If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

შებრუნებული ფუნქციები. შესავალი

ისწავლეთ, რა არის ფუნქციის შებრუნებული და როგორ შევაფასოთ ცხრილით ან გრაფიკით მოცემული ფუნქციების შებრუნებულები.
შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე გავრცელებული გაგებით არის ფუნქციები რომლებიც „აბრუნებენ" ერთმანეთს.
მაგალითად, აქ ვხედავთ, რომ f ფუნქციას 1 შეესაბამება x-ს, 2- z-ს და 3- y-ს.
f-ის შებრუნებული, რომელიც აღინიშნება f1-ით (და იკითხება როგორც „f-ის შებრუნებული"), შეაბრუნებს რუკაზე მოცემოლი ელემენტების ურთიერთდაკავშირების მიმართულებას. f1 ფუნქცია აკავშირებს x-ს 1-თან, y-ს - 3-თან და z-ს - 2-თან.
სააზროვნო შეკითხვა
ქვემოთმოყვანილთაგან რომელია სწორი მტკიცება?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრება

ზოგადად, თუ f ფუნქციაში a შეესაბამება b-ს, მაშინ f1 შებრუნებულ ფუნქციაში b შეესაბამება a-ს.
აქედან ვიღებთ შებრუნებული ფუნქციების ფორმალურ განმარტებას:

f(a)=bf1(b)=a

მოდით, ორიოდე მაგალითზე მუშაობით უფრო ღრმად გამოვიკვლიოთ ეს განსაზღვრება.

მაგალითი 1: დიაგრამის აგება

ვიგულისხმოთ, რომ h ფუნქცია განისაზღვრება ზემოთმოყვანილი ასახვის დიაგრამით. რას უდრის h1(9)?

ამოხსნა

მოცემული გვაქვს ინფორმაცია h ფუნქციის შესახებ და გვისვამენ შეკითხვას h1 ფუნქციის შესახებ. რადგან შებრუნებული ფუნქციები ერთმანეთს აბრუნებენ, საჭიროა შევაბრუნოთ ჩვენი აზროვნება.
კერძოდ, h1(9)-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ h-ის არგუმენტი. რომლის მნიშვნელობაცაა 9. ეს იმიტომ რომ თუ h1(9)=x, მაშინ შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, h(x)=9.
ასახვის დიაგრამიდან ვხედავთ, რომ h(6)=9, შესაბამისად, h1(9)=6.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 1
g1(3)=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

მაგალითი 2: გრაფიკი

ეს არის g-ის გრაფიკი. მოდი ვიპოვოთ, რას უდრის g1(7)

ამოხსნა

g1(7)-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ g-ის არგუმენტი, რომელიც შეესაბამება 7-ის მნიშვნელობას. ეს იმიტომ, რომ თუ g1(7)=x, მაშინ, შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, g(x)=7.
გრაფიკიდან ვხედავთ რომ g(3)=7.
ამიტომ, g1(7)=3.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 2
რას უდრის h1(4)?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

რთული ამოცანა
თუ მოცემულია, რომ f(x)=3x2, რას უდრის f1(7)?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

გრაფიკული კავშირი

ზემოთმოყვანილი მაგალითები გვიჩვენებენ ალგებრულ კავშირს ფუნქციასა და მის შებრუნებულს შორის, მაგრამ გვაქვს გრაფიკული კავშირიც!
გრაფიკსა და მნიშვნელობათა ცხრილში მოცემული f ფუნქცია.
   xf(x)
214
112
   0   1
   1   2
   2   4
f1 ფუნქციის არგუმენტებისა და მნიშვნელობების საპოვნელად შეგვიძლია, შევაბრუნოთ f ფუნქციის არგუმენტები და მნიშვნელობები. ასე რომ, თუ (a,b) არის y=f(x)-ის გრაფიკზე, მაშინ (b,a) იქნება (b,a)-ის გრაფიკზე.
შედეგად გვაქვს ეს გრაფიკები და f1-ის მნიშვნელობათა ცხრილი.
   xf1(x)
142
121
   1   0
   2   1
   4   2
ერთად ამ გრაფიკების აღქმისას ვხედავთ რომ y=f(x)-ის გრაფიკი და y=f1(x)-ის გრაფიკი ერთმანეთის სიმეტრიულია y=x წრფის მიმართ.
ზოგადი გადმოსახედიდან მართალი იქნება: ფუნქცია და მისი შებრუნებული ერთმანეთის სიმეტრიულებია y=x წრფის მიმართ.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 3
ეს არის y=h(x)–ის გრაფიკი.
რომელია y=h1(x) გრაფიკისათვის საუკეთესო არჩევანი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 4
y=h(x)–ის გრაფიკი არის (5,1) და (2,7) წერტილების შემაერთებელი მონაკვეთი.
y=h1(x)-ის გრაფიკის ასაგებად დაიტანეთ სეგმენტის ბოლოების წერტილები.

რატომ უნდა ვისწავლოთ ფუნქციების შებრუნება?

ერთი შეხედვით შეიძლება, დაუსაბუთებელად მოჩანდეს შებრუნებული ფუნქციებით დაინტერესება, მაგრამ, რეალურად, ჩვენ მათ ყოველთვის ვიყენებთ!
ჩათვალეთ რომ განტოლება C=59(F32) გამოიყენება ცელსიუსებში (C) მოცემული ტემპერატურის ფარენჰაიტებში (F) გადასაყვანად.
მაგრამ ჩავთვალოთ, რომ გვინდოდა განტოლება, რომელიც შებრუნებას გააკეთებდა - გრადუსებში მოცემულ ტემპერატურას გადაიყვანდა ფარენჰაიტებში. ამას აღწერს ფუნქცია F=95C+32, იგივე მოცემული ფუნქციის შებრუნებული.
მეტად საფუძვლიან საფეხურზე, მათემატიკაში ბევრ განტოლებას ვხსნით „ცვლადის გამოცალკევების გზით". როდესაც გამოვაცალკევებთ ცვლადს, შეგვიძლია, რაც მის ირგვლივაა, იმის „ანულირება" მოვახდინოთ. ამგვარად, ამ განტოლებების ამოსახსნელად ჩვენ ვიყენებთ შებრუნებული ფუნქციების ცნებას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.