ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

გაკვეთილი 1: რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?

წარმოსახვითი ერთეულის ხარისხები

ისწავლეთ, როგორ გაამარტივოთ ნებისმიერი წარმოსახვითი i რიცხვის ხარისხი. მაგალითად, გაამარტივეთ i²⁷ , როგორც -i.

ვიცით, რომ

i = \sqrt{- 1}

და

i^{2} = - 1

მაგრამ

i^{3}

–ზე რას ვიტყვით?

i^{4}

–ზე?

i

–ის სხვა მთელ ხარისხებზე? ისინი როგორ გამოვთვალოთ?

$i^{3}$ ‍-ისა და $i^{4}$ ‍-ის პოვნა

ხარისხების თვისებები აქ შეიძლება, გამოგვადგეს! სინამდვილეში,

i

–ის ხარისხების გამოთვლისას ნამდვილ რიცხვებში უკვე ნაცნობი ხარისხების თვისებები გამოვიყენოთ, თუ ეს ხარისხები მთელი რიცხვებია.

ამის გათვალისწინებით, ვიპოვოთ

i^{3}

და

i^{4}

ვიცით, რომ

i^{3} = i^{2} \cdot i

. მაგრამ რადგან

i^{2} = - 1

, ვხედავთ, რომ:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

ამის მსგავსად

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. ისევ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ

i^{2} = - 1

, გვექნება შემდეგი:

$\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

$i$ ‍-ის მეტი ხარისხი

მოდით, განვაგრძოთ! ახლა

i

–ს შემდეგი

4

ხარისხი ვიპოვოთ მსგავსი მეთოდის გამოყენებით.

$\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & ხარისხების თვისებები \\ = 1 \cdot i & რადგანაც i^{4} = 1 \\ = i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & ხარისხების თვისებები \\ = 1 \cdot (- 1) & რადგან i^{4} = 1 და i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & ხარისხების თვისებები \\ = 1 \cdot (- i) & რადგან i^{4} = 1 და i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & ხარისხების თვისებები \\ = 1 \cdot 1 & რადგან i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

შედეგები შეჯამებულია ცხრილში.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

კანონზომიერების გამოვლენა

ცხრილიდან ჩანს, რომ

i

–ს ხარისხები მოძრაობს

i

- 1

- i

და

1

მიმდევრობაში.

ამ კანონზომიერების გამოყენებით შეგვიძლია,

i^{20}

ვიპოვოთ? მოდით, ვცადოთ!

შემდეგი ჩამონათვალი გვაჩვენებს განმეორებადი მიმდევრობის პირველ

20

რიცხვს.

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

ამ ლოგიკით,

i^{20}

უნდა უდრიდეს

1

-ს. ვნახოთ, თუ შეძლებთ ამის დამტკიცებას ხარისხების გამოყენებით. დაიმახსოვრეთ, ხარისხების თვისებების გამოყენება აქ ისევე შეგვიძლია, როგორც ნამდვილი რიცხვების შემთხვევაში!

$\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & ხარისხების თვისებები \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & გაამარტივეთ \end{aligned}$ ‍

ნებისმიერ შემთხვევაში, ვხედავთ, რომ

i^{20} = 1

$i$ ‍-ის უფრო მაღალი ხარისხები

ვთქვათ, გვინდა

i^{138}

–ის პოვნა. შეგვიძლია, ჩამოვთვალოთ

i

- 1

- i

1

,...

138^{}

–ე წევრამდე მიმდევრობა მაგრამ ამას ძალიან ბევრი დრო დასჭირდება!

თუმცა, ყურადღება მიაქციეთ, რომ

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

და ასე შემდეგ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ

i

აყვანილი

4

–ის ჯერად ხარისხსში არის

1

ეს ფაქტი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ხარისხების თვისებებთან ერთად, რომ გავამარტივოთ

i^{138}

მაგალითი

გაამარტივეთ

i^{138}

ამოხსნა

138

არ არის

4

–ის ჯერადი, მაგრამ რიცხვი

136

არის! ეს შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

i^{138}

–ის გამარტივებისას.

$\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & ხარისხის თვისებები \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & ხარისხის თვისებები \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

ასე რომ,

i^{138} = - 1

ახლა შეიძლება, იკითხოთ, თუ რატომ გადავწყვიტეთ,

i^{138}

ჩაგვეწერა

i^{136} \cdot i^{2}

სახით.

