალწევრების სიმეტრიულობა

ისწავლეთ, როგორ განსაზღვროთ, მრავალწევრა ფუნქცია ლუწია, კენტია თუ არც ერთი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

ფუნქცია არის ლუწი, თუ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია

y

ღერძის მიმართ.

ალგებრულად,

f

არის ლუწი ფუნქცია, თუ ყველა

x

-ისთვის

f (- x) = f (x)

ფუნქცია არის კენტი თუ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია სათავის მიმართ.

ალგებრულად,

f

არის კენტი ფუნქცია, თუ ყველა

x

-ისთვის

f (- x) = - f (x)

თუ ეს თქვენთვის სიახლეა, გირჩევთ, გადახედოთ ჩვენს შესავალს ფუნქციების სიმეტრიაში.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

თქვენ ისწავლით, მრავალწევრის განტოლებაზე დაყრდნობით როგორ განსაზღვროთ, მრავალწევრი ლუწია, კენტი, თუ არცერთი.

გამოკვლევა: ერთწევრების სიმეტრია

ერთწევრი არის ერთწევრიანი მრავალწევრი. ერთწევრებს აქვს ფორმა

f (x) = a x^{n}

, სადაც

a

არის ნამდვილი რიცხვი და

n

არის მთელი რიცხვი, რომელიც მეტია ან ტოლია

0

-ის.

ამ მაგალითში გავაანალიზებთ რამდენიმე ერთწევრა ფუნქციის სიმეტრიას, რათა დავინახოთ, შეგვიძლია თუ არა, დავადგინოთ რამე ზოგადი წესი, რომლის მიხედვითაც ერთწევრა ფუნქცია კენტია ან ლუწი.

ზოგადად, იმის დასადგენად,

f

ფუნქცია კენტია, ლუწი თუ არც კენტი და არც ლუწი, ვაანალიზებთ გამოსახულებას

f (- x)

-თვის:

თუ $f (- x)$ ‍ იგივეა რაც $f (x)$ ‍, მაშინ $f$ ‍ ლუწია.

თუ $f (- x)$ ‍ საპირისპიროა $f (x)$ ‍-ის, მაშინ $f$ ‍ კენტია.
სხვა შემთხვევებში ის არც ლუწია და არც კენტი.

პირველ მაგალითში დავადგინოთ,

f (x) = 4 x^{3}

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & გაამარტივეთ \\ = - f (x) & რადგან f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

ამ შემთხვევაში,

f (- x) = - f (x)

, და შესაბამისად,

f

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

ახლა თავად სცადეთ რამდენიმე მაგალითი, რათა ნახოთ, შეგიძლიათ თუ არა კანონზომიერების დანახვა.

1) ფუნქცია $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ ლუწია, კენტი, თუ არცერთი?

იმის დასადგენად,

g

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი, ვპოულობთ

g (- x)

-ს.

$\begin{aligned} g (- x) & = 3 (- x)^{2} \\ = 3 (x^{2}) & (- x)^{2} = x^{2} \\ = 3 x^{2} & გაამარტივეთ \\ = g (x) & რადგან g (x) = 3 x^{2} \end{aligned}$ ‍

ვინაიდან

g (- x) = g (x)

, ფუნქცია არის ლუწი ფუნქცია.

2) ფუნქცია $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ ლუწია, კენტი თუ არცერთი?

იმის განსასაზღვრად,

h

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი, ვიპოვოთ

h (- x)

$\begin{aligned} h (- x) & = - 2 (- x)^{5} \\ = - 2 (- x^{5}) & (- x)^{5} = - x^{5} \\ = 2 x^{5} & გაამარტივეთ \\ = - h (x) & რადგან h (x) = - 2 x^{5} \end{aligned}$ ‍

რადგან

h (- x) = - h (x)

, მოცემული ფუნქცია არის კენტი.

გამოკვლევის დასკვნა

ზემოთ მოცემული მაგალითებიდან ჩანს, რომ თუ

f

არის ლუწი ხარისხის ერთწევრა ფუნქცია, მაშინ

f

ფუნქცია ლუწი ფუნქციაა. ამის მსგავსად, თუ

f

ფუნქცია ერთწევრაა და კენტი ხარისხის, მაშინ

f

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

	ლუწი ფუნქცია	კენტი ფუნქცია
მაგალითები	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
ზოგადად	$f (x) = a x^{n}$ ‍, სადაც $n$ ‍ არის $ლუწი$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍, სადაც $n$ ‍ არის $კენტი$ ‍

ეს იმიტომაა, რომ

(- x)^{n} = x^{n}

როდესაც

n

ლუწია და

(- x)^{n} = - x^{n}

როდესაც

n

კენტია.

შესაძლოა, რომ სწორედ ამ მიზეზით დაერქვათ ლუწ და კენტ ფუნქციებს ეს სახელები!

კვლევა: მრავალწევრების სიმეტრია

ამ გამოკვლევაში შევისწავლით იმ მრავალწევრა ფუნქციების სიმეტრიას, რომლებსაც ერთზე მეტი თავისუფალი წევრი აქვთ.

მაგალითი 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

იმის დასადგენად,

f

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი, ვპოულობთ

f (- x)

-ს.

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} როცა n ლუწია \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & გაამარტივეთ \\ = f (x) & რადგან f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

ვინაიდან

f (- x) = f (x)

f

ფუნქცია ლუწი ფუნქციაა.

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

f

-ის ყველა წევრი ლუწი ხარისხისაა.

მაგალითი 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

როგორც ყოველთვის, ვიწყებთ

g (- x)

-ის პოვნით.

