ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 2: მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა რიმანის ჯამის გამოყენებით

რიმანის მიახლოების გაცნობა
რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამის პოვნა ცხრილის გამოყენებით
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
შუაწერტილების ჯამები
ტრაპეციული ჯამები
ტრაპეციის წესის გაგება
შუაწერტილი და ტრაპეციული ჯამი
რიმანის ჯამების მიმოხილვა
ამოცანები გადაადგილებაზე რიმანის ჯამის მიახლოებით

მათემატიკა>

ინტეგრალური კალკულუსი>

ინტეგრალები>

მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა რიმანის ჯამის გამოყენებით

გამოყენების პირობები კონფიდენციალურობის პოლიტიკა შენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ტრაპეციის წესის გაგება

Google–ის საკლასო ოთახი

განიხილეთ ტრაპეციის წესის გამოყენების რამდენიმე მაგალითი. შემდეგ თავად სცადეთ რამდენიმე სავარჯიშო ამოცანის ამოხსნა.

ახლა უკვე იცით, რომ ფუნქციის ქვეშ ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობის საპოვნელად შეგიძლიათ, გამოიყენოთ რიმანის ჯამი. რიმანის ჯამი იყენებს მართკუთხედებს, რაც გვაძლევს მოსწორებულ მიახლოებით მნიშვნელობებს. რა მოხდება, თუ ფუნქციის ქვეშ ფართობის საპოვნელად ტრაპეციას გამოვიყენებთ?

საკვანძო აზრი: ტრაპეციების (ანუ „ტრაპეციის წესის“) გამოყენებით ვიღებთ უფრო ზუსტ მიახლოებით მნიშვნელობებს, ვიდრე მართკუთხედების (ანუ „რიმანის ჯამის“) გამოყენებისას.

ტრაპეციის წესის მაგალითი

მოდით, ეს შევამოწმოთ სამი ტრაპეციის გამოყენებით

f (x) = 3 \ln (x)

‍ ფუნქციის ქვეშ ფართობის საპოვნელად

[2, 8]

‍ ინტერვალზე.

აი, ასე გამოიყურება დიაგრამაში, როცა პირველ ტრაპეციას ვუწოდებთ

T_{1}

‍-ს, მეორეს -

T_{2}

‍-ს და მესამეს -

T_{3}

‍-ს:

გაიხსენეთ, რომ ტრაპეციის ფართობი არის

h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

‍, სადაც

h

‍ არის სიმაღლე და

b_{1}

‍ და

b_{2}

‍ ფუძეებია.

$T_{1}$ ‍-ის ფართობის პოვნა

ტრაპეციას ისე უნდა წარმოვიდგინოთ, თითქოს გვერდზე დგას (და არა — ფუძეზე).

h

‍ სიმაღლე არის

2

‍

T_{1}

‍-ს ძირზე, რომელიც გადაჭიმულია

x = 2

‍-დან

x = 4

‍-მდე.

პირველი ფუძე

b_{1}

‍ არის

3 \ln (x)

‍-ის მნიშვნელობა

x = 2

‍-ზე, რომელიცაა

3 \ln (2)

‍.

მეორე ფუძე

b_{2}

‍ არის

3 \ln (x)

‍-ის მნიშვნელობა

x = 4

‍-ზე, რომელიცაა

3 \ln (4)

‍.

ეს ვიზუალურად ასე გამოიყურება:

მოდით, ყველაფერი შევაჯამოთ, რომ ვიპოვოთ

T_{1}

‍-ს მნიშვნელობა:

T_{1} = h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2})

‍

T_{1} = 2 (\frac{3 \ln (2) + 3 \ln (4)}{2})

‍

გაამარტივეთ:

T_{1} = 3 (\ln (2) + \ln (4))

‍

$T_{2}$ ‍-ის ფართობის პოვნა

მოდით, ვიპოვოთ სიმაღლე და ორივე ფუძე:

h = 2

‍

b_{1} = 3 \ln (4)

‍

b_{2} = 3 \ln (6)

‍

ჩასვით და გაამარტივეთ:

T_{2} = 3 (\ln (4) + \ln (6))

‍

იპოვეთ $T_{3}$ ‍-ის ფართობი

T_{3} =

‍

აირჩიეთ 1 პასუხი:

(Choice A)
$3 (\ln (6) + \ln (8))$ ‍
(Choice B)
$3 (\ln (4) + \ln (8))$ ‍
(Choice C)
$3 (\ln (4) + \ln (6))$ ‍

[პასუხის ნახვა]

მთლიანი ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა

ჯამურ ფართობს ვპოულობთ სამიდან თითოეული ტრაპეციის ფართობების შეკრებით:

ჯამური ფართობი = T_{1} + T_{2} + T_{3}

‍

აქ არის საბოლოო გამარტივებული პასუხი:

ჯამური ფართობი = 3 (\ln 2 + 2 \ln 4 + 2 \ln 6 + \ln 8)

‍

აქ შეჩერდით და გადახედეთ ალგებრულ მოქმედებებს, რათა დარწმუნდეთ, რომ გაიგეთ, საიდან მივიღეთ ეს!

სავარჯიშო ამოცანა

აარჩიეთ გამოსახულება, რომელიც ოთხ ტრაპეციას იყენებს, რომ იპოვოთ მიახლოებითი ფართობი $f (x) = 2 \ln (x)$ ‍ ფუნქციის ქვეშ $[2, 8]$ ‍ ინტერვალზე.

აირჩიეთ 1 პასუხი:

(Choice A)
$\frac{3}{2} (\ln 2 + 2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5 + \ln 8)$ ‍
(Choice B)
$\frac{9}{4} (\ln 2 + 2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5 + \ln 8)$ ‍
(Choice C)
$3 (\ln 2 + 2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5 + \ln 8)$ ‍
(Choice D)
$\ln 2 + 2 \ln 3, 5 + 2 \ln 5 + 2 \ln 6, 5 + \ln 8$ ‍

[ამოხსნის ჩვენება]

გამოწვევა: ამოცანა

აარჩიეთ გამოსახულება, რომელიც სამ ტრაპეციას იყენებს, რომ იპოვოთ მიახლოებითი ფართობი $f$ ‍ ფუნქციის ქვეშ $[- 1, 5]$ ‍ ინტერვალზე.

აირჩიეთ 1 პასუხი:

(Choice A)
$\frac{1}{2} (f (- 1) + f (1) + f (3) + f (5))$ ‍
(Choice B)
$f (- 1) + f (1) + f (3) + f (5)$ ‍
(Choice C)
$\frac{1}{2} (f (- 1) + 2 \cdot f (1) + 2 \cdot f (3) + f (5))$ ‍
(Choice D)
$f (- 1) + 2 \cdot f (1) + 2 \cdot f (3) + f (5)$ ‍

[ამოხსნის ჩვენება]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

ტრაპეციის წესის მაგალითი

T1‍ -ის ფართობის პოვნა

T2‍ -ის ფართობის პოვნა

იპოვეთ T3‍ -ის ფართობი

მთლიანი ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა

სავარჯიშო ამოცანა

გამოწვევა: ამოცანა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$T_{1}$ ‍-ის ფართობის პოვნა

$T_{2}$ ‍-ის ფართობის პოვნა

იპოვეთ $T_{3}$ ‍-ის ფართობი