ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა II > თემა 3

გაკვეთილი 8: კვადრატული განტოლების მამრავლებად დაშლა: კვადრატების სხვაობა

კვადრატული განტოლების მამრავლებად დაშლა: კვადრატების სხვაობა

ისწავლეთ, როგორ დავშალოთ კვადრატული გამოსახულებები, რომელთაც "კვადრატების სხვაობის" ფორმა აქვთ. მაგალითად, x²-16 ჩაწერეთ (x+4)(x-4) სახით.

მრავალწევრის მამრავლებად დაშლა გულისხმობს მის ჩაწერას ორი ან მეტი მრავალწევრის ნამრავლის სახით. ის მრავალწევრების გადამრავლების შებრუნებული პროცესია.

ამ სტატიაში ვისწავლით, როგორ გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა კონკრეტული მრავალწევრების დასაშლელად. თუ არ იცით კვადრატების სხვაობის ფორმულა, სტატიის დაწყებამდე იხილეთ ჩვენი ვიდეო.

შესავალი: კვადრატების სხვაობის ფორმულა

ყველა მრავალწევრი, რომელიც წარმოადგენს კვადრატების სხვაობას, შეიძლება, დაიშალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ამ ფორმულაში

a

და

b

შეიძლება, იყოს ნებისმიერი ალგებრული გამოსახულება. მაგალითად,

a = x

და

b = 2

მნიშვნელობებისთვის ვიღებთ შემდეგს:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

x^{2} - 4

მრავალწევრი უკვე ჩაწერილია მამრავლების სახით:

(x + 2) (x - 2)

. დაშლის სისწორის დასამტკიცებლად შეგვიძლია, გავშალოთ განტოლების მარჯვენა მხარე:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

ახლა, როცა უკვე გავიგეთ ფორმულის შინაარსი, გამოვიყენოთ ის კიდევ რამდენიმე მრავალწევრის დასაშლელად.

მაგალითი 1: $x^{2} - 16$ ‍-ის მამრავლებად დაშლა

x^{2}

და

16

ორივე სრული კვადრატია, რადგან

x^{2} = (x)^{2}

და

16 = (4)^{2}

. სხვა სიტყვებით:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

ვინაიდან ორი კვადრატი აკლდება ერთმანეთს, ვხედავთ, რომ ეს მრავალწევრი წარმოადგენს კვადრატების სხვაობას. მის დასაშლელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

ჩვენს შემთხვევაში

a = x

და

b = 4

. მაშასადამე, ჩვენი მრავალწევრი მამრავლდებად შემდეგნაირად დაიშლება:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

შეგვიძლია, შევამოწმოთ ჩვენი ნამუშევარი: დავრწმუნდეთ, რომ ამ ორი მამრავლის ნამრავლი არის

x^{2} - 16

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ მამრავლებად $x^{2} - 25$ ‍.

x^{2}

და

25

ორივე არის სრული კვადრატი, ვინაიდან

x^{2} = (x)^{2}

და

25 = (5)^{2}

. რადგან წევრები ერთმანეთს აკლდება, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა მოცემული მრავალწევრის დასაშლელად.

\begin{aligned} x^{2} - 25 & = (x)^{2} - (5)^{2} \\ = (x + 5) (x - 5) \end{aligned}

2) დაშალეთ მამრავლებად $x^{2} - 100$ ‍.

x^{2}

და

100

ორივე არის სრული კვადრატი, ვინაიდან

x^{2} = (x)^{2}

და

100 = (10)^{2}

\begin{aligned} x^{2} - 100 & = (x)^{2} - (10)^{2} \\ = (x + 10) (x - 10) \end{aligned}

დასაფიქრებელი შეკითხვა

3) შეგვიძლია თუ არა კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენება $x^{2} + 25$ ‍ გამოსახულების მამრავლებად დასაშლელად?

მაგალითი 2: $4 x^{2} - 9$ ‍-ის მამრავლებად დაშლა

კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოსაყენებლად არ არის აუცილებელი, რომ საწყისი კოეფიციენტი იყოს

1

. სინამდვილეში, აქ შეგვიძლია, კვადრატების სხვაობის ფორმულა გამოვიყენოთ!

ეს ასეა იმიტომ, რომ

4 x^{2}

და

9

სრული კვადრატებია, ვინაიდან

4 x^{2} = (2 x)^{2}

და

9 = (3)^{2}

. შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ეს ინფორმაცია მრავალწევრის დასაშლელად კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

სწრაფი შემოწმება გამრავლებით ადასტურებს ჩვენი პასუხის სისწორეს.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

4) დაშალეთ მამრავლებად $25 x^{2} - 4$ ‍.

25 x^{2}

და

4

ორივე არის სრული კვადრატი, ვინაიდან

25 x^{2} = (5 x)^{2}

და

4 = (2)^{2}

\begin{aligned} 25 x^{2} - 4 & = (5 x)^{2} - (2)^{2} \\ = (5 x + 2) (5 x - 2) \end{aligned}

5) დაშალეთ მამრავლებად $64 x^{2} - 81$ ‍.

64 x^{2}

და

81

ორივე არის სრული კვადრატი, ვინაიდან

64 x^{2} = (8 x)^{2}

და

81 = (9)^{2}

\begin{aligned} 64 x^{2} - 81 & = (8 x)^{2} - (9)^{2} \\ = (8 x + 9) (8 x - 9) \end{aligned}

6) დაშალეთ მამრავლებად $36 x^{2} - 1$ ‍.

36 x^{2}

და

1

ორივე არის სრული კვადრატები, ვინაიდან

36 x^{2} = (6 x)^{2}

და

1 = (1)^{2}

\begin{aligned} 36 x^{2} - 1 & = (6 x)^{2} - (1)^{2} \\ = (6 x + 1) (6 x - 1) \end{aligned}

რთული ამოცანები

7*) დაშალეთ მამრავლებად $x^{4} - 9$ ‍.

x^{4}

და

9

ორივე არის სრული კვადრატი, ვინაიდან

x^{4} = (x^{2})^{2}

და

9 = (3)^{2}

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

მიაქციეთ ყურადღება, რომ კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენება შეგვიძლია ისეთი მრავალწევრების დასაშლელადაც, რომელთა ხარისხიც ორზე მეტია. თუ მრავალწევრი წარმოადგენს ორი კვადრატის სხვაობას, შეგვიძლია, ეს ფორმულა გამოვიყენოთ!

8*) დაშალეთ მამრავლებად $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.

4 x^{2}

და

49 y^{2}

ორივე არის სრული კვადრატები, ვინაიდან

4 x^{2} = (2 x)^{2}

და

49 y^{2} = (7 y)^{2}

\begin{aligned} 4 x^{2} - 49 y^{2} & = (2 x)^{2} - (7 y)^{2} \\ = (2 x + 7 y) (2 x - 7 y) \end{aligned}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა II

კურსი: მათემატიკა II > თემა 3

შესავალი: კვადრატების სხვაობის ფორმულა

მაგალითი 1: x2−16‍ -ის მამრავლებად დაშლა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

დასაფიქრებელი შეკითხვა

მაგალითი 2: 4x2−9‍ -ის მამრავლებად დაშლა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რთული ამოცანები

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი 1: $x^{2} - 16$ ‍-ის მამრავლებად დაშლა

მაგალითი 2: $4 x^{2} - 9$ ‍-ის მამრავლებად დაშლა