ძირითადი მასალა

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 13: ინტეგრება u-ჩასმით

𝘶-ჩასმა განსაზღვრული ინტეგრალებით

u

-ჩასმის გამოყენება განსაზღვრულ ინტეგრალებში ძალიან ჰგავს მათ გამოყენებას განუსაზღვრელ ინტეგრალებში, მაგრამ დამატებითი ნაბიჯით: ინტეგრების ზღვრების გათვალისწინებით. მოდით, ვნახოთ, რას ნიშნავს ეს

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

-ის პოვნით.

შევნიშნოთ. რომ

2 x

არის

x^{2} + 1

-ის წარმოებული, ასე რომ,

u

-ჩასმის გამოყენება შეგვიძლია. გავუტოლოთ

u = x^{2} + 1

, მაშინ

d u = 2 x d x

. ახლა ვსვამთ:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

ერთი წუთით მოიცადეთ! ინტეგრების ზღვრები შეესაბამებოდა

x

-ს და არა —

u

-ს. ამაზე გრაფიკულად იფიქრეთ. გვინდოდა

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

მრუდის ქვეშ ფართობი

x = 1

-სა და

x = 2

-ს შორის.

ახლა, როცა მრუდი შევცვალეთ

y = u^{3}

-ით, რატომ უნდა დარჩეს ზღვრები უცვლელი?

ნამდვილად, ზღვრები არ უნდა იყოს იგივე. ახალი ზღვრები რომ ვიპოვოთ, უნდა ვიპოვოთ,

u

-ს რომელი მნიშვნელობები შეესაბამება

x^{2} + 1

-ს, როცა

x = 1

და

x = 2

ქვედა ზღვარი: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
ზედა ზღვარი: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

ახლა შეგვიძლია, სწორად შევასრულოთ

u

-ჩასმა:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

აქედან ყველაფრის ამოხსნა შეგვიძლია

u

-ს მიხედვით:

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

სინამდვილეში, სხვა გზაც არსებობს: ინტეგრების ზღვრები უცვლელი დატოვეთ, მაგრამ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლამდე აუცილებლად დააბრუნეთ

x

ჩვენს მაგალითში ეს შემდეგნაირად მოხდებოდა:

\begin{aligned} \int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x \\ = \int_{x = 1}^{x = 2} (u)^{3} d u \\ = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{x = 1}^{x = 2} \\ = {[\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{4}]}_{1}^{2} \\ = \frac{[2^{2} + 1]^{4}}{4} - \frac{[1^{2} + 1]^{4}}{4} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

გახსოვდეთ: როცა

u

-ჩასმას ვიყენებთ განსაზღვრულ ინტეგრალებზე, ყოველთვის უნდა გავითვალისწინოთ ინტეგრების ზრვრები.

ამოცანა 1

ელას სთხოვეს, ეპოვა

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. ეს მისი ნამუშევარია:

ნაბიჯი 1: დავუშვათ,

u = x^{2} + x

ნაბიჯი 2:

d u = (2 x + 1) d x

ნაბიჯი 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

ნაბიჯი 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

სწორია თუ არა ელას ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?

(Choice A)
ელას ნამუშევარი სწორია.
(Choice B)
ნაბიჯი 1 არასწორია. ელას $u$ ‍ უნდა განესაზღვრა, როგორც $2 x + 1$ ‍.
(Choice C)
ნაბიჯი 3 არასწორია. ელას არ შეუცვლია ინტეგრაციის ზღვრები.
(Choice D)
ნაბიჯი 4 არასწორია. $u^{3}$ ‍-ის ანტიწარმოებული არის $3 u^{2}$ ‍.

ამოცანა 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.