შებრუნებული ფუნქციები. შესავალი

შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე გავრცელებული გაგებით არის ფუნქციები რომლებიც „აბრუნებენ" ერთმანეთს.

მაგალითად, აქ ვხედავთ, რომ $f$‍ ფუნქციას $1$‍ შეესაბამება $x$‍-ს, $2$‍- $z$‍-ს და $3$‍- $y$‍-ს.

$f$‍-ის შებრუნებული, რომელიც აღინიშნება $f^{-1}$‍-ით (და იკითხება როგორც „$f$‍-ის შებრუნებული"), შეაბრუნებს რუკაზე მოცემოლი ელემენტების ურთიერთდაკავშირების მიმართულებას. $f^{-1}$‍ ფუნქცია აკავშირებს $x$‍-ს $1$‍-თან, $y$‍-ს - $3$‍-თან და $z$‍-ს - $2$‍-თან.

ზოგადად, თუ $f$‍ ფუნქციაში $a$‍ შეესაბამება $b$‍-ს, მაშინ $f^{-1}$‍ შებრუნებულ ფუნქციაში $b$‍ შეესაბამება $a$‍-ს.

აქედან ვიღებთ შებრუნებული ფუნქციების ფორმალურ განმარტებას:

მოდით, ორიოდე მაგალითზე მუშაობით უფრო ღრმად გამოვიკვლიოთ ეს განსაზღვრება.

ვიგულისხმოთ, რომ $h$‍ ფუნქცია განისაზღვრება ზემოთმოყვანილი ასახვის დიაგრამით. რას უდრის $h^{-1}(9)$‍?

მოცემული გვაქვს ინფორმაცია $h$‍ ფუნქციის შესახებ და გვისვამენ შეკითხვას $h^{-1}$‍ ფუნქციის შესახებ. რადგან შებრუნებული ფუნქციები ერთმანეთს აბრუნებენ, საჭიროა შევაბრუნოთ ჩვენი აზროვნება.

კერძოდ, $h^{-1}(9)$‍-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ $h$‍-ის არგუმენტი. რომლის მნიშვნელობაცაა $9$‍. ეს იმიტომ რომ თუ $h^{-1}(9)=x$‍, მაშინ შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, $h(x)=9$‍.

ასახვის დიაგრამიდან ვხედავთ, რომ $h(6)=9$‍, შესაბამისად, $h^{-1}(9)=6$‍.

ეს არის $g$‍-ის გრაფიკი. მოდი ვიპოვოთ, რას უდრის $g^{-1}(-7)$‍

$g^{-1}(-7)$‍-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ $g$‍-ის არგუმენტი, რომელიც შეესაბამება $-7$‍-ის მნიშვნელობას. ეს იმიტომ, რომ თუ $g^{-1}(-7)=x$‍, მაშინ, შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, $g(x)=-7$‍.

გრაფიკიდან ვხედავთ რომ $g(-3)=-7$‍.

ამიტომ, $g^{-1}(-7)=-3$‍.

ზემოთმოყვანილი მაგალითები გვიჩვენებენ ალგებრულ კავშირს ფუნქციასა და მის შებრუნებულს შორის, მაგრამ გვაქვს გრაფიკული კავშირიც!

გრაფიკსა და მნიშვნელობათა ცხრილში მოცემული $f$‍ ფუნქცია.

$f^{-1}$‍ ფუნქციის არგუმენტებისა და მნიშვნელობების საპოვნელად შეგვიძლია, შევაბრუნოთ $f$‍ ფუნქციის არგუმენტები და მნიშვნელობები. ასე რომ, თუ $(a,b)$‍ არის $y=f(x)$‍-ის გრაფიკზე, მაშინ $(b,a)$‍ იქნება $(b,a)$‍-ის გრაფიკზე.

შედეგად გვაქვს ეს გრაფიკები და $f^{-1}$‍-ის მნიშვნელობათა ცხრილი.

ერთად ამ გრაფიკების აღქმისას ვხედავთ რომ $y=f(x)$‍-ის გრაფიკი და $y=f^{-1}(x)$‍-ის გრაფიკი ერთმანეთის სიმეტრიულია $y=x$‍ წრფის მიმართ.

ზოგადი გადმოსახედიდან მართალი იქნება: ფუნქცია და მისი შებრუნებული ერთმანეთის სიმეტრიულებია $y=x$‍ წრფის მიმართ.

ერთი შეხედვით შეიძლება, დაუსაბუთებელად მოჩანდეს შებრუნებული ფუნქციებით დაინტერესება, მაგრამ, რეალურად, ჩვენ მათ ყოველთვის ვიყენებთ!

ჩათვალეთ რომ განტოლება $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ გამოიყენება ცელსიუსებში ($C$‍) მოცემული ტემპერატურის ფარენჰაიტებში ($F$‍) გადასაყვანად.

მაგრამ ჩავთვალოთ, რომ გვინდოდა განტოლება, რომელიც შებრუნებას გააკეთებდა - გრადუსებში მოცემულ ტემპერატურას გადაიყვანდა ფარენჰაიტებში. ამას აღწერს ფუნქცია $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍, იგივე მოცემული ფუნქციის შებრუნებული.

მეტად საფუძვლიან საფეხურზე, მათემატიკაში ბევრ განტოლებას ვხსნით „ცვლადის გამოცალკევების გზით". როდესაც გამოვაცალკევებთ ცვლადს, შეგვიძლია, რაც მის ირგვლივაა, იმის „ანულირება" მოვახდინოთ. ამგვარად, ამ განტოლებების ამოსახსნელად ჩვენ ვიყენებთ შებრუნებული ფუნქციების ცნებას.