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} როცა n კენტია \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & გაამარტივეთ \end{aligned}

ამ ეტაპზე, მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ

g (- x)

-ის ყოველი წევრი მოპირდაპირეა

g (x)

-ის ყოველი წევრის. ანუ

g (- x) = - g (x)

, და ამგვარად

g

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

g

ფუნქციის ყველა წევრი კენტი ხარისხისაა.

მაგალითი 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

ვიპოვოთ

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} და (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & გაამარტივეთ \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

არ არის იგივე, რაც

h (x)

და არც

h (x)

-ის მოპირდაპირეა.

მათემატიკურად,

h (- x) \neq h (x)

და

h (- x) \neq - h (x)

, და ამგვარად

h

არც ლუწია და არც კენტი.

მივაქციოთ ყურადღება, რომ

h

ფუნქციას აქვს ერთი ლუწი ხარისხის წევრი და ერთი კენტი ხარისხის წევრი.

გამოკვლევის დასკვნა

ზოგადად, შეგვიძლია, დავადგინოთ, არის თუ არა მრავალწევრა ფუნქია ლუწი, კენტი, თუ არცერთი, თითოეულ წევრზე დაკვირვებით.

‍	ზოგადი წესი	მრავალწევრას მაგალითი
ლუწი	მრავალწევრი ლუწია, თუ ყოველი წევრი ლუწი ფუნქციაა.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
კენტი	მრავალწევრი კენტია, თუ ყოველი წევრი კენტი ფუნქციაა.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
არცერთი	მრავალწევრი არც ლუწია და არც კენტი, თუ იგი შედგება როგორც ლუწი, ასევე კენტი ფუნქციებისგან.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍ ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი?

დაწყებამდე გავარკვიოთ,

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

–ის თითოეული წევრი ლუწი ფუნქციაა თუ კენტი.

$- 3 x^{4}$ ‍ ლუწი ფუნქციაა, რადგან ის არის $ლუწ$ ‍ ხარისხში აყვანილი ერთწევრი.
$- 7 x^{2}$ ‍ არის ლუწი ფუნქცია, რადგან ის არის $ლუწ$ ‍ ხარისხში აყვანილი ერთწევრი.
$5$ ‍ ლუწი ფუნქციაა, რადგან ის არის $ლუწ$ ‍ ხარისხში აყვანილი ერთწევრი. აღვნიშნოთ, რომ მისი ჩაწერა შესაძლებელია, როგორც $5 \cdot x^{0}$ ‍.

ვინაიდან მრავალწევრა ფუნქციის თითოეული წევრი არის ლუწი ფუნქცია (ლუწი ხარისხის), ეს მრავალწევრიც არის ლუწი.

ამის დანახვა ალგებრულადაც შეგვეძლო იმის ჩვენებით, რომ

f (- x) = f (x) .

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n} ლუწი n - ი ს ა თ ვ ი ს \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & გაამარტივეთ \\ = f (x) \end{aligned}

4) $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍ ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი?

დაწყებამდე გავარკვიოთ,

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

–ის თითოეული წევრი ლუწი ფუნქციაა თუ კენტი.

$8 x^{7}$ ‍ კენტი ფუნქციაა, რადგან ეს ერთწევრი $კენტ$ ‍ ხარისხშია.
$6 x^{3}$ ‍ კენტი ფუნქციაა, რადგან ეს ერთწევრი $კენტ$ ‍ ხარისხშია.
$x^{2}$ ‍ ლუწი ფუნქციაა, რადგან ეს ერთწევრი $ლუწ$ ‍ ხარისხშია.

ვინაიდან ამ მრავალწევრის წევრები შერეულია (ლუწიც და კენტიც), ეს მრავალწევრი არც კენტია და არც ლუწი.

ამის დადასტურება ალგებრულადაც შეგვიძლია. აღვნიშნოთ, რომ

g (- x)

არც

g (x)

არის და არც მისი მოპირდაპირე.

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & გაამარტივეთ \end{aligned}

5) $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍ ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი?

დაწყებამდე გავარკვიოთ,

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

–ის თითოეული წევრი ლუწი ფუნქციაა თუ კენტი.

$10 x^{5}$ ‍ კენტი ფუნქციაა, რადგან ერთწევრი $კენტ$ ‍ ხარისხშია.
$2 x^{3}$ ‍ კენტი ფუნქციაა, რადგან ერთწევრი $კენტ$ ‍ ხარისხშია.
$- x$ ‍ კენტი ფუნქციაა, რადგან ერთწევრი $კენტ$ ‍ ხარისხშია. ყურადღება მივაქციოთ, რომ ის შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც $- 1 \cdot x^{1}$ ‍.

ვინაიდან მრავალწევრა ფუნქციის თითოეული წევრი არის კენტი ფუნქცია (კენტი ხარისხის), ეს მრავალწევრიც არის კენტი.

ამის დანახვა ალგებრულადაც შეგვეძლო იმის ჩვენებით, რომ

h (- x) = - h (x) .

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} როცა n კენტია \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & გაამარტივეთ \\ = - h (x) \end{aligned}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 2

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

გამოკვლევა: ერთწევრების სიმეტრია

გამოკვლევის დასკვნა

კვლევა: მრავალწევრების სიმეტრია

მაგალითი 1: f(x)=2x4−3x2−5‍

მაგალითი 2: g(x)=5x7−3x3+x‍

მაგალითი 3: h(x)=2x4−7x3‍

გამოკვლევის დასკვნა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

მაგალითი 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

მაგალითი 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