თუ თავდაპირველი ხარისხი არ არის

4

–ის ჯერადი, მაშინ უახლოესი

4

–ის ჯერადის პოვნით, რომელიც მასზე ნაკლებია, ხარისხი დაგვყავს

i

–მდე,

i^{2}

–მდე ან

i^{3}

–მდე მხოლოდ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ

i^{4} = 1

ეს რიცხვი ადვილი საპოვნელია თუ თავდაპირველ ხარისხს გავყოფთ

4

–ზე. ეს რიცხვი არის მეოთხედი (ნაშთის გარეშე) გამრავლებული

4

–ზე.

რა თქმა უნდა. მოდით, დავაკვირდეთ ხარისხს ამ კონკრეტულ მაგალითში:

138

ქვემოთ ნაჩვენებია

138 \div 4

-ის ქვეშმიწერით გაყოფა.

\begin{aligned} 34 \\ 4 \overset{―}{) 138} \\ \underset{―}{12} \\ 18 \\ \underset{―}{16} \\ 2 \end{aligned}

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

34 \cdot 4 = 136

. ეს არის

138

–ზე ნაკლები უახლოესი

4

–ის ჯერადი.

რა თქმა უნდა! უყურეთ ამ ვიდეოს, რომ ნახოთ, როგორ ამარტივებს სალი

i

–ს რამდენიმე ხარისხს.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

Powers of the imaginary unitვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

გაამარტივეთ $i^{227}$ ‍.

227

–ზე ნაკლები უახლოესი

4

–ის ხარისხი არის

224

მოდით, ეს გამოვიყენოთ

i^{227}

–ის გასამარტივებლად შემდეგნაირად:

$\begin{aligned} i^{227} & = i^{224} \cdot i^{3} & ხარისხის თვისებები \\ = (i^{4})^{56} \cdot i^{3} & ხარისხის თვისებები \\ = (1)^{56} \cdot i^{3} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - i & i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

ასე რომ,

i^{227} = - i

ამოცანა 2

გაამარტივეთ $i^{2016}$ ‍.

რიცხვი

2016

არის

4

–ის ჯერადო, ასე რომ, ჩვენი პასუხი არის

1

. ქვემოთ ნაჩვენები ნამუშევარი ამას უფრო დეტალურად გვაჩვენებს, თუ საჭიროა.

\begin{aligned} i^{2016} & = (i^{4})^{504} & ხარისხების თვისებები \\ = (1)^{504} & i^{4} = 1 \\ = 1 & გაამარტივეთ \end{aligned}

ამოცანა 3

გაამარტივეთ $i^{537}$ ‍.

537

–ზე ნაკლები უახლოესი

4

–ის ხარისხი არის

536

მოდით, ეს გამოვიყენოთ

i^{537}

–ის გასამარტივებლად შემდეგნაირად:

\begin{aligned} i^{537} & = i^{536} \cdot i & ხარისხის თვისებები \\ = (i^{4})^{134} \cdot i & ხარისხის თვისებები \\ = (1)^{134} \cdot i & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot i \\ = i \end{aligned}

ასე რომ,

i^{537} = i

რთული ამოცანები

ჩამოთვლილთაგან, რომელია $i^{- 1}$ ‍-ის ტოლფასი?

ამ ამოცანის მარტივად ამოხსნის ერთი გზა არის კანონზომიერების გამოყენება და განვრცობა.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

თუმცა კანონზომიერების მარჯვნივ გავრცობის (მაჩვენებლებისთვის, რომლებიც

> 1

) ნაცვლად შეგვიძლია, ვიფიქროთ კანონზომიერების მარცხნივ გავრცობაზე (მაჩვენებლებისთვის, რომლებიც

< 1

). რადგან

i^{- 1}

–ის გაგება გვინდა, შეგვიძლია მიმდევრობა ორი ადგილით მარცხნივ გავავრცოთ.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
	‍	‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

გამოტოვებული ადგილების შევსების შემდეგ გვექნება:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

ესე იგი,

i^{- 1} = - i

ეს ალგებრულადაც შეგვიძლია შევამოწმოთ ხარისხების თვისებების გამოყენებით, როგორც ეს ქვემოთაა ნაჩვენები:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & რადგან i^{3} = - i და i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

i3‍ -ისა და i4‍ -ის პოვნა

i‍ -ის მეტი ხარისხი

კანონზომიერების გამოვლენა

i‍ -ის უფრო მაღალი ხარისხები

მაგალითი

ამოხსნა

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

ამოცანა 2

ამოცანა 3

რთული ამოცანები

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$i^{3}$ ‍-ისა და $i^{4}$ ‍-ის პოვნა

$i$ ‍-ის მეტი ხარისხი

$i$ ‍-ის უფრო მაღალი ხარისხები