ძირითადი მასალა

მათემატიკა I

კურსი: მათემატიკა I > თემა 14

გაკვეთილი 3: მობრუნება

ფიგურების კუთხით მობრუნება

ისწავლეთ, როგორ დახაზოთ ფიგურის ანასახი სათავეზე 90°-ის ჯერადით მობრუნებისას;.

შესავალი

ამ ამოცანაში ფიგურების კუთხით მობრუნებაში ვივარჯიშებთ. მათემატიკურად რომ ვთქვათ, ვისწავლით, როგორ დავხაზოთ ფიგურის ანასახი მობრუნების შემდეგ.

გაკვეთილი ყურადღებას

90^{\circ}

-ის დადებით (საათის ისრის საწინააღმდეგო) და უარყოფით (საათის ისრის მიმართულებით) ჯერადებზე ამახვილებს.

ნაწილი 1: წერტილების $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍ და $- 90^{\circ}$ ‍–ით მობრუნება

ვნახოთ მაგალითი

გვინდა, ვიპოვოთ

A^{'}

ანასახი, რომელიც მიიღება თუ წერტილს

A (3, 4)

სათავის მიმართ

90^{\circ}

–ით მოვაბრუნებთ.

მოდით, ამოცანის ვიზუალიზაციით დავიწყოთ. დადებითი მობრუნებები საათის ისრის საწინააღმდეგოა, ანუ, ჩვენი მობრუნება ასე გამოიყურება:

კარგია, ჩვენ ვიპოვეთ

A^{'}

ვიზუალურად. ახლა უნდა ვიპოვოთ ზუსტი კოორდინატები. ამისთვის ორი გზა არსებობს.

ამოხსნის მეთოდი 1: ვიზუალური მიდგომა

შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ მართკუთხედი, რომელსაც წვერო აქვს კოორდინატთა სათავეზე და მოპირდაპირე წვერო –

A

–ზე.

90^{\circ}

-ით მობრუნება მის გვერდზე გადატრიალებას ჰგავს:

ახლა ვხედავთ, რომ $A (3, 4)$ ‍ წერტილის მობრუნებით მივიღებთ $A^{'} (- 4, 3)$ ‍-ს.

ღერძებზე მყოფი წერტილების მობრუნება ახლა უფრო მარტივია. მათი მეშვეობით ვიპოვით

A

-ს ანასახს:

წერტილი	$(3, 0)$ ‍	$(0, 4)$ ‍	$(3, 4)$ ‍
გამოსახულება	$(0, 3)$ ‍	$(- 4, 0)$ ‍	$(- 4, 3)$ ‍

ამოხსნის მეთოდი 2: ალგებრული მიდგომა

მოდით, უფრო ახლოდან დავაკვირდეთ

A

და

A^{'}

წერტილებს:

წერტილი	$x$ ‍-კოორდინატი	$y$ ‍-კოორდინატი
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

დააკვირდით, საინტერესო რაღაც ხდება:

A

-ს

x

კოორდინატი გახდა

A^{'}

-ის

y

კოორდინატი, ხოლო

A

-ს

y

კოორდინატის მოპირდაპირე გახდა

A^{'}

-ს

x

კოორდინატი.

ეს მათემატუკურად შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ შემდეგნაირად:

$R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)$ ‍

აღმოჩნდა, რომ ეს ნებისმიერი წერტილისთვის მართალია და არა მხოლოდ –

A

–სთვის. აი, კიდევ რამდენიმე მაგალითი:

გარდა ამისა, აღმოჩნდა, რომ

180^{\circ}

-ით ან

- 90^{\circ}

-ით მობრუნება მსგავს კანონზომიერებებს მიყვება:

$R_{(0, 0), 180^{\circ}} (x, y) = (- x, - y)$ ‍

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)$ ‍

ამის გამოყენებით ნებისმიერი წერტილის მობრუნება შეგვიძლია. მისი კოორდინატები შესაბამის განტოლებაში უნდა ჩავსვათ.

თქვენი ჯერია!

ამოცანა 1

დახატეთ $B (- 7, - 3)$ ‍–ის ანასახი მობრუნებით $R_{(0, 0), - 90^{\circ}}$ ‍.

[დახმარება მჭირდება! მაჩვენეთ, როგორ ამოვხსნა.]

ამოცანა 2

დახაზეთ $C (5, - 6)$ ‍ წერტილის ანასახი $R_{(0, 0), 180^{\circ}}$ ‍ მობრუნებით.

[დახმარება მჭირდება! მაჩვენეთ, როგორ ამოვხსნა.]

გრაფიკული მეთოდი vs. ალგებრული მეთოდი

ზოგადად, ყველას შეუძლია, აირჩიოს რომელიმე მეთოდი. გემოვნებაზე არ დაობენ!

ალგებრული მეთოდი ნაკლებ დროსა და შრომას მოითხოვს, მაგრამ მოგიწევთ, ეს კანონზომიერებები დაიმახსოვროთ. გრაფიკული მეთოდის გმაოყენება ყოველთვის შეგიძლიათ, მაგრამ შეიძლება, მან მეტი დრო წაიღოს.

