ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 5

გაკვეთილი 3: ლოგარითმის თვისებები

ლოგარითმის თვისებების დამტკიცება

შეისწავლეთ ლოგარითმის თვისებების დამტკიცებები: ნამრავლის წესი, განაყოფის წესი და ხარისხის წესი.

ამ გაკვეთილში დავამტკიცებთ ლოგარითმის სამ თვისებას: ნამრავლის წესი, განაყოფის წესი და ხარისხის წესი. დაწყებამდე გავიხსენოთ სასარგებლო ფაქტი, რომელიც გზადაგზა დაგვეხმარება.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლოგარითმი

b

ფუძით აბრუნებს

b

-ფუძიანი ხარისხის ეფექტს!

გახსოვდეთ, რომ ლოგარითმი არის ხარისხზე ფიქრის განსხვავებული გზა.

\log_{b} (a)

–ის მნიშვნელობა არის პასუხი კითხვაზე: „

b

რომელ ხარისხში არის

a

შეგიძლიათ, იპოვოთ

\log_{b} (b^{c})

, თუ იკითხავთ, „რომელ ხარისხში აყვანილი

b

უდრის

b^{c}

-ს?" პასუხია:

c

ხარისხში, რა თქმა უნდა!

შემდგომი დამტკიცებების კითხვისას ეს გაითვალისწინეთ.

ნამრავლის წესი: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

მოდით, დავიწყოთ წესის კონკრეტული მაგალითის დამტკიცება — მაგალითი, როცა

M = 4

N = 8

და

b = 2

ამ მნიშვნელობების

\log_{b} (M N)

–ში ჩასმით ვხედავთ, რომ:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 და 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & რადგანაც 2 = \log_{2} (4) და 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

ანუ მივიღებთ, რომ

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

მიუხედავად იმისა, რომ ეს მხოლოდ ერთ მაგალითს ამტკიცებს, ამ ლოგიკას შეგვიძლია, მივყვეთ, რომ ზოგადად დავამტკიოთ ნამრავლის წესი.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

4

–ისა და

8

–ის

2

–ის ხარისხების სახით წარმოდგენამ მიგვიყვანა დამტკიცებამდე. ასე რომ, ზოგადად, გვინდა,

M

და

N

იყოს ხარისხები

b

ფუძით. ამის გასაკეთებლად შეგვიძლია, დავუშვათ, რომ

M = b^{x}

და

N = b^{y}

რაიმე

x

და

y

ნამდვილი რიცხვისათვის.

ეს თვისება ჭეშმარიტი რომ იყოს,

M

და

N

უნდა იყოს დადებითი. (წინააღმდეგ შემთხვევაში,

\log_{b} (M)

და

\log_{b} (N)

განუსაზღვრლია!)

ასე რომ, უნდა იყოს რაღაც

x

, რომლისთვისაც

b^{x} = M

და რაღაც

y

, რომლისთვისაც

b^{y} = N

, რადგან ნებისმიერი მაჩვენებლიანი ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე მოიცავს მხოლოდ დადებით რიცხვებს.

განსაზღვრების თანახმად ჭეშმარიტია, რომ

\log_{b} (M) = x

და

\log_{b} (N) = y

ახლა ჩვენ გვაქვს:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & ჩასმა \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & ხარისხების თვისებები \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & ჩასმა \end{aligned}$ ‍

განაყოფების წესი: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

ამ თვისების დამტკიცება ზემოთ გამოყენებული მეთოდის მსგავსია.

ისევ, თუ დავუშვებთ, რომ

M = b^{x}

და

N = b^{y}

, გამოვა, რომ

\log_{b} (M) = x

და

\log_{b} (N) = y

ახლა განაყოფის წესი შეგვიძლია, დავამტკიცოთ შემდეგნაირად:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & ჩასმა \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & ხარისხების თვისებები \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & ჩასმა \end{aligned}$ ‍

ხარისხების წესი: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

ამ შემთხვევაში თვისებაში მხოლოდ

M

ურევია და შესაბამისად,

M = b^{x}

–ის დაშვება საკმარისია, საიდანაც ვიღებთ, რომ

\log_{b} (M) = x

ხარისხის წესის დამტკიცება ნაჩვენებია ქვემოთ.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & ჩანაცვლება \\ = \log_{b} (b^{x p}) & ხარისხის თვისებები \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & ჩანაცვლება \\ = p \cdot \log_{b} (M) & გამრავლება გადანაცვლებადია \end{aligned}$ ‍

სხვაგვარად ეს თვისება შეგვიძლია, დავამტკიცოთ ნამრავლის წესის გამოყენებით.

მაგალითად, ვიცით, რომ

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, სადაც

M

მრავლდება საკუთარ თავზე

p

-ჯერ.

ახლა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი და ნამრავლის, როგორც განმეორებადი შეკრების, განსაზღვრება, რომ დავასრულოთ დამტკიცება. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & ხარისხების განმარტება \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & ნამრავლის წესი \\ = p \cdot \log_{b} (M) & განმეორებითი შეკრება გამრავლებაა \end{aligned}

მაშ ასე! თქვენ დაამტკიცეთ ლოგარითმის სამი თვისება!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 5

ნამრავლის წესი: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

განაყოფების წესი: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

ხარისხების წესი: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

ნამრავლის წესი: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

განაყოფების წესი: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

ხარისხების წესი: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