ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 3: დაჯამების ჩანაწერის მიმოხილვა

სიგმა-ჩანაწერი
სიგმა-ჩანაწერი
დამუშავებული მაგალითები: დაჯამების ჩანაწერი
სიგმა-ჩანაწერი

მათემატიკა>

ინტეგრალური კალკულუსი>

ინტეგრალები>

დაჯამების ჩანაწერის მიმოხილვა

გამოყენების პირობები კონფიდენციალურობის პოლიტიკა შენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

სიგმა-ჩანაწერი

Google–ის საკლასო ოთახი

ჯამები შეგვიძლია, აღვწეროთ რამდენიმე წევრით Σ მოქმედების გამოყენებით. ისწავლეთ, როგორ გამოვთვალოთ ასე ჩაწერილი ჯამები.

ჯამის ნოტაცია (იგივე სიგმა ნოტაცია) საშუალებას გვაძლევს, გრძელი ჯამი ჩავწეროთ ერთ გამოსახულებად.

ჯამის ნოტაციაში გარკვევა

ეს არის სიმბოლო სიგმა:

\sum

‍. ეს გვეუბნება, რომ რაღაცის ჯამს ვიღებთ.

დავიწყოთ მარტივი მაგალითით:

\begin{aligned} შეჩერდით, როცა n = 3 \\ (ჩათვლით) \\ ↘ \\ \sum_{n = 1}^{3} & 2 n - 1 \\ ↖ \\ ↗ & გამოსახულება ჯამში მყოფი \\ დაიწყეთ, როცა n = 1 & თითოეული წევრისთვის \end{aligned}

‍

ეს არის ჯამი

2 n - 1

‍ გამოსახულებისთვის

n

‍-ის მთელი მნიშვნელობებისთვის

1

‍-დან

3

‍-მდე (ჩათვლით):

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} 2 n - 1 \\ = \underset{n = 1}{\underset{⏟}{[2 (1) - 1]}} + \underset{n = 2}{\underset{⏟}{[2 (2) - 1]}} + \underset{n = 3}{\underset{⏟}{[2 (3) - 1]}} \\ = 1 + 3 + 5 \\ = 9 \end{aligned}

‍

დააკვირდით, როგორ შევცვალეთ

n = 1

‍,

n = 2

‍ და

n = 3

‍

2 n - 1

‍-ით და ავჯამეთ შედეგად მიღებული წევრები.

n

‍ არის ჩვენი ჯამის ინდექსი. როდესაც დაჯამების გამოსახულებას ვაფასებთ, ჩვენს ინდექსში სხვადასხვა მნიშვნელობას ვსვამთ.

ამოცანა 1

\sum_{n = 1}^{4} n^{2} = ?

‍

აირჩიეთ 1 პასუხი:

(Choice A)
$1 + 2 + 3 + 4$ ‍
(Choice B)
$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2}$ ‍
(Choice C)
$(1 + 2 + 3 + 4)^{2}$ ‍
(Choice D)
$1^{2} + 4^{2}$ ‍

შეგვიძლია, დაჯამება დავიწყოთ და დავასრულოთ

n

‍-ის ნებისმიერ მნიშვნელობაზე. მაგალითად, ეს ჯამი იღებს

n

‍-ის მთელ მნიშვნელობებს

4

‍-დან

6

‍-მდე:

\begin{aligned} \sum_{n = 4}^{6} n - 1 \\ = \underset{n = 4}{\underset{⏟}{(4 - 1)}} + \underset{n = 5}{\underset{⏟}{(5 - 1)}} + \underset{n = 6}{\underset{⏟}{(6 - 1)}} \\ = 3 + 4 + 5 \\ = 12 \end{aligned}

‍

ჩვენი ინდექსისათვის შეგვიძლია, ნებისმიერი ასო გამოვიყენოთ. მაგალითად, ამ გამოსახულებაში ინდექსს აღნიშნავს

i

‍:

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{2} 3 i - 5 \\ = \underset{i = 0}{\underset{⏟}{[3 (0) - 5]}} + \underset{i = 1}{\underset{⏟}{[3 (1) - 5]}} + \underset{i = 2}{\underset{⏟}{[3 (2) - 5]}} \\ = - 5 + (- 2) + 1 \\ = - 6 \end{aligned}

‍

ამოცანა 2

\sum_{k = 3}^{5} k (k + 1) =

‍

თქვენი პასუხი უნდა იყოს
მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍
გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍
გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍
შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍
ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍
pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍

ამოცანა 3

განვიხილოთ ჯამი

4 + 25 + 64 + 121

‍.

რომელი გამოსახულება არის ზედა ჯამის ტოლფასი?

მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

(Choice A)
$\sum_{i = 0}^{3} (i^{2} + 2 i + 4)$ ‍
(Choice B)
$\sum_{i = 0}^{3} (3 i + 2)^{2}$ ‍
(Choice C)
არცერთი ზემოხსენებული

დაჯამების ზოგიერთ გამოსახულებას ინდექსის გარდა აქვს სხვა ცვლადებიც. განვიხილოთ ეს ჯამი:

\sum_{n = 1}^{4} \frac{k}{n + 1}

‍.

აღვნიშნოთ, რომ აქ ჩვენი ინდექსი არის

n

‍ და არა —

k

‍. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მნიშვნელობებს ვსვამთ

n

‍-ში, ხოლო

k

‍ რჩება უცნობი:

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} \frac{k}{n + 1} \\ = \frac{k}{(1) + 1} + \frac{k}{(2) + 1} + \frac{k}{(3) + 1} \\ = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} \end{aligned}

‍

ძირითადი იდეა: სანამ დაჯამების ნოტაციაში ჯამის შეფასებას დაიწყებთ, ყოველთვის დააზუსტეთ, რომელია ინდექსი, და დარწმუნდით, რომ ყოველთვის ამ ინდექსში სვამთ მნიშვნელობებს. სხვა უცნობები უნდა დარჩნენ უცვლელნი.

ამოცანა 4

\sum_{m = 1}^{4} 8 k - 6 m = ?

‍

აირჩიეთ 1 პასუხი:

(Choice A)
$8 k - 6 + 8 k - 12 + 8 k - 18 + 8 k - 24$ ‍
(Choice B)
$2 + 4 + 6 + 8$ ‍
(Choice C)
$8 - 6 m + 16 - 6 m + 24 - 6 m + 32 - 6 m$ ‍
(Choice D)
$0 + 2 + 4 + 6$ ‍

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.