წრფივი გარდაქმნების ვიზუალურად გამოსახვა

შესაძლოა, გარდაქმნის იდეა, ერთი შეხედვით, უფრო რთული ჩანდეს, ვიდრე ის სინამდვილეშია. ამიტომ სანამ გადავალთ იმაზე, თუ როგორ გარდაქმნის $2 \times 2$2, times, 2 მატრიცა ორგანზომილებიან სივრცეს ან $3 \times 3$3, times, 3 მატრიცა სამგანზომილებიან სივრცეს, მოდით გავარკვიოთ, როგორაა შესაძლებელი უბრალო რიცხვების (იგივე $1 \times 1$1, times, 1 მატრიცების) განხილვა ერთგანზომილებიანი სივრცის გარდაქმნებად.

ერთგანზომილებიანი სივრცე, უბრალოდ, რიცხვთა ღერძია.

რა ხდება, როცა რიცხვთა ღერძზე არსებულ ყველა რიცხვს ვამრავლებთ რამე განსაზღვრულ მნიშვნელობაზე, მაგალითად, ორზე? ამის გამოსახვის ერთ-ერთი გზა შემდეგია:

შედარებისთვის შევინახოთ თავდაპირველი რიცხვთა ღერძის ასლი, შემდეგ თითოეული რიცხვი რიცხვთა ღერძზე გადავწიოთ ორჯერ ამ რიცხვის ადგილას.

ამის მსგავსად, $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction–ზე გამრავლება შეიძლება, გამოისახოს შემდეგნაირად:

აქვე, უარყოფითმა რიცხვებმა თავი უგულებელყოფილად რომ არ იგრძნონ, მინუს სამზე გამრავლება:

მათთვის, ვისაც მოსწონს მომხიბვლელი ტერმინოლოგია, ეს ანიმაციური მოქმედებები შეიძლება აღიწეროს, როგორც „ერთგანზომილებიანი სივრცის წრფივი გარდაქმნები“. სიტყვა „გარდაქმნა“ ნიშნავს იმავეს, რასაც სიტყვა „ფუნქცია“: რაღაც, რაც იღებს რიცხვს და აბრუნებს რიცხვს, როგორც $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. მიუხედავად ამისა, მართალია, ფუნქციებს ძირითადად გრაფიკებით გამოვსახავთ, მაგრამ ადამიანები სიტყვა „გარდაქმნას“ იმისთვის იყენებენ, რომ წარმოაჩინონ სხეულის მოძრაობა, გაწელვა, შეკუმშვა და ა.შ. ამრიგად, გარდაქმნის სახით წარმოდგენილი ფუნქცია $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x გვაძლევს ორზე გამრავლების ზემოთ ნაჩვენებ ვიდეოს. ის წერტილ „ერთს“ რიცხვთა ღერძზე გადაადგილებს წერტილში, რომელშიც თავდაპირველად „ორი“ იყო, ხოლო წერტილ „ორს“ გადაიყვანს წერტილში, რომელშიც იყო „ოთხი“.

სანამ ორგანზომილებიან სივრცეზე გადავალთ, ერთი მარტივი, მაგრამ მნიშვნელოვანი რამ უნდა დავიმახსოვროთ. დავუშვათ, რომ ვუყურებთ ერთ-ერთ ასეთ გარდაქმნას, ვიცით, რომ იგი რაღაც რიცხვზე გამრავლებაა, მაგრამ არ ვიცით, რა რიცხვზე, მაგალითად:

შეგიძლიათ, მარტივად მიხვდეთ, რომელი რიცხვი მრავლდება მომდევნოზე. ამ შემთხვევაში ერთი ხვდება იქ, სადაც მინუს სამი დაიწყო, ანუ, შეგიძლიათ თამამად თქვათ, რომ ანიმაცია მინუს სამზე გამრავლებას წარმოადგენს.

ორგანზომილებიანი წრფივი გარდაქმნა არის განსაკუთრებული სახის ფუნქცია, რომელიც $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ ორგანზომილებიანი ვექტორისგან ღებულობს სხვა ორგანზომილებიან ვექტორს. აქაც სიტყვა „გარდაქმნა“ ნიშნავს იმას, რომ უნდა ვიფიქროთ რაღაცის გადაკეთებაზე — ამ შემთხვევაში, ორგანზომილებიანი სივრცის გადაკეთებაზე.

აი, კიდევ რამდენიმე მაგალითი:

ჩვენი მიზნებისთვის გარდაქმნას წრფივად აქცევს შემდეგი გეომეტრიული წესი: სათავე უცვლელად უნდა დარჩეს და ყველა ღერძი — ღერძად. ასე რომ, ზედა ანიმაციაში მოცემული ყველა გარდაქმნა წრფივი გარდაქმნის მაგალითია, მაგრამ შემდეგები — არა:

როგორც ერთ განზომილებაში, ორგანზომილებიან გარდაქმნას წრფივად ის აქცევს, რომ იგი ორ თვისებას აკმაყოფილებს:

ამჯერად $\textbf{v}$start bold text, v, end bold text და $\textbf{w}$start bold text, w, end bold text რიცხვების ნაცვლად ვექტორებია. ერთ განზომილებაში პირველ პირობას აზრი არ ჰქონდა, მაგრამ ახლა მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან იგი როგორღაც განსაზღვრავს, თუ როგორ იქცევა ორი განსხვავებული განზომილება გარდაქმნისას.

