ძირითადი მასალა

მათემატიკა II

კურსი: მათემატიკა II > თემა 6

გაკვეთილი 5: კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება

კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება

ისწავლეთ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება. მაგალითად, გაამრავლეთ (1+2i)⋅(3+i).

კომპლექსური რიცხვი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება, როგორც

a + b i

, სადაც

i

არის წარმოსახვითი ერთეული და

a

და

b

ნამდვილი რიცხვებია.

კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისას სასარგებლოა, დავიმახსოვროთ, რომ თვისებები, რომელთაც ვიყენებდით ნამდვილ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებებისას, კომპლექსურ რიცხვებშიც მსგავსად მოქმედებს.

ხანდახან სასარგებლოა,

i

მივიჩნიოთ

x

–ის მსგავს ცვლადად. მხოლოდ რამდენიმე ცვლილების შეტანის შემდეგ შეგვიძლია, ისე გავამრავლოთ, როგორც მოველით. მოდით უფრო ახლოს ვნახოთ ეს, დავაკვირდეთ რამდენიმე მაგალითს.

ნამდვილი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

- 4 (13 + 5 i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

თუ ინტუიცია გეუბნებათ, რომ

- 4

უნდა გაამრავლოთ ფრჩხილებში თითოეულ წევრზე, თქვენი ინტუიცია სწორია! მოდით, გავაკეთოთ ეს!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

სულ ეს არის! ჩვენ, განრიგებადობის კანონის გამოყენებით, ნამდვილი რიცხვი გავამრავლეთ კომპლექსურ რიცხვზე. ახლა რამე უფრო რთული ვცადოთ.

წმნიდა წარმოსახვითი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

2 i (3 - 8 i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

კიდევ ერთხელ, დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნა

2 i

-ის თითოეულ წევრზე გამრავლებით.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

ახლა პასუხი არ არის

a + b i

ფორმის, რადგან ის შეიცავს

i^{2}

-ს.

მაგრამ, ჩვენ ვიცით, რომ

i^{2} = - 1

. ჩავსვათ და ვნახოთ, რა გამოვა.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

გადანაცვლებადობის კანონის გამოყენებით, შეგვიძლია, პასუხი

16 + 6 i

სახით ჩავწეროთ და გვექნება

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

ამოცანა 1

გაამრავლეთ $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 2

გაამრავლეთ $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

[დახმარება მჭირდება!]

მშვენიერია! ახლა შეგვიძლია კიდევ ერთი ნაბიჯი გადავდგათ! შემდეგ მოდის ის შემთხვევა, რომელიც უფრო ხშირად შეგხვდებათ, თუ საქმე კომპლექსური რიცხვების გამრავლებას შეეხება.

ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

(1 + 4 i) (5 + i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

ამ მაგალითში ზოგიერთს ძალიან ეხმარება

i

–ის წარმოდგენა ცვლადის სახით.

სინამდვილეში, ამ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება ძალიან გავს ორი ორწევრის გამრავლებას! პირველი რიცხვის თითოეული წევრი გაამრავლეთ მეორე რიცხვის თითოეულ წევრზე.