ძირითადი მასალა

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 1

გაკვეთილი 1: ფუნქციების გაერთიანება

ფუნქციების გამრავლება და გაყოფა

ნახეთ, როგორ შეგვიძლია მივიღოთ ახალი ფუნქცია ორი ფუნქციის გამრავლებით ან გაყოფით.

ჩვენ შეგვიძლია, გავამრავლოთ და გავყოთ ფუნქციები, ისევე, როგორც შეგვიძლია, გავამრავლოთ და გავყოთ რიცხვები. მაგალითად, რომ გვქონოდა

f

და

g

ფუნქციები, შევძლებდით ორი ახალი ფუნქციის შექმნას:

f \cdot g

და

\frac{f}{g}

ორი ფუნქციის გამრავლება

მაგალითი

მოდით, შევხედოთ მაგალითს, რომ ვნახოთ, თუ როგორ ხდება ეს.

მოცემული

f (x) = 2 x - 3

და

g (x) = x + 1

–ით, იპოვეთ

(f \cdot g) (x)

ამოხსნა

ფუნქციების გაერთიანების ყველაზე რთული ნაწილი ჩანაწერის გაგებაა. რას ნიშნავს

(f \cdot g) (x)

(f \cdot g) (x)

უბრალოდ ნიშნავს

f (x)

–ისა და

g (x)

–ის ნამრავლის პოვნას. მათემატიკურად ეს ნიშნავს იმას, რომ

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

ახლა ეს ნაცნობი ამოცანა გახდა.

\begin{aligned} (f \cdot g) (x) & = f (x) \cdot g (x) & განსაზღვრეთ. \\ = (2 x - 3) \cdot (x + 1) & ჩასვით. \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & ფრჩხილები გახსენით. \\ = 2 x^{2} - x - 3 & მსგავსი წევრები შეკრიბეთ. \end{aligned}

შენიშვნა: ჩვენ შედეგი გავამარტივეთ უკეთესი გამოსახულების მისაღებად, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი.

მოდით, ვცადოთ რამდენიმე ამოცანა.

ამოცანა 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

იპოვეთ $(c \cdot d) (y)$ ‍.

ამოცანა 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

გამოთვალეთ $(m \cdot n) (- 1)$ ‍.

ორი ფუნქციის გაყოფა

ორი ფუნქციის გაყოფა მსგავსი გზით ხდება. აი მაგალითი.

მაგალითი

h (n) = 2 n - 1

და

j (n) = n + 3

მოდით, ვიპოვოთ

(\frac{j}{h}) (n)

ამოხსნა

განსაზღვრების თანახმად,

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

ახლა შეგვიძლია, ამოვხსნათ ამოცანა.

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & განსაზღვრეთ. \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & ჩასვით. \end{aligned}

ორი მნიშვნელოვანი შენიშვნა ამ ფუნქციის შესახებ:

ეს ფუნქცია გამარტივებულია მის ამჯამინდელ ფორმამდე.
$n = \frac{1}{2}$ ‍ არ არის ამ ფუნქციის შესაძლო არგუმენტი, რადგან, როცა $n = \frac{1}{2}$ ‍, $2 n - 1 = 0$ ‍ და $0$ ‍-ზე გაყოფა განუსაზღვრელია.

მოდით, ვცადოთ რამდენიმე სავარჯიშო

ამოცანა 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

იპოვეთ $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

ამოცანა 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

გამოთვალეთ $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

ამოცანა 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

$x$ ‍–ის რა მნიშვნელობისთვის არის $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ განუსაზღვრელი?

გამოყენება

დრო და მანძილი, რომელსაც ჯორდანი დღეში დარბის, დამოკიდებულია მის მიერ დღეში ნამუშევარ

h

საათზე. მანძილი

D

მილებში და

T

დრო წუთებში, რომელსაც იგი დარბის, მოცემულია შესაბამისად

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

და

T (h) = - 6 h + 90

ფორმულებით.

მოდით,

S

ფუნქცია წარმოადგენდეს საშუალო სიჩქარეს, რომლითაც ჯორდანი დარბის იმ დღეს, რომელშიც მუშაობს

h

საათს.

ამოცანა 6

ჩამოთვლილთაგან რომელი განსაზღვრავს $S$ ‍ ფუნქციას სწორად?

რთული ამოცანა

y = f (x)

–ისა და

y = g (x)

–ის გრაფიკები აგებულია ქვემოთ მოცემულ ბადეზე.

რომელია $y = (f \cdot g) (x)$ ‍–ის გრაფიკი?

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.