ალგებრული მოდელების სიმეტრია

მაგრამ პირველ რიგში მოდით, გავიხსენოთ ფუნქციების სიმეტრიულობა.

ახლა გადავხედოთ მაგალითს.

ზამბარის $E(x)$‍ ენერგია, გაზომილი ჯოულებში, არის ზამბარის გაჩერებული მდგომარეობიდან გადაადგილების ფუნქცია, $x$‍, გაზომილი მეტრებში, როცა დადებითი $x$‍ მიანიშნებს გაწელილ ზამბარაზე, უარყოფითი $x$‍ მიანიშნებს შეკუმშულ ზამბარაზე. $y=E(x)$‍ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

რისი გაგება შეგვიძლია გამოსახულებაზე მისი გრაფიკის სიმეტრიულობიდან?

მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ცოდნა სიმეტრიაზე $E$‍ ფუნქციისთვის.

თუ $E$‍ ფუნქციის გრაფიკს ავრეკლავთ $y$‍ ღერძის მიმართ, ის საკუთარ თავს დაემთხვევა.

ესე იგი, $E$‍ ლუწი ფუნქციაა. ალგებრულად ეს ნიშნავს, რომ $E(-x)=E(x)$‍ ყველა $x$‍-თვის.

რას ნიშნავს „$E(-x)=E(x)$‍ ყველა $x$‍-თვის”?

რდგან დებულება სამართლიანია ყველა $x$‍-თვის, შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ $E(-x)=E(x)$‍ სამართლიანია, როცა $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍ და ა.შ. მოდით, დავიწყოთ იმაზე ფიქრით, თუ რას ნიშნავს ეს დებულება $x$‍-ის კონკრეტული მნიშვნელობისთვის, ამ შემთხვევაში, როცა $x=2$‍.

როცა $x=2$‍, დებულება იღებს სახეს: $E(-2)=E(2)$‍.

ორიენტირების მოხდენა იმაზე, თუ რას გამოხატავს თითოეული ცვლადი, დაგვეხმარება ამ ინტერპრეტაციის გაგებაში. გაიხსენეთ, რომ დადებითი არგუმენტი მიანიშნებს ზამბარის გაწელვაზე და უარყოფითი არგუმენტი მიანიშნებს ზამბარის შეკუმშვაზე, მნიშნვნელობა კი გამოხატავს ზამბარის ენერგიას.

როგორც ჩანს, $E(-2)=E(2)$‍ ნიშნავს, რომ $\text{2 მეტრით შეკუმშული }\text{ზამბარის}$‍ $\text{ ენერგია}$‍ იგივეა, რაც $\text{2 მეტრით გაწელილი იმავე}\text{ ზამბარისა}$‍.

ახლა უკვე მზად ვართ, განვმარტოთ ზოგადი მტკიცება $E(-x)=E(x)$‍, რაც წარმოადგენს ჩვენს საბოლოო მიზანს.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების გათვალისწინებით ვხედავთ, რომ $E(-x)=E(x)$‍ ნიშნავს, რომ $x$‍ მეტრით შეკუმშული ზამბარის ენერგია იგივეა, რაც $x$‍ მეტრით გაწელილი ზამბარისა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გარკვეული სიდიდით შეკუმშული ზამბარის ენერგია იგივეა, რაც იმავე სიდიდით გაწელილი ზამბარისა.

ვცადოთ სხვა მაგალითი.

პრანავი ჩვეულებრივ იყენებს დღეში $20$‍ კილოგრამ შეშას თავისი შეშის ღუმლისთვის, რათა სახლში ტემპერატურა იყოს $25$‍ გრადუსი ცელსიუსი. ის ცდილობს, შეუსამაბოს დამწვარი შეშის $w$‍ რაოდენობა ტემპერატურის ცვლილებას. კერძოდ, დადებითი $w$‍ ნიშნავს $w$‍ კოლოგრამი შეშის დამატებას და უარყოფითი $w$‍ ნიშნავს $w$‍ კილოგრამი შეშის მოკლებას. $y=T(w)$‍ გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ, სადაც $T(w)$‍ მიუთითებს პრანავის სახლში ტემპერატურის ცვლილებაზე.

$T$‍ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ.

ესე იგი, $T$‍ კენტი ფუნქციაა. ალგებრულად ეს ნიშნავს, რომ $T(-w)=-T(w)$‍ ყველა $w$‍-თვის.

ამ შემთხვევაში სიმეტრიის განმარტებისთვის გვჭირდება შემდეგი მათემატიკური მტკიცების გადათარგმნა: „$w$‍-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის $T(-w)=-T(w)$‍” კონტექსტის მიხედვით.

კიდევ ერთხელ, მოდით, დავიწყოთ იმაზე ფიქრით, თუ რას ნიშნავს ეს დებულება $w$‍-ს კონკრეტული მნიშვნელობისთვის. შემდეგ შეგვიძლია, დავბრუნდეთ უკან და განვაზოგადოთ.

ამის ამოსახსნელად გაიხსენეთ, რომ დადებითი არგუმენტი ნიშნავს შეშის დამატებას, უარყოფითი არგუმენტი ნიშნავს შეშის დაკლებას ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობა ტემპერატურის ცვლილებაა.

ესე იგი: $T(-1)=-T(1)$‍ ნიშნავს, რომ $\text{ტემპერატურის ცვლილება}$‍, რომელიც $1\text{-ით ნაკლები კილოგრამი შეშის}$‍ დაწვის შედეგია, არის $1\text{-ით მეტი კილოგრამი შეშის}$‍ დაწვის შედეგად ტემპერატურის ცვლილების საპირისპირო.

ახლა უკვე მზად ვართ, განვმარტოთ და განვაზოგადოთ სიმეტრია ზოგადი $w$‍-თვის.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამწვარი შეშის შემცირება და გაზრდა ერთისა და იმავე რაოდენობით ზუსტად საპირისპირო გავლენას ახდენს სახლის ტემპერატურაზე.

საზოგადოდ, ფუნქციის გრაფიკზე სიმეტრიის მნიშვნელობის განმარტებისთვის სასარგებლოა, გააკეთოთ შემდეგი:

ნაბიჯი $1$‍: დაადგინეთ, ფუნქცია კენტია თუ ლუწი და გაარკვიეთ, რას ნიშნავს ეს ალგებრულად.

ნაბიჯი $2$‍: გაიაზრეთ, რას წარმოადგენს თითოეული ცვლადი კონტექსტის მიხედვით.

ნაბიჯი $3$‍: იფიქრეთ მტკიცებაზე, რომელიც იყენებს ცვლადების მნიშვნელობას და ადარებს მიღებულ მნიშვნელობებს მოპირდაპირე არგუმენტებისთვის.

ტრუდი ახალი სახის ავტომობილის მართვას სწავლობს. ავტომობილის სიჩქარე მბრუნავი სახელურის ადგილმდებარეობით განისაზღვრება. ავტომობილის $V(x)$‍ სიჩქარე, მოცემული მილით საათში, არის სახელურის $x$‍ ადგილმდებარეობის ფუნქცია. მიაქციეთ ყურადღება: $x>0$‍ ნიშნავს, რომ სახელური მობრუნებულია $x$‍ ერთეულით საათის ისრის მიმართულებით და $x<0$‍ ნიშნავს, რომ სახელური მობრუნებულია $x$‍ ერთეულით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.

$y=V(x)$‍ გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.