ძირითადი მასალა

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 5

გაკვეთილი 4: ლოგარითმში ფუძის შეცვლის ფორმულა

ლოგარითმის ფუძის შეცვლა. შესავალი

ისწავლეთ, როგორ გადაწეროთ ნებისმიერი ლოგარითმი განსხვავებული ფუძის მქონე ლოგარითმების სახით. ეს ძალიან გამოსადეგია კალკულატორზე ლოგარითმების საპოვნევლად!

წარმოიდგინეთ, რომ ვეძებთ

\log_{2} (50)

–ის მნიშვნელობას. ვინაიდან

50

არ არის

2

–ის რაციონალური ხარისხი, მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობის პოვნა კალკულატორის გარეშე რთულია.

მაგრამ კალკულატორების უმრავლესობა ლოგარითმებს

10

-ის ან

e

-ს ფუძით პოულობს. ამიტომ,

\log_{2} (50)

-ის მნიშვნელობის საპოვნელად თავდაპირველად უნდა შევცვალოთ ლოგარითმის ფუძე.

ფუძის ცვლილების წესი

ჩვენ შეგვიძლია, ნებისმიერი ლოგარითმის ფუძე შევცვალოთ შემდეგი წესის გამოყენებით:

ჩანიშვნები:

ამ თვისების გამოყენებით შეგიძლიათ, ლოგარითმი ნებისმიერი ფუძე $x$ ‍–ით შეცვალოთ.
როგორც ყოველთვის, ლოგარითმების არგუმენტები უნდა იყოს დადებითი, ლოგარითმის ფუძეებიც უნდა იყოს დადებითი და არა $1$ ‍-ის ტოლი, რომ ეს მახასიათებელი შენარჩუნდეს!

მაგალითად: ვიპოვოთ $\log_{2} (50)$ ‍

თუ თქვენი მიზანია ლოგარითმის მნიშვნელობის გაგება, შეცვალეთ ფუძე

10

–ით ან

e

–ით, რადგან ამ ლოგარითმების გამოთვლა თითქმის ყველა კალკულატორს შეუძლია.

ასე რომ, მოდით,

\log_{2} (50)

–ის ფუძე შევცვალოთ

10

–ით.

ამისათვის ვიყენებთ ფუძის ცვლილების წესს, სადაც:

b = 2

a = 50

და

x = 10

$\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & ფუძის შეცვლის წესი \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & რადგან \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}$ ‍

ახლა შეგვიძლია, მნიშვნელობა ვიპოვოთ კალკულატორის გამოყენებით.

$\begin{array}{r} \approx 5,644 \end{array}$ ‍

[მინდა, რომ ეს მაგალითი e–ს ფუძითაც ვნახო.]

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

1) გამოთვალეთ $\log_{3} (20)$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.

[დახმარება მჭირდება!]

1) გამოთვალეთ $\log_{7} (400)$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.

[დახმარება მჭირდება!]

1) გამოთვალეთ $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.

[დახმარება მჭირდება!]

ფუძის ცვლილების წესის განხილვა

ამ წუთისათვის შეიძლება, ფიქრობთ, „დიდებულია, მაგრამ რატომ მუშაობს ეს წესი?"

$\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} \leftarrow ფუძის ცვლილების წესი$ ‍

ამის გამოსაკვლევად დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამოსახულებას

\log_{2} (50)

. თუ დავუშვებთ, რომ

\log_{2} (50) = n

, მაშინ

2^{n} = 50

ვინაიდან ეს ორი მნიშვნელობა ტოლია, შეგვიძლია, ორივე მხარეს ავიღოთ ლოგარითმი ნებისმიერი ფუძით. მივიღეთ:

$\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log_{x} (2^{n}) & = \log_{x} (50) & If Y = Z, შემდეგ \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (2) & = \log_{x} (50) & ხარისხის წესი \\ n & = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)} & გაყავით ორივე მხარე \log_{x} (2) -ზე \end{aligned}$ ‍

რადგან

n = \log_{2} (50)

, გვაქვს

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

, როგორც გვინდოდა!

იგივე ლოგიკით შეგვიძლია, დავამტკიცოთ ფუძის ცვლილების წესი. უბრალოდ

2

–ის ნაცვლად დავწეროთ

b

და

50

–ის ნაცვლად დავწეროთ

a

და დამტკიცებაც დასრულებულია!

[ამის ნახვა მინდა, თუ შეიძლება.]

რთული ამოცანები

1) გამოთვალეთ $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ კალკულატორის გარეშე.

[დახმარება მჭირდება!]

2) რომელი გამოსახულებაა $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍-ის ტოლფასი?

[დახმარება მჭირდება!]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 5

ფუძის ცვლილების წესი

მაგალითად: ვიპოვოთ log2⁡(50)‍

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

ფუძის ცვლილების წესის განხილვა

რთული ამოცანები

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითად: ვიპოვოთ $\log_{2} (50)$ ‍