შუექცევადი ფუნქციები. შესავალი

შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით არის ფუნქციები, რომლებიც ერთმანეთს „აბრუნებენ". მაგალითად, თუ $f$‍ ფუნქცია $a$‍–ს აქცევს $b$‍–დ, მაშინ მისმა შებრუნებულმა, $f^{-1}$‍–მა, $b$‍ უნდა აქციოს $a$‍–დ.

განიხილეთ შემდეგი ცხრილით განსაზღვრული $h$‍ სასრული ფუნქცია.

შეგვიძლია, ავაგოთ $h$‍ ფუნქციის ასახვის დიაგრამა.

ახლა მოდით, ასახვა შევაბრუნოთ, რომ ვიპოვოთ $h^{-1}$‍.

ყურადღღება მიაქციეთ, რომ აქ $h^{-1}$‍ არგუმენტ $2$‍–ს ასახავს ორ განსხვავებულ მნიშვნელობაზე: $1$‍–სა და $3$‍–ზე. ეს იმას ნიშნავს, რომ $h^{-1}$‍ არ არის ფუნქცია.

რადგან $h$‍–ის შებრუნებული არ არის ფუნქცია, ვამბობთ, რომ $h$‍ არის გადაგვარებული.

ზოგადად, ფუნქცია გადაუგვარებელია, თუ თითოეულ არგუმენტს ერთადერთი მნიშვნელობა შეესაბამება. ანუ, თითოეული მნიშვნლობა ზუსტად ერთ არგუმენტთან არის დაწყვილებული. ამ შემთხვევაში, როცა ასახვა შებრუნდება, იგი კვლავ ფუნქცია იქნება!

აქ არის გადაუგვარებელი ფუნქციის მაგალითი $g$‍. ყურადღება მიაქციეთ, რომ შებრუნებული ნამდვილად ფუნქციაა.

განიხილეთ $y=x^2$‍ ფუნქციის გრაფიკი.

ვიცით, რომ ფუნქცია გადაუგვარებელია, თუ თითოეულ არგუმენტს შეესაბამება ერთადერთი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული მნიშვნელობა დაწყვილებულია ზუსტად ერთ არგუმენტთან.

მაგრამ $y=x^2$‍–ისთვის ეს ასე არ არის.

მაგალითისთვის ავიღოთ მნიშვნელობა $4$‍. ყურადღება მიაქციეთ, რომ $y=4$‍ წრფის დახაზვით, ვხედავთ, რომ მნიშვნელობა $4$‍–ს შეესაბამება ორი არგუმენტი, $2$‍ და $-2$‍.

სინამდვილეში, თუ ჰორიზონტალურ წრფეს აასრიალებთ ზემოთ და ქვემოთ, დაინახავთ, რომ მნიშვნელობათა უმეტესობა ორ არგუმენტს შეესაბამება! ასე რომ, $y=x^2$‍ ფუნქცია გადაგვარებული ფუნქციაა.

ამის საწინააღმდეგოდ განიხილეთ $y=x^3$‍ ფუნქცია.

თუ ავიღებთ ჰორიზონტალურ წრფეს და მას ვასრიალებთ გრაფიკზე ზემოთ და ქვემოთ, იგი ფუნქციას ყოველთვის მხოლოდ ერთ ადგილას გადაკვეთს!

ეს იმას ნიშნავს, რომ თითოეული მნიშვნელობა მხოლოდ ერთ არგუმენტს შეესაბამება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყოველ არგუმენტს ერთადერთი მნიშვნელობა აქვს. $y=x^3$‍ ფუნქცია გადაუგვარებელია.

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა აღწერს იმას, რასაც ჰორიზონტალური წრფის ტესტი ეწოდება: ზოგადად, $f$‍ გადაუგვარებელია, თუ იგი გაივლის ჰორიზონტალური წრფის ტესტს.