If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

แƒ—แƒฃ แƒ•แƒ”แƒ‘แƒคแƒ˜แƒšแƒขแƒ แƒก แƒ˜แƒงแƒ”แƒœแƒ”แƒ‘แƒ—, แƒ“แƒแƒ แƒฌแƒ›แƒฃแƒœแƒ“แƒ˜แƒ—, แƒ แƒแƒ› *.kastatic.org แƒ“แƒ *.kasandbox.org แƒ“แƒแƒ›แƒ”แƒœแƒ”แƒ‘แƒ˜ แƒแƒ  แƒแƒ แƒ˜แƒก แƒ“แƒแƒ‘แƒšแƒแƒ™แƒ˜แƒšแƒ˜.

แƒซแƒ˜แƒ แƒ˜แƒ—แƒแƒ“แƒ˜ แƒ›แƒแƒกแƒแƒšแƒ

แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒฃแƒ แƒ˜ แƒ™แƒแƒšแƒ™แƒฃแƒšแƒฃแƒกแƒ˜

แƒ™แƒฃแƒ แƒกแƒ˜: แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒฃแƒ แƒ˜ แƒ™แƒแƒšแƒ™แƒฃแƒšแƒฃแƒกแƒ˜ย >ย แƒ—แƒ”แƒ›แƒ 1

แƒ’แƒแƒ™แƒ•แƒ”แƒ—แƒ˜แƒšแƒ˜ 13: แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒ”แƒ‘แƒ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒ—
แƒ›แƒแƒ—แƒ”แƒ›แƒแƒขแƒ˜แƒ™แƒ
แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒฃแƒ แƒ˜ แƒ™แƒแƒšแƒ™แƒฃแƒšแƒฃแƒกแƒ˜
แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ”แƒ‘แƒ˜
แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒ”แƒ‘แƒ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒ—
ยฉ 2023 Khan Academyแƒ’แƒแƒ›แƒแƒงแƒ”แƒœแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒแƒ‘แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ™แƒแƒœแƒคแƒ˜แƒ“แƒ”แƒœแƒชแƒ˜แƒแƒšแƒฃแƒ แƒแƒ‘แƒ˜แƒก แƒžแƒแƒšแƒ˜แƒขแƒ˜แƒ™แƒแƒจแƒ”แƒœแƒ˜แƒจแƒ•แƒœแƒ แƒฅแƒฃแƒฅแƒ˜-แƒฉแƒแƒœแƒแƒฌแƒ”แƒ แƒ”แƒ‘แƒ–แƒ”

