ძირითადი მასალა

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 5

გაკვეთილი 5: მაჩვენებლიანი განტოლებები: ლოგარითმები

მაჩვენებლიანი განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმებით

Google–ის საკლასო ოთახი

ისწავლეთ, როგორ ამოხსნათ ნებისმიერი a⋅b^(cx)=d ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლება. მაგალითად, ამოხსენით 6⋅10^(2x)=48.

მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნის საიდუმლო ლოგარითმებშია! მოდით, ახლოდან დავაკვირდეთ რამდენიმე მაგალითს.

$a \cdot b^{x} = d$ ‍ ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნა

მაგალითი

ამოხსენით

5 \cdot 2^{x} = 240

ამოხსნა

x

–ის მიმართ რომ ამოვხსნათ, გამოვყოთ მაჩვენებლიანი ნაწილი. ამისათვის ორივე მხარე გავყოთ

5

–ზე, როგორც ეს ქვემოთაა ნაჩვენები.

5

–ს და

2

–ს არ ვამრავლებთ, რადგან ეს მოქმედებების თანმიმდევრობის წესებს ეწინააღმდეგება!

$\begin{aligned} 5 \cdot 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}$ ‍

ახლა

x

–ის მიმართ ამოხსნა შეგვიძლია, ლოგარითმულ ფორმაში გადაყვანით.

$2^{x} = 48$ ‍ არის $\log_{2} (48) = x$ ‍–ის ტოლფასი.

ასე ამოვხსენით განტოლება! ზუსტი ამონახსნია

x = \log_{2} (48)

რადგან

48

არ არის

2

–ის რაციონალური ხარისხი, უნდა გამოვიყენოთ ფუძის შეცვლის წესი და კალკულატორი, რომ გამოვთვალოთ ლოგარითმი. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.

$\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} & ფუძის შეცვლის წესი \\ \approx 5,585 & გამოთვალეთ კალკულატორით \end{aligned}$ ‍

მეათასედებამდე დამრგვალებული მიახლოებითი პასუხი არის

x \approx 5,585

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) რა არის $2 \cdot 6^{x} = 236$ ‍–ის ამონახსნი?

[დახმარება მჭირდება!]

2) გამოთვალეთ $5 \cdot 3^{t} = 20$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.

t =

[დახმარება მჭირდება!]

3) გამოთვალეთ $6 \cdot e^{y} = 300$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.

y =

[დახმარება მჭირდება!]

$a \cdot b^{c x} = d$ ‍ ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნა

მოდით, ვნახოთ სხვა მაგალითი.

მაგალითი

ამოხსენით

6 \cdot 10^{2 x} = 48

ამოხსნა

კვლავ ვიწყებთ მაჩვენებლიანი ნაწილის გამოყოფას ორივე მხარის

6

–ზე გაყოფით.

$\begin{aligned} 6 \cdot 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}$ ‍

ახლა ხარისხი შეგვიძლია, ჩამოვიტანოთ ლოგარითმულ ფორმაში გადაყვანით.

$\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}$ ‍

ბოლოს ორივე მხარე შეგვიძლია, გავყოთ

2

–ზე, რომ ვიპოვოთ

x

$x = \frac{\log_{10} (8)}{2}$ ‍

ეს ზუსტი პასუხია. მეათასედებამდე დასამგვრალებლად შეგვიძლია, იგი პირდაპირ კალკულატორში ავკრიფოთ. ყურადღება მიაქციეთ, რომ აქ საჭირო არ არის ფუძის შეცვლა, რადგან ის უკვე

10

–ია.

$\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 & გამოთვალეთ კალკულატორით \end{aligned}$ ‍