წარმოიდგინეთ, რომ უყურებთ ერთ კონკრეტულ გარდაქმნას, მაგალითად, ასეთს:

როგორ აღუწერთ ამ გარდაქმნას მეგობარს, რომელიც ამ ანიმაციას არ უყურებს? ამას ერთი ციფრის გამოყენებით ვეღარ შეძლებთ, როგორც რიცხვ „ერთს“ ვადევნებდით თვალს ერთგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში. ყველაფერს თვალი რომ ვადევნოთ, ვექტორ $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$-ს გავუკეთოთ მწვანე ისარი, ვექტორ $\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$-ს კი — წითელი ისარი და უკანა პლანზე დავტოვოთ საკოორდინატო სიბრტყის ასლი.

ახლა უფრო ადვილია იმის დანახვა, თუ სად გადავა იგი. კიდევ ერთხელ უყურეთ ანიმაციას და ყურადღება $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]$ ვექტორზე გაამახვილეთ. მასზე მიდევნება უფრო ადვილად შეგვიძლია და დავინახავთ, რომ $\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]$ ვექტორზე გადადის.

ეს ფაქტი შემდეგი ჩანაწერით შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ:

ყურადღება მიაქციეთ, რომ $\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$–ის მსგავსი ვექტორი, რომელიც იწყება, როგორც $2$2–ჯერ მწვანე ისარი, გარდაქმნის შემდეგაც $2$2–ჯერ მწვანე ისარი რჩება. რადგან მწვანე ისარი $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}$–ზე გადადის, შეგვიძლია, დავასკვნათ, რომ

$\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right]$.

და ზოგადად

ამის მსგავსად, მთელი $y$y ღერძის მდებარეობა განისაზღვრება იმით, თუ სად გადავა $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ წერტილი, რაც ამ გარდაქმნისთვის არის $\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}$.

სინამდვილეში, მას შემდეგ, რაც გვეცოდინება, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ და $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ შეგვიძლია, დავასკვნათ, თუ სიბრტყის თითოეული წევრი სად უნდა გადავიდეს. მაგალითად, ჩვენს ანიმაციაში მივყვეთ $\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right]$ წერტილს:

იგი იწყება მინუს ერთჯერ მწვანე ისარს დამატებული ორჯერ წითელი ისრით, მაგრამ ასევე გადადის მინუს ერთჯერ მწვანე ისარს დამატებული ორჯერ წითელ ისარზე, რაც გარდაქმნის შემდეგ ნიშნავს, რომ

სწორედ ვექტორის მდგენელებად დაშლის შესაძლებლობა გარდაქმნამდე და გარდაქმნის შემდეგაც ხდის წრფივ გარდაქმნებს ასე განსაკუთრებულს.

ზოგადად, ნებისმიერი $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ ვექტორი შეიძლება, დაიშალოს შემდეგნაირად:

ასე რომ, თუ მწვანე ისარი $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ რაიმე $\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}$ ვექტორზე დაბოლოვდება და წითელი ისარი $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ რაიმე $\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}$ ვექტორზე დაბოლოვდება, მაშინ ვექტორი $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ უნდა დაბოლოვდეს

$x \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]} + y \cdot \redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} \greenD{a}x + \redD{b}y \\ \greenD{c}x + \redD{d}y \end{array} \right]$-ზე.

ამ ყველაფრის აღწერის ძალიან კარგი გზაა, მოცემული გარდაქმნა წარმოვადგინოთ ქვემოთ ნაჩვენები მატრიცის სახით:

ამ მატრიცაში პირველი სვეტი გვეუბნება, თუ სად გადადის $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ , მეორე სვეტი კი გვეუბნება, თუ სად გადადის $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ . ახლა შეგვიძლია, კომპაქტურად, მატრიცისა და ვექტორის ნამრავლის სახით, აღვწეროთ, თუ სად გადადის ნებისმიერი $\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ ვექტორი

$\textbf{Av} = \left[\begin{array}{c} ax + by \\ cx + dy \end{array}\right]$.

სინამდვილეში აქედან მოდის მატრიცისა და ვექტორის ნამრავლის განსაზღვრება.

ასე რომ, როგორც ერთგანზონიმილებიანი წრფივი გარდაქმნის აღწერა შეგვიძლია რაიმე რიცხვზე გამრავლების სახით, კერძოდ, ნებისმიერ რიცხვზე, რომელზეც ერთი გადადის, ასევე ყოველთვისაა შესაძლებელი ორგანზომილებიანი წრფივი გარდაქმნის აღწერა $2 \times 2$2, times, 2 მატრიცით, კერძოდ, ისეთით, რომლის პირველი სვეტიც ასახავს იმას, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$, მეორე სვეტი კი იმას, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$.