ნაწილი 2: $90^{\circ}$ ‍–ის ნებისმიერ ჯერადზე განვრცობა

ვნახოთ მაგალითი

გვინდა, ვიპოვოთ

D^{'}

ანასახი, რომელიც მიიღება თუ წერტილს

D (- 5, 4)

სათავის მიმართ

270^{\circ}

–ით მოვაბრუნებთ.

ამოხსნა

რადგან

270^{\circ}

-ით მობრუნება იგივეა, რაც სამჯერ

90^{\circ}

-ით მობრუნება, შეგვიძლია, ამის გრაფიკულად ამოსახსნელად ზედიზედ სამჯერ მოვატრიალოთ

90^{\circ}

-ით:

მაგრამ მოიცადეთ!

270^{\circ}

–ის ნაცვლად შეგვიძლია,

- 90^{\circ}

–ით მოვაბრუნოთ. ეს მობრუნებები ტოლფასია. ნახეთ:

იმავე მიზეზით შეგვიძლია, შემდეგი კანონზომიერება გამოვიყენოთ:

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

$R_{(0, 0), 270^{\circ}} (- 5, 4) = (4, 5)$ ‍

ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი

გვინდა, ვიპოვოთ

(- 9, - 7)

–ის ანასახი, რომელიც მიიღება სათავის ირგვლივ

810^{\circ}

–იანი მობრუნებით.

ამოხსნა

810^{\circ}

-ით მობრუნება იგივეა, რაც მიმდევრობით ორჯერ

360^{\circ}

-ით და შემდეგ

90^{\circ}

-ით მობრუნება (because

810 = 2 \cdot 360 + 90

360^{\circ}

–ით მობრუნება თითოეულ წერტილს საკუთარ თავზე ასახავს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იგი არაფერს არ ცვლის.

[აქ მეტი ახსნა მჭირდება.]

ანუ,

810^{\circ}

-ით მობრუნება იგივეა, რაც

90^{\circ}

-ით მობრუნება. ანუ, შეგვიძლია, შემდეგი კანონზომიერება გამოვიყენოთ:

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

$R_{(0, 0), 810^{\circ}} (- 9, - 7) = (7, - 9)$ ‍

თქვენი ჯერია!

ამოცანა 1

დახაზეთ $E (8, 6)$ ‍ წერტილის ანასახი $R_{(0, 0), - 270^{\circ}}$ ‍ მობრუნებით.

[დახმარება მჭირდება! მაჩვენეთ, როგორ ამოვხსნა.]

ამოცანა 2

რომელი მობრუნებაა $R_{(0, 0), - 990^{\circ}}$ ‍ მობრუნების ტოლფასი?

[დახმარება მჭირდება! მაჩვენეთ, როგორ ამოვხსნა.]

ნაწილი 3: მრავალკუთხედების მობრუნება

ვნახოთ მაგალითი

დააკვირდით ქვემოთ დახაზულ

D E F G

ოთხკუთხედს. გადავხაზოთ მისი ანასახი, რომელსაც მივიღებთ

D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}

R_{(0, 0), 270^{\circ}}

მობრუნებით.

ამოხსნა

პარალელური გადატანის მსგავსად, როცა მრავალკუთხედს ვაბრუნებთ, შეგვიძლია, უბრალოდ, წვეროები მოვაბრუნოთ, შემდეგ კი წვეროების ანასახები დავაკავშიროთ და მივიღოთ მრავალკუთხედის ანასახი.

[-90°–ით მობრუნება როგორ გამოიყურება?]

თქვენი ჯერია!

დახატეთ $△ H I J$ ‍ სამკუთხედის ანასახი, თუ მას მოვაბრუნებთ შემდეგი წესით: $R_{(0, 0), 90^{\circ}}$ ‍.

[დახმარება მჭირდება! მაჩვენეთ, როგორ ამოვხსნა.]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა I

კურსი: მათემატიკა I > თემა 14

შესავალი

ნაწილი 1: წერტილების 90∘‍ , 180∘‍ და −90∘‍ –ით მობრუნება

ვნახოთ მაგალითი

ამოხსნის მეთოდი 1: ვიზუალური მიდგომა

ამოხსნის მეთოდი 2: ალგებრული მიდგომა

თქვენი ჯერია!

ამოცანა 1

ამოცანა 2

გრაფიკული მეთოდი vs. ალგებრული მეთოდი

ნაწილი 2: 90∘‍ –ის ნებისმიერ ჯერადზე განვრცობა

ვნახოთ მაგალითი

ამოხსნა

ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი

ამოხსნა

თქვენი ჯერია!

ამოცანა 1

ამოცანა 2

ნაწილი 3: მრავალკუთხედების მობრუნება

ვნახოთ მაგალითი

ამოხსნა

თქვენი ჯერია!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

ნაწილი 1: წერტილების $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍ და $- 90^{\circ}$ ‍–ით მობრუნება

ნაწილი 2: $90^{\circ}$ ‍–ის ნებისმიერ ჯერადზე განვრცობა