๐˜ถ-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ

Googleโ€“แƒ˜แƒก แƒกแƒแƒ™แƒšแƒแƒกแƒ แƒแƒ—แƒแƒฎแƒ˜
๐˜ถ-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ, แƒคแƒแƒฅแƒขแƒแƒ‘แƒ แƒ˜แƒ•แƒแƒ“, แƒแƒ‘แƒ แƒฃแƒœแƒ”แƒ‘แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒฏแƒแƒญแƒ•แƒฃแƒ  แƒฌแƒ”แƒกแƒก. แƒกแƒฎแƒ•แƒ แƒกแƒ˜แƒขแƒงแƒ•แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ— แƒ แƒแƒ› แƒ•แƒ—แƒฅแƒ•แƒแƒ—, แƒ˜แƒ’แƒ˜ แƒ’แƒ•แƒ”แƒฎแƒ›แƒแƒ แƒ”แƒ‘แƒ แƒจแƒ”แƒ“แƒ’แƒ”แƒœแƒ˜แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒ”แƒ‘แƒแƒจแƒ˜.
แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒžแƒแƒ•แƒœแƒ˜แƒกแƒแƒก, แƒคแƒแƒฅแƒขแƒแƒ‘แƒ แƒ˜แƒ•แƒแƒ“, แƒ•แƒแƒกแƒ แƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ— โ€žแƒจแƒ”แƒ‘แƒ แƒฃแƒœแƒ”แƒ‘แƒฃแƒš แƒ’แƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒแƒกโ€œ. แƒ–แƒแƒ’แƒ˜ แƒœแƒแƒฌแƒ˜แƒšแƒ˜ แƒžแƒ˜แƒ แƒ“แƒแƒžแƒ˜แƒ  แƒฎแƒแƒ แƒชแƒ˜แƒ”แƒšแƒ“แƒ”แƒ‘แƒ. แƒ›แƒแƒ’แƒแƒšแƒ˜แƒ—แƒแƒ“, แƒ•แƒ˜แƒชแƒ˜แƒ—, แƒ แƒแƒ› start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54-แƒ˜แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜ แƒแƒ แƒ˜แƒก start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, แƒแƒกแƒ” แƒ แƒแƒ›, integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. แƒจแƒ”แƒ’แƒ•แƒ˜แƒซแƒšแƒ˜แƒ, แƒ”แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ“แƒแƒžแƒ˜แƒ แƒ˜ แƒ›แƒกแƒฏแƒ”แƒšแƒแƒ‘แƒ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ•แƒ˜แƒงแƒ”แƒœแƒแƒ— แƒ˜แƒกแƒ”แƒ— แƒกแƒแƒ‘แƒแƒ–แƒ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ”แƒ‘แƒ–แƒ”, แƒ แƒแƒ’แƒแƒ แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒชแƒแƒ sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction แƒ“แƒ แƒ.แƒจ.
แƒ›แƒ˜แƒฃแƒฎแƒ”แƒ“แƒแƒ•แƒแƒ“ แƒแƒ›แƒ˜แƒกแƒ, แƒกแƒฎแƒ•แƒ แƒจแƒ”แƒ›แƒ—แƒฎแƒ•แƒ”แƒ•แƒ”แƒ‘แƒ˜ แƒแƒกแƒ”แƒ—แƒ˜ แƒ›แƒแƒ แƒขแƒ˜แƒ•แƒ˜ แƒแƒ  แƒแƒ แƒ˜แƒก. แƒ›แƒแƒ’แƒแƒšแƒ˜แƒ—แƒแƒ“, แƒ แƒแƒก แƒฃแƒ“แƒ แƒ˜แƒก integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? แƒ›แƒ˜แƒœแƒ˜แƒจแƒœแƒ”แƒ‘แƒ: แƒ”แƒก แƒแƒ  แƒแƒ แƒ˜แƒก sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. แƒกแƒชแƒแƒ“แƒ”แƒ— แƒ›แƒ˜แƒกแƒ˜ แƒ’แƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒ แƒ“แƒ แƒœแƒแƒฎแƒแƒ•แƒ—, แƒ แƒแƒขแƒแƒ›แƒแƒช.
แƒ”แƒ แƒ—แƒ˜ แƒ›แƒ”แƒ—แƒแƒ“แƒ˜, แƒ แƒแƒ›แƒ”แƒšแƒ˜แƒช แƒจแƒ”แƒ˜แƒซแƒšแƒ”แƒ‘แƒ, แƒซแƒแƒšแƒ˜แƒแƒœ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ’แƒ•แƒแƒ“แƒ’แƒ”แƒก, แƒแƒ แƒ˜แƒก u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ, แƒ แƒแƒ›แƒ”แƒšแƒ˜แƒช, แƒคแƒแƒฅแƒขแƒแƒ‘แƒ แƒ˜แƒ•แƒแƒ“, แƒแƒ‘แƒ แƒฃแƒœแƒ”แƒ‘แƒก แƒฏแƒแƒญแƒ•แƒฃแƒ  แƒฌแƒ”แƒกแƒก.

u แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒ›แƒแƒงแƒ”แƒœแƒ”แƒ‘แƒ แƒ’แƒแƒœแƒฃแƒกแƒแƒ–แƒฆแƒ•แƒ แƒ”แƒš แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ”แƒ‘แƒ–แƒ”

แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ˜แƒ“แƒ’แƒ˜แƒœแƒ”แƒ—, แƒ แƒแƒ› แƒ’แƒ•แƒ—แƒฎแƒแƒ•แƒ”แƒก integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab-แƒ˜แƒก แƒžแƒแƒ•แƒœแƒ. แƒจแƒ”แƒœแƒ˜แƒจแƒœแƒ”แƒ—, แƒ แƒแƒ› start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab แƒแƒ แƒ˜แƒก start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54-แƒ˜แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜, แƒ แƒแƒ›แƒ”แƒšแƒ˜แƒช แƒแƒ แƒ˜แƒก โ€žแƒจแƒ˜แƒ“แƒโ€œ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 แƒจแƒ”แƒ“แƒ’แƒ”แƒœแƒ˜แƒš แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒแƒจแƒ˜. แƒกแƒฎแƒ•แƒ แƒกแƒ˜แƒขแƒงแƒ•แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ— แƒ แƒแƒ› แƒ•แƒ—แƒฅแƒ•แƒแƒ—, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54-แƒกแƒ แƒ“แƒ start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10-แƒก แƒ“แƒแƒจแƒ•แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ— แƒ’แƒ•แƒ”แƒฅแƒœแƒ”แƒ‘แƒ:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
แƒ”แƒก แƒ’แƒ•แƒ”แƒฃแƒ‘แƒœแƒ”แƒ‘แƒ, แƒ แƒแƒ› แƒกแƒแƒญแƒ˜แƒ แƒแƒ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ. แƒ•แƒœแƒแƒฎแƒแƒ—, แƒ แƒแƒ’แƒแƒ  แƒฎแƒ“แƒ”แƒ‘แƒ แƒ”แƒก.
แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒ”แƒš แƒงแƒแƒ•แƒšแƒ˜แƒกแƒ, start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54-แƒก แƒ•แƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒ— x-แƒ˜แƒก แƒ›แƒ˜แƒฎแƒ”แƒ“แƒ•แƒ˜แƒ—, แƒฎแƒแƒšแƒ u-แƒก แƒแƒฆแƒ•แƒ˜แƒฅแƒ•แƒแƒ›แƒ—, แƒ แƒแƒ’แƒแƒ แƒช x-แƒ˜แƒก แƒแƒ แƒแƒชแƒฎแƒแƒ“ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒแƒก.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2xโ€‰dx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
แƒ‘แƒแƒšแƒ แƒ แƒ˜แƒ’แƒจแƒ˜ แƒ’แƒแƒœแƒขแƒแƒšแƒ”แƒ‘แƒ แƒ’แƒแƒ•แƒแƒ›แƒ แƒแƒ•แƒšแƒ”แƒ— d, x-แƒ–แƒ”, แƒแƒกแƒ” แƒ แƒแƒ›, d, u แƒ’แƒแƒœแƒชแƒแƒšแƒ™แƒ”แƒ•แƒ“แƒ. แƒ”แƒก แƒแƒ แƒแƒขแƒ แƒแƒ“แƒ˜แƒชแƒ˜แƒฃแƒšแƒ˜ แƒ›แƒ˜แƒ“แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ, แƒ—แƒฃแƒ›แƒชแƒ แƒ›แƒแƒ›แƒ“แƒ”แƒ•แƒœแƒ แƒœแƒแƒ‘แƒ˜แƒฏแƒ–แƒ” แƒ’แƒ•แƒ”แƒฎแƒ›แƒแƒ แƒ”แƒ‘แƒ. แƒแƒกแƒ” แƒ แƒแƒ›, แƒ’แƒ•แƒแƒฅแƒ•แƒก start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 แƒ“แƒ start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. แƒแƒฎแƒšแƒ แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ›แƒแƒ•แƒแƒฎแƒ“แƒ˜แƒœแƒแƒ— แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒจแƒ˜:
=โˆซ2xcosโก(x2)โ€‰dx=โˆซcosโก(x2โŸu)2xโ€‰dxโŸduแƒ’แƒแƒ“แƒแƒแƒแƒ“แƒ’แƒ˜แƒšแƒ”แƒ—.=โˆซcosโก(u)โ€‰duแƒฉแƒแƒกแƒ•แƒ˜แƒ—.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{แƒ’แƒแƒ“แƒแƒแƒแƒ“แƒ’แƒ˜แƒšแƒ”แƒ—.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{แƒฉแƒแƒกแƒ•แƒ˜แƒ—.}} \end{aligned}
แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒก แƒจแƒ”แƒ›แƒ“แƒ”แƒ’ แƒ’แƒ•แƒ แƒฉแƒ”แƒ‘แƒ start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10-แƒ˜แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ u-แƒก แƒ›แƒ˜แƒ›แƒแƒ แƒ—. แƒ แƒแƒ’แƒแƒ แƒ˜ แƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒ”แƒ แƒฎแƒ”แƒ‘แƒ”แƒšแƒ˜แƒ! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis แƒกแƒแƒ‘แƒแƒ–แƒ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒแƒ, แƒแƒกแƒ” แƒ แƒแƒ›, แƒ›แƒ˜แƒกแƒ˜ แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ แƒžแƒ˜แƒ แƒ“แƒแƒžแƒ˜แƒ  แƒจแƒ”แƒ’แƒ•แƒ˜แƒซแƒšแƒ˜แƒ, แƒ•แƒ˜แƒžแƒแƒ•แƒแƒ—. แƒ“แƒแƒ’แƒ•แƒ แƒฉแƒ แƒ›แƒฎแƒแƒšแƒแƒ“ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒ“แƒแƒ‘แƒ แƒฃแƒœแƒ”แƒ‘แƒ x-แƒ˜แƒก แƒ›แƒ˜แƒ›แƒแƒ แƒ— แƒคแƒแƒ แƒ›แƒแƒจแƒ˜:
=โˆซcosโก(u)โ€‰du=sinโก(u)+C=sinโก(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
แƒ“แƒแƒกแƒ™แƒ•แƒœแƒ: integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x is sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. แƒจแƒ”แƒ’แƒ˜แƒซแƒšแƒ˜แƒแƒ—, แƒ’แƒแƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒแƒ— sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C, แƒ แƒแƒ› แƒจแƒ”แƒแƒ›แƒแƒฌแƒ›แƒแƒ—, แƒ แƒแƒ› แƒ”แƒก แƒกแƒฌแƒแƒ แƒ˜แƒ.
แƒกแƒแƒ™แƒ•แƒแƒœแƒซแƒ แƒแƒ–แƒ แƒ˜ #1: u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ แƒ’แƒฃแƒšแƒ˜แƒกแƒฎแƒ›แƒแƒ‘แƒก แƒฏแƒแƒญแƒ•แƒฃแƒ แƒ˜ แƒฌแƒ”แƒกแƒ˜แƒก แƒจแƒ”แƒ‘แƒ แƒฃแƒœแƒ”แƒ‘แƒแƒก:
  • แƒฏแƒแƒญแƒ•แƒฃแƒ แƒ˜ แƒฌแƒ”แƒกแƒ˜แƒก แƒ—แƒแƒœแƒฎแƒ›แƒแƒ“, start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10-แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜แƒ start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
  • u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒกแƒแƒก แƒ•แƒ˜แƒฆแƒ”แƒ‘แƒ— start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab แƒคแƒแƒ แƒ›แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒแƒก แƒ“แƒ แƒ•แƒžแƒแƒฃแƒšแƒแƒ‘แƒ— แƒ›แƒ˜แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒš แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒแƒก, start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.
แƒกแƒแƒ™แƒ•แƒแƒœแƒซแƒ แƒแƒ–แƒ แƒ˜ #2: u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ แƒ’แƒ•แƒ”แƒฎแƒ›แƒแƒ แƒ”แƒ‘แƒ แƒฉแƒแƒฎแƒšแƒแƒ แƒ—แƒฃแƒšแƒ˜ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ แƒขแƒ˜แƒ•แƒ”แƒ‘แƒแƒจแƒ˜ โ€žแƒจแƒ˜แƒ“แƒโ€œ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒชแƒ•แƒšแƒแƒ“แƒแƒ“ แƒฅแƒชแƒ”แƒ•แƒ˜แƒ—.
แƒแƒ›แƒแƒชแƒแƒœแƒ 1.A
  • แƒ›แƒ˜แƒ›แƒ“แƒ˜แƒœแƒแƒ แƒ”
แƒแƒ›แƒแƒชแƒแƒœแƒแƒ—แƒ แƒœแƒแƒ™แƒ แƒ”แƒ‘ 1-แƒจแƒ˜ แƒ•แƒ˜แƒกแƒแƒฃแƒ‘แƒ แƒ”แƒ‘แƒ— แƒจแƒ”แƒ›แƒ“แƒ”แƒ’แƒ˜ แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ˜แƒก u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒ›แƒแƒงแƒ”แƒœแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ— แƒžแƒแƒ•แƒœแƒ˜แƒก แƒงแƒ•แƒ”แƒšแƒ แƒœแƒแƒ‘แƒ˜แƒฏแƒ–แƒ”.
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
แƒ แƒแƒ’แƒแƒ  แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒœแƒ•แƒกแƒแƒ–แƒฆแƒ•แƒ แƒแƒ— u?
แƒแƒ˜แƒ แƒฉแƒ˜แƒ”แƒ— 1 แƒžแƒแƒกแƒฃแƒฎแƒ˜:

แƒ’แƒแƒ•แƒ แƒชแƒ”แƒšแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜ แƒจแƒ”แƒชแƒ“แƒแƒ›แƒ: u-แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒแƒœ d, u-แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒแƒ แƒแƒกแƒฌแƒแƒ แƒ˜ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒ›แƒ˜แƒฆแƒ”แƒ‘แƒ

u-แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒแƒ แƒแƒกแƒฌแƒแƒ แƒ˜ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒจแƒ”แƒ แƒฉแƒ”แƒ•แƒ แƒแƒ แƒแƒกแƒฌแƒแƒ  แƒžแƒแƒกแƒฃแƒฎแƒก แƒ›แƒแƒ’แƒ•แƒชแƒ”แƒ›แƒก. แƒ›แƒแƒ’แƒแƒšแƒ˜แƒ—แƒแƒ“, แƒแƒ›แƒแƒชแƒแƒœแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒœแƒแƒ™แƒ แƒ”แƒ‘ 1-แƒจแƒ˜ u แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒœแƒ•แƒกแƒแƒ–แƒฆแƒ•แƒ แƒแƒ—, แƒ แƒแƒ’แƒแƒ แƒช 2, x, cubed, plus, 5. u-แƒก แƒ’แƒแƒขแƒแƒšแƒ”แƒ‘แƒ 6, x, squared-แƒ˜แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒแƒœ left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript-แƒ˜แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒแƒ  แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ“แƒ’แƒ”แƒ‘แƒ.
แƒ’แƒแƒฎแƒกแƒแƒ•แƒ“แƒ”แƒ—: u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒแƒ› แƒ แƒแƒ› แƒ˜แƒ›แƒฃแƒจแƒแƒ•แƒแƒก, แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒฅแƒ•แƒ”แƒจแƒ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒก แƒฉแƒแƒฌแƒ”แƒ แƒ แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒจแƒ”แƒ’แƒ•แƒ”แƒซแƒšแƒแƒก start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab แƒกแƒแƒฎแƒ˜แƒ—. แƒ›แƒแƒจแƒ˜แƒœ, u แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒœแƒ˜แƒกแƒแƒ–แƒฆแƒ•แƒ แƒแƒก, แƒ แƒแƒ’แƒแƒ แƒช แƒจแƒ”แƒ“แƒ’แƒ”แƒœแƒ˜แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒจแƒ˜แƒ“แƒ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ.
แƒแƒ› แƒžแƒ แƒแƒชแƒ”แƒกแƒ˜แƒก แƒจแƒ”แƒ›แƒ“แƒ”แƒ’แƒ˜ แƒ›แƒœแƒ˜แƒจแƒ•แƒœแƒ”แƒšแƒแƒ•แƒแƒœแƒ˜ แƒœแƒแƒ‘แƒ˜แƒฏแƒ˜แƒ d, u-แƒก แƒžแƒแƒ•แƒœแƒ. แƒ“แƒแƒ แƒฌแƒ›แƒฃแƒœแƒ“แƒ˜แƒ—, แƒ แƒแƒ› u-แƒก แƒกแƒฌแƒแƒ แƒแƒ“ แƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒ—, แƒ แƒแƒ“แƒ’แƒแƒœ d, u-แƒก แƒแƒ แƒแƒกแƒฌแƒแƒ แƒ˜ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒฃแƒšแƒ”แƒ‘แƒแƒช แƒแƒ แƒแƒกแƒฌแƒแƒ  แƒžแƒแƒกแƒฃแƒฎแƒก แƒ›แƒแƒ’แƒชแƒ”แƒ›แƒ—.
แƒแƒ›แƒแƒชแƒแƒœแƒ 2
แƒขแƒ˜แƒ›แƒก แƒกแƒ—แƒฎแƒแƒ•แƒ”แƒก, แƒ”แƒžแƒแƒ•แƒ integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. แƒ”แƒก แƒแƒ แƒ˜แƒก แƒ›แƒ˜แƒกแƒ˜ แƒœแƒแƒ›แƒฃแƒจแƒ”แƒ•แƒแƒ แƒ˜:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
แƒขแƒ˜แƒ›แƒ˜แƒก แƒœแƒแƒ›แƒฃแƒจแƒ”แƒ•แƒแƒ แƒ˜ แƒกแƒฌแƒแƒ แƒ˜แƒ? แƒ—แƒฃ แƒแƒ แƒ, แƒ แƒ แƒแƒ แƒ˜แƒก แƒ›แƒ˜แƒกแƒ˜ แƒจแƒ”แƒชแƒ“แƒแƒ›แƒ?
แƒแƒ˜แƒ แƒฉแƒ˜แƒ”แƒ— 1 แƒžแƒแƒกแƒฃแƒฎแƒ˜:

แƒ’แƒแƒ•แƒ แƒชแƒ”แƒšแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜ แƒจแƒ”แƒชแƒ“แƒแƒ›แƒ: แƒ˜แƒ›แƒ˜แƒก แƒ•แƒ”แƒ แƒ›แƒ˜แƒฎแƒ•แƒ”แƒ“แƒ แƒ, แƒ แƒแƒ› แƒกแƒแƒญแƒ˜แƒ แƒแƒ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ

แƒ’แƒแƒฎแƒกแƒแƒ•แƒ“แƒ”แƒ—: แƒ แƒ—แƒฃแƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒ’แƒแƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒ˜แƒกแƒแƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ“แƒแƒžแƒ˜แƒ  แƒ’แƒแƒ แƒ” แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒš แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒแƒก แƒ•แƒ”แƒ  แƒ•แƒ˜แƒžแƒแƒ•แƒ˜แƒ—. แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ•แƒ˜แƒงแƒ”แƒœแƒแƒ— u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ.
แƒ˜แƒ›แƒ˜แƒก แƒ“แƒแƒจแƒ•แƒ”แƒ‘แƒ˜แƒ—, แƒ แƒแƒ› W แƒแƒ แƒ˜แƒก w-แƒก แƒžแƒ˜แƒ แƒ•แƒแƒœแƒ“แƒ”แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ, แƒแƒ› แƒแƒ–แƒ แƒ˜แƒก แƒ›แƒแƒ—แƒ”แƒ›แƒแƒขแƒ˜แƒ™แƒฃแƒ แƒแƒ“ แƒ’แƒแƒ›แƒแƒกแƒแƒฎแƒ•แƒ แƒจแƒ”แƒ›แƒ“แƒ”แƒ’แƒœแƒแƒ˜แƒ แƒแƒ“ แƒจแƒ”แƒ’แƒ•แƒ˜แƒซแƒšแƒ˜แƒ:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

แƒ™แƒ˜แƒ“แƒ”แƒ• แƒ”แƒ แƒ—แƒ˜ แƒ’แƒแƒ•แƒ แƒชแƒ”แƒšแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜ แƒจแƒ”แƒชแƒ“แƒแƒ›แƒ: แƒจแƒ˜แƒ“แƒ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒกแƒ แƒ“แƒ แƒ›แƒ˜แƒกแƒ˜ แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜แƒก แƒแƒ แƒ”แƒ•แƒ

แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ˜แƒ“แƒ’แƒ˜แƒœแƒ”แƒ—, แƒ แƒแƒ› แƒชแƒ“แƒ˜แƒšแƒแƒ‘แƒ—, แƒ˜แƒžแƒแƒ•แƒแƒ— integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. แƒจแƒ”แƒกแƒแƒซแƒšแƒแƒ, แƒ—แƒฅแƒ•แƒแƒ—: โ€žแƒ แƒแƒ“แƒ’แƒแƒœ 2, x แƒแƒ แƒ˜แƒก x, squared-แƒ˜แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜, แƒจแƒ”แƒ’แƒ•แƒ˜แƒซแƒšแƒ˜แƒ, แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ•แƒ˜แƒงแƒ”แƒœแƒแƒ— u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒโ€œ. แƒกแƒ˜แƒœแƒแƒ›แƒ“แƒ•แƒ˜แƒšแƒ”แƒจแƒ˜, แƒ แƒแƒ“แƒ’แƒแƒœ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ˜แƒกแƒ—แƒ•แƒ˜แƒก แƒกแƒแƒญแƒ˜แƒ แƒแƒ แƒจแƒ˜แƒ“แƒ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ˜แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜แƒก แƒแƒฆแƒ”แƒ‘แƒ, x, squared แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ˜แƒงแƒแƒก 2, x-แƒ˜แƒก แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ”แƒ‘แƒฃแƒšแƒ˜, แƒ แƒแƒ› u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒแƒ› แƒ˜แƒ›แƒฃแƒจแƒแƒ•แƒแƒก. แƒ แƒแƒ“แƒ’แƒแƒœ แƒ”แƒก แƒแƒกแƒ” แƒแƒ  แƒแƒ แƒ˜แƒก, แƒแƒฅ u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ แƒแƒ  แƒ’แƒแƒ›แƒแƒ“แƒ’แƒ”แƒ‘แƒ.

แƒ–แƒแƒ’แƒฏแƒ”แƒ  แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ˜ แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒ•แƒแƒ›แƒ แƒแƒ•แƒšแƒแƒ—/แƒ’แƒแƒ•แƒงแƒแƒ— แƒ›แƒฃแƒ“แƒ›แƒ˜แƒ•แƒแƒ–แƒ”.

แƒฌแƒแƒ แƒ›แƒแƒ˜แƒ“แƒ’แƒ˜แƒœแƒ”แƒ—, แƒ แƒแƒ› แƒ’แƒ•แƒ—แƒฎแƒแƒ•แƒ”แƒœ, แƒ•แƒ˜แƒžแƒแƒ•แƒแƒ— integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. แƒจแƒ”แƒœแƒ˜แƒจแƒœแƒ”แƒ—, แƒ แƒแƒ›, แƒ›แƒแƒ แƒ—แƒแƒšแƒ˜แƒ, แƒ’แƒ•แƒแƒฅแƒ•แƒก start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 แƒจแƒ”แƒ“แƒ’แƒ”แƒœแƒ˜แƒšแƒ˜ แƒคแƒฃแƒœแƒฅแƒชแƒ˜แƒ, แƒ›แƒแƒ’แƒ แƒแƒ› แƒ˜แƒ’แƒ˜ แƒแƒ  แƒ›แƒ แƒแƒ•แƒšแƒ“แƒ”แƒ‘แƒ แƒแƒ แƒแƒคแƒ”แƒ แƒ–แƒ”. แƒ”แƒก แƒ—แƒแƒ•แƒ˜แƒ“แƒแƒœ แƒจแƒ”แƒ˜แƒซแƒšแƒ”แƒ‘แƒ, แƒฃแƒชแƒœแƒแƒฃแƒ แƒแƒ“ แƒ’แƒ•แƒ”แƒฉแƒ•แƒ”แƒœแƒแƒก, แƒ›แƒแƒ’แƒ แƒแƒ› แƒ’แƒแƒœแƒ•แƒแƒ’แƒ แƒซแƒแƒ— แƒ“แƒ แƒ•แƒœแƒแƒฎแƒแƒ—, แƒ แƒ แƒ›แƒแƒฎแƒ“แƒ”แƒ‘แƒ.
แƒ•แƒฃแƒขแƒแƒšแƒ”แƒ‘แƒ— start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54-แƒก, แƒ›แƒแƒจแƒ˜แƒœ start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. u-แƒก แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒจแƒ˜ แƒแƒ  แƒ•แƒกแƒ•แƒแƒ›แƒ—, แƒกแƒแƒœแƒแƒ› แƒแƒ› แƒญแƒ™แƒ•แƒ˜แƒแƒœแƒฃแƒ  แƒ’แƒแƒ แƒ“แƒแƒฅแƒ›แƒœแƒแƒก แƒแƒ  แƒ’แƒแƒœแƒ•แƒแƒฎแƒแƒ แƒชแƒ˜แƒ”แƒšแƒ”แƒ‘แƒ—:
integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
แƒœแƒแƒฎแƒ”แƒ—, แƒแƒฅ แƒ แƒ แƒ’แƒแƒ•แƒแƒ™แƒ”แƒ—แƒ”แƒ—? แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒฅแƒ•แƒ”แƒจ แƒ แƒแƒ› แƒ’แƒ•แƒฅแƒแƒœแƒแƒ“แƒ start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab, แƒ›แƒ—แƒ”แƒšแƒ˜ แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ˜ แƒ’แƒแƒ•แƒแƒ›แƒ แƒแƒ•แƒšแƒ”แƒ— start fraction, 1, divided by, 3, end fraction-แƒ–แƒ”. แƒแƒ› แƒ’แƒ–แƒ˜แƒ—, แƒฉแƒ•แƒ”แƒœ แƒจแƒ”แƒกแƒแƒซแƒšแƒ”แƒ‘แƒ”แƒšแƒ˜ แƒ’แƒแƒ•แƒฎแƒแƒ“แƒ”แƒ— u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ แƒ˜แƒกแƒ”, แƒ แƒแƒ› แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ˜แƒก แƒ›แƒœแƒ˜แƒจแƒ•แƒœแƒ”แƒšแƒแƒ‘แƒ แƒแƒ  แƒจแƒ”แƒชแƒ•แƒšแƒ˜แƒšแƒ.
แƒ›แƒแƒ“แƒ˜แƒ—, แƒ’แƒแƒœแƒ•แƒแƒ’แƒ แƒซแƒแƒ— แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ:
=13โˆซsinโก(3x+5โŸu)3โ€‰dxโŸdu=13โˆซsinโก(u)โ€‰du=โˆ’13cosโก(u)+C=โˆ’13cosโก(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
แƒกแƒแƒ™แƒ•แƒแƒœแƒซแƒ แƒแƒ–แƒ แƒ˜: แƒ–แƒแƒ’แƒฏแƒ”แƒ  แƒ›แƒ—แƒ”แƒšแƒ˜ แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒ แƒแƒšแƒ˜ แƒฃแƒœแƒ“แƒ แƒ’แƒแƒ•แƒแƒ›แƒ แƒแƒ•แƒšแƒแƒ— แƒแƒœ แƒ’แƒแƒ•แƒงแƒแƒ— แƒ›แƒฃแƒ“แƒ›แƒ˜แƒ•แƒแƒ–แƒ”, แƒ แƒแƒ› แƒ˜แƒœแƒขแƒ”แƒ’แƒแƒšแƒ˜ แƒ›แƒœแƒ˜แƒจแƒ•แƒœแƒ”แƒšแƒแƒ‘แƒ˜แƒก แƒฃแƒชแƒ•แƒšแƒ”แƒšแƒแƒ“ แƒ›แƒ˜แƒ•แƒ˜แƒงแƒ•แƒแƒœแƒแƒ— แƒ˜แƒกแƒ”แƒ— แƒคแƒแƒ แƒ›แƒแƒ›แƒ“แƒ”, แƒ แƒแƒ› แƒจแƒ”แƒกแƒแƒซแƒšแƒ”แƒ‘แƒ”แƒšแƒ˜ แƒ˜แƒงแƒแƒก u-แƒฉแƒแƒกแƒ›แƒ.
แƒแƒ›แƒแƒชแƒแƒœแƒ 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
แƒแƒ˜แƒ แƒฉแƒ˜แƒ”แƒ— 1 แƒžแƒแƒกแƒฃแƒฎแƒ˜:

แƒ’แƒ˜แƒœแƒ“แƒแƒ— แƒ›แƒ”แƒขแƒ˜ แƒ•แƒแƒ แƒฏแƒ˜แƒจแƒ˜? แƒกแƒชแƒแƒ“แƒ”แƒ— แƒ”แƒก แƒกแƒแƒ•แƒแƒ แƒฏแƒ˜แƒจแƒ.

แƒ’แƒกแƒฃแƒ แƒ—, แƒจแƒ”แƒฃแƒ”แƒ แƒ—แƒ“แƒ”แƒ— แƒ“แƒ˜แƒกแƒ™แƒฃแƒกแƒ˜แƒแƒก?

แƒจแƒ”แƒกแƒ•แƒšแƒ
แƒžแƒแƒกแƒขแƒ”แƒ‘แƒ˜ แƒฏแƒ”แƒ  แƒแƒ  แƒแƒ แƒ˜แƒก.
แƒ’แƒ”แƒกแƒ›แƒ˜แƒ— แƒ˜แƒœแƒ’แƒšแƒ˜แƒกแƒฃแƒ แƒ˜? แƒ“แƒแƒแƒฌแƒ™แƒแƒžแƒฃแƒœแƒ”แƒ— แƒแƒฅ แƒ“แƒ แƒ’แƒแƒ”แƒชแƒแƒœแƒ˜แƒ— แƒ’แƒแƒœแƒฎแƒ˜แƒšแƒ•แƒแƒก แƒฎแƒแƒœแƒ˜แƒก แƒแƒ™แƒแƒ“แƒ”แƒ›แƒ˜แƒ˜แƒก แƒ˜แƒœแƒ’แƒšแƒ˜แƒกแƒฃแƒ แƒ”แƒœแƒแƒ•แƒแƒœ แƒ’แƒ•แƒ”แƒ แƒ“แƒ–แƒ”.