If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მათემატიკა II

თემა 4: გაკვეთილი 1

კვადრატული განტოლებები: კვადრატული ფესვის ამოღება

კვადრატული გამოსახულების ამოხსნა კვადრატული ფესვის ამოღებით

ისწავლეთ x^2=36 ან (x-2)^2=49 სახის კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

თქვენ უკვე ამოხსენით წრფივი განტოლებები, რომლებიც შეიცავენ მუდმივ წევრებს (ჩვეულებრივ რიცხვებს) და წევრებს პირველ ხარისხში აყვანილი ცვლადებით left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
ახლა ისწავლით, თუ როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები, რომლებიც შეიცავენ მეორე ხარისხში აყვანილ ცვლადიან წევრებს left parenthesis, x, squared, right parenthesis.
აი, როგორი ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნას ისწავლით ამ სტატიაში:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
ახლა საქმეს მივუბრუნდეთ.

x, squared, equals, 36-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ვთქვათ, გვინდა, ამოვხსნათ შემდეგი განტოლება: x, squared, equals, 36. ჯერ სიტყვიერად ჩამოვაყალიბოთ, რის პოვნას გვთხოვს განტოლება. ის გვეკითხება, საკუთარ თავზე გამრავლების შედეგად, რომელი რიცხვი იქნება 36-ის ტოლი.
ეს შეკითხვა, შეიძლება, გეცნობათ. ეს იმიტომ, რომ ეს 36-ის კვადრატული ფესვის განსაზღვრებაა, რაც მათემატიკურად ასე გამოისახება: square root of, 36, end square root.
ასე გამოიყურება განტოლების ამოხსნის მთელი პროცესი:
x2=36x2=36ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
ახლა გადავხედოთ, თუ რას მოიცავდა ეს ამოხსნა.

რას ნიშნავს plus minus ნიშანი

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ნებისმიერ დადებით რიცხვს აქვს ორი კვადრატული ფესვი: დადებითი კვადრატული ფესვი და უარყოფითი კვადრატული ფესვი. მაგალითად, კვადრატში აყვანილი 6 და minus, 6, ორივე, უდრის 36-ს. აქედან გამომდინარე, ამ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი.
ნიშანი plus minus ამ ცნების მათემატიკურად წარმოჩენაში ყვეხმარება. მაგალითად, plus minus, 6 ნიშნავს: „6 ან minus, 6".

შებრუნებული მოქმედებების შესახებ

წრფივი განტოლებების ამოხსნისას ცვლადის გამოსაყოფად შებრუნებულ მოქმედებებს ვიყენებდით: თუ ცვლადს 3 ჰქონდა დამატებული, ჩვენ განტოლების ორივე მხარეს ვაკლებდით 3-ს. თუ ცვლადი 4-ზე იყო გამრავლებული, მაშინ განტოლების ორივე მხარეს 4-ზე ვყოფდით.
კვადრატში აყვანის შებრუნებული მოქმედება კვადრატული ფესვის ამოღებაა. ოღონდ, სხვა მოქმედებებისგან განსხვავებით, კვადრატული ფესვის ამოღებისას აუცილებლად უნდა ამოვიღოთ ორივე ფესვი (დადებითიც *და *უარყოფითიც).
ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.
ამოცანა 1
ამოხსენით x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ამოცანა 2
ამოხსენით x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ამოცანა 3
ამოხსენით x, squared, equals, 5.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ასე ხდება left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 განტოლების ამოხსნა:
(x2)2=49(x2)2=49ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.x2=±7x=±7+2დავუმატოთ 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{დავუმატოთ 2.}\end{aligned}
შესაბამისად, პასუხებია x, equals, 9 და x, equals, minus, 5.
ახლა გადავხედოთ, თუ რას მოიცავდა ეს ამოხსნა.

x-ის გამოცალკავება

კვადრატული ხარისხის ნიშნის მოსაშორებლად გამოვიყენეთ შებრუნებული მოქმედება - ამოვიღეთ კვადრატული ფესვი. x-ის გამოსაყოფად ეს მნიშვნელოვანი ნაბიჯი იყო, მაგრამ იმისათვის, რომ სრულად გამოგვეყო x, მოგვიწია ბოლოს 2 დაგვემატებინა.

ამოხსნების გააზრება

ჩვენი მუშაობა დასრულდა x, equals, plus minus, 7, plus, 2-ით. როგორ გავიგოთ ეს გამოსახულება? დაიმახსოვრეთ, რომ plus minus, 7 ნიშნავს: "plus, 7 ან minus, 7." ამიტომ, ჩვენი პასუხი უნდა დავყოთ ამ ორი შემთხვევის მიხედვით: x, equals, 7, plus, 2 ან x, equals, minus, 7, plus, 2.
ეს გვაძლევს ორ ამონახსნს: x, equals, 9 და x, equals, minus, 5.
ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.
ამოცანა 4
ამოხსენით left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 5
ამოხსენით left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 6
ამოხსენით left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

რატომ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები

მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს: left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. ვთქვათ, ფრჩხილების გახსნა მოგვინდა. წრფივ განტოლებებზე მუშაობისასაც ასე არ ვაკეთებთ?
ფრჩხილების გახსნის შედეგად მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
ამ განტოლებაში თუ გვსურდა კვადრატული ფესვის ამოღება, უნდა ამოგვეღო x-ის კვადრატული ფესვი. მაგრამ ასე მივიღებთ square root of, x, end square root-ს, რაც ვერ დაგვეხმარება.
ამის საპირისპიროდ, x, squared ან left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared გამოსახულებებიდან კვადრატული ფესვების ამოღება მოგვცემს მშვენიერ გამოსახულებებს x-ს ან left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis-ს.
ამიტომ, კვადრატულ განტოლებებში ძალიან გამოსადეგია მამრავლებად დაშლა, რადგან ის გვეხმარება კვადრატული ფესვის ამოღებაში.

2, x, squared, plus, 3, equals, 131-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ყველა კვადრატული განტოლება მაშინვე არ ამოიხსნება კვადრატული ფესვის ამოღებით. ზოგჯერ გვჭირდება კვადრატში აყვანილი წევრის გამოყოფა, სანამ მისგან ფესვს ამოვიღებთ.
მაგალითად, 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 განტოლება რომ ამოვხსნათ, ჯერ უნდა გამოვაცალკევოთ x, squared. ეს ხდება ზუსტად ისე, როგორც x წევრის გამოცალკავება წრფივ განტოლებაში.
2x2+3=1312x2=128გამოვაკლოთ 3.x2=64გავყოთ 2-ზე.x2=64ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{გამოვაკლოთ 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{გავყოთ 2-ზე.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.
ამოცანა 7
ამოხსენით 3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 8
ამოხსენით 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

რთული ამოცანა
ამოხსენით x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი: