ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 2: მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა რიმანის ჯამის გამოყენებით

მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები

მრუდების ქვეშ ფართობების მიახლოებითი მნიშვნელობების პოვნა შეიძლება მართკუთხედებით. ასეთ მიახლოებებს რიმანის ჯამები ეწოდება.

დავუშვათ, გვინდა, ვიპოვოთ ფართობი მრუდის ქვეშ:

ზუსტი ფართობის პოვნა შეიძლება გაგვიჭირდეს, მაგრამ მისი მიახლოებით მნიშვნელობის პოვნა შეგვიძლია მართკუთხედების გამოყენებით:

ჩვენი მიახლოება უფრო ზუსტი იქნება, თუ მეტ მართკუთხედს გამოვიყენებთ:

ასეთ მიახლოებებს ეწოდება რიმანის ჯამები და ისინი დიფერენციალური კალკულუსის ფუნდამენტური ინსტრუმენტებია. ამ წუთისთვის ჩვენი მიზანია, ვფოკუსირდეთ ორი ტიპის რიმანის ჯამების გაგებაზე: მარცხენა რიმანის ჯამები და მარჯვენა რიმანის ჯამები.

მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები

რიმანის ჯამის მისაღებად უნდა ავარჩიოთ, როგორ შევადგენთ მართკუთხედებს. ერთი შესაძლო გზაა, რომ მართკუთხედები მრუდს ეხებოდეს ზედა მარცხენა კუთხით. ამას ეწოდება მარცხენა რიმანის ჯამი.

მეორე ვარიანტია, რომ მრუდს შევახოთ მართკუთხედების ზედა მარჯვენა კუთხეები. ეს არის მარჯვენა რიმანის ჯამი.

ამ ორს შორის პრინციპული უპირატესობა არცერთს არ აქვს.

ამოცანა 1

რა სახის რიმანის ჯამია აღწერილი დიაგრამით?

რიმანის ჯამის ქვეინტერვალები/დანაყოფები

წევრები, რომლებსაც ხშირად ვახსენებთ რიმანის ჯამზე მუშაობისას, არის „ქვეინტერვალი“ ან „დანაყოფი“. ეს ეხება ნაწილების რაოდენობას, რომლადაც

x

ინტერვალი დავყავით, რომ მართკუთხედები მიგვეღო. მარტივად რომ ვთქვათ, ქვეინტერვალების (ან ნაწილების) რაოდენობა არის გამოყენებული მართკუთხედების რაოდენობა.

ქვეინტერვალები შეიძლება იყოს ერთგვაროვანი, ანუ ტოლი სიგრძის, ან არაერთგვაროვანი.

ერთგვაროვანი ინტერვალები	არაერთგვაროვანი ინტერვალები

ამოცანა 2

რა არის ამ რიმანის ჯამში ქვეინტერვალების სწორი განსაზღვრება.

(Choice A)
ხუთი ერთგვაროვანი ქვეინტერვალი
(Choice B)
ხუთი არაერთგვაროვანი ინტერვალი
(Choice C)
ექვსი ერთგვაროვანი ქვეინტერვალი
(Choice D)
ექვსი არაერთგვაროვანი ქვეინტერვალი

ამოცანები რიმანის ჯამზე გრაფიკებით

წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ

y = g (x)

-სა და

x

ღერძს შორის ფართობი

x = 2

-დან

x = 6

-მდე.

ვთქვათ, გადავწყვიტეთ მარცხენა რიმანის ჯამის გამოყენება ოთხი ერთგვაროვანი ინტერვალით.

შენიშვნა: თითოეული მართკუთხედი მრუდს ეხება ზედა მარცხენა კუთხით, რადგან ვიყენებთ მარცხენა რიმანის ჯამს.

მართკუთხედების ფართობების შეკრებით ვიღებთ

20

ერთეულ

^{2}

-ს, რაც უდრის მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებით მნიშვნელობას.

[გვაჩვენეთ ნამუშევარი]

ამოცანა 3

მიახლოებით გამოთვალეთ ფართობი $y = h (x)$ ‍-სა და $x$ ‍ ღერძს შორის $x = - 2$ ‍-დან $x = 4$ ‍-მდე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალით.

ახლა მოდით, რამდენიმე მიახლოებითი მნიშვნელობა გრაფიკების დახმარების გარეშე გამოვიყენოთ.

წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ

x

ღერძსა და

f

გრაფიკს შორის ფართობი

x = 1

-დან

x = 10

-მდე, მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალისთვის. ამისთვის მოცემული გვაქვს

f

-ის მნიშვნელობათა ცხრილი.


$x$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍
$f (x)$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍

კარგი პირველი ნაბიჯია თითოეული ქვეინტერვალის სიგანის პოვნა. მთლიანი ფართობის, რომლის მიახლოებით მნიშვნელობას ვპოულობთ, სიგანე არის

10 - 1 = 9

ერთეული. თუ ვიყენებთ სამ ტოლ ქვეინტერვალს, მაშინ თითოეული მართკუთხედის სიგანეა

9 \div 3 = 3

ამის შემდეგ უნდა დავადგინოთ თითოეული მართკუთხედის სიმაღლე. ჩვენი პირველი მართკუთხედი დგას

[1, 4]

ინტერვალზე. რადგან ვიყენებთ მარჯვენა რიმანის ჯამს, მისი ზედა მარჯვენა წვერო უნდა იყოს მრუდზე, სადაც

x = 4

, ასე რომ, მისი

y

-მნიშვნელობაა

f (4) = 8

ამის მსგავსად შეგვიძლია, ვიპოვოთ, რომ მეორე მართკუთხედს, რომელიც

[4, 7]

ინტერვალზე მდებარეობს, ზედა მარჯვენა წვერო აქვს

f (7) = 3

-ზე.

ჩვენს მესამე (და ბოლო) მართკუთხედს ზედა მარჯვენა ბოლო აქვს

f (10) = 5

-ზე.

ახლა მხოლოდ რიცხვების დამუშავება დაგვრჩა.

	პირველი მართკუთხედი	მეორე მართკუთხედი	მესამე მართკუთხედი
სიგანე	$3$ ‍	$3$ ‍	$3$ ‍
სიმაღლე	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍
ფართობი	$3 \cdot 8 = 24$ ‍	$3 \cdot 3 = 9$ ‍	$3 \cdot 5 = 15$ ‍

ცალკეული ფართობების პოვნის შემდეგ მათ ვკრებთ, რომ მივიღოთ მიახლოებით მნიშვნელობა:

48

ერთეული

^{2}

ამოცანა 4

მიახლოებით გამოთვალეთ ფართობი $x$ ‍ ღერძსა და $y = g (x)$ ‍-ს შორის $x = 10$ ‍-დან $x = 16$ ‍-მდე, მარცხენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალით.


$x$ ‍	$10$ ‍	$12$ ‍	$14$ ‍	$16$ ‍
$g (x)$ ‍	$5$ ‍	$1$ ‍	$7$ ‍	$7$ ‍

მიახლოებითი ფართობი არის

ერთეული

^{2}

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ ფართობი

x

ღერძსა და

f (x) = 2^{x}

-ის გრაფიკს შორის ფართობი

x = - 3

-დან

x = 3

-მდე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალით.

მთელი

[- 3, 3]

ინტერვალი

6

ერთეული სიგანისაა, ასე რომ, სამი მართკუთხედიდან თითოეული უნდა იყოს

6 \div 3 = 2

ერთეული სიგანის.

პირველი მართკუთხედი დგას

[- 3, - 1]

-ზე, ასე რომ, მისი სიმაღლეა

f (- 1) = 2^{- 1} = 0, 5

. ამის მსგავსად, მეორე მართკუთხედის სიმაღლეა

f (1) = 2^{1} = 2

და მესამე სამკუთხედის -

f (3) = 2^{3} = 8

[მაჩვენეთ, როგორ გამოიყურება ეს გრაფიკულად.]

	პირველი მართკუთხედი	მეორე მართკუთხედი	მესამე მართკუთხედი
სიგანე	$2$ ‍	$2$ ‍	$2$ ‍
სიმაღლე	$0, 5$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
ფართობი	$2 \cdot 0, 5 = 1$ ‍	$2 \cdot 2 = 4$ ‍	$2 \cdot 8 = 16$ ‍

ასე რომ, ჩვენი მიახლოებითი მნიშვნელობაა

21

ერთეული

^{2}

ამოცანა 5

მიახლოებით გამოთვალეთ ფართობი $x$ ‍ ღერძსა და $h (x) = \frac{3}{x}$ ‍-ს შორის $x = 0$ ‍-დან $x = 1, 5$ ‍-მდე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით $3$ ‍ ტოლი ქვეინტერვალით.

მიახლოებითი ფართობი არის

ერთეული

^{2}

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? სცადეთეს სავარჯჯიშო.

რიმანის ჯამი ზოგჯერ გადაჭარბებით აფასებს და ზოგჯერ ნაკლებობით

რიმანის ჯამები პოულობს მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებით მნიშველობას, ასე რომ, ისინი თითქმის ყოველთვის ოდნავ მეტი (გადაჭარბებით შეფასება) ან ოდნავ ნაკლები (ნაკლებობით შეფასება) იქნება ნამდვილ ფართობზე.

ამოცანა 6

ეს რიმანის ჯამი ნამდვილ ფართობს გადაჭარბებით აფასებს თუ ნაკლებობით?

ამოცანა 7

განიხილეთ მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები, რომლებიც გვაძლევს მიახლოებით ფართობს

y = g (x)

-ის ქვეშ

x = 2

-სა და

x = 8

-ს შორის.

ფართობი გადაჭარბებით ფასდება თუ ნაკლებობით? შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.

მარცხენა რიმანის ჯამი იქნება მთლიანად მრუდის

, ასე რომ, ეს იქნება

მარჯვენა რიმანის ჯამი იქნება მთლიანად მრუდის

, ასე რომ, ეს იქნება

ამოცანა 8

გამოსახულია უწყვეტი

g

ფუნქციის გრაფიკი.

გვაინტერესებს მრუდის ქვეშ ფართობი

x = - 7

-სა და

x = 7

-ს შორის და მისი მიახლოებითი მნიშვნელობის საპოვნელად განვიხილავთ რიმანის ჯამის გამოყენებას.

ფართობები დაალაგეთ მინიმუმიდან (წვეროში) მაქსიმუმისკენ (ძირში).

ამოცანა 9

ეს ცხრილი გვაძლევს უწყვეტი და ზრდადი

g

ფუნქციის შერჩევით მნიშვნელობებს.

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$3$ ‍	$8$ ‍	$13$ ‍	$18$ ‍
$g (x)$ ‍	$13$ ‍	$19$ ‍	$28$ ‍	$31$ ‍	$41$ ‍

გვაინტერესებს მრუდის ქვეშ ფართობი

x = - 2

-სა და

x = 18

-ს შორის და მისი მიახლოებითი მნიშვნელობის საპოვნელად განვიხილავთ მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამების გამოყენებას, თითოეულს ოთხი ტოლი ქვეინტერვალით.

ფართობები დაალაგეთ მინიმუმიდან (წვეროში) მაქსიმუმისკენ (ძირში).

გინდათ, მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

შენიშვნა: რიმანის ჯამი ფართობს გადაჭარბებით შეაფასებს თუ ნაკლებობით, დამოკიდებულია იმაზე, ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადი ამ ინტერვალზე და იმაზეც, რომელ რიმანის ჯამს ვიღებთ, მარცხენას თუ მარჯვენას.

დასამახსოვრებელი საკვანძო საკითხები

მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა მართკუთხედებით

პირველი, რაც უნდა იფიქროთ „რიმანის ჯამის“ გაგონებისას, არის ის, რომ იყენებთ მართკუთხედებს მრუდის ქვეშ ფართობის მიახოებითი მნიშვნელობის საპოვნელად. გონებაში რაღაც ასეთი უნდა წარმოიდგინოთ:

უფრო ზუსტი მიახლოებითი ფართობის პოვნა მეტი ქვეინტერვალით

ზოგადად, მიახლოებითი ფართობის საპოვნელად, რაც უფრო მეტ ქვეინტერვალს (შესაბამისად, მართკუთხედს) ვიყენებთ, უფრო ზუსტია მიახლოებითი ფართობი.

მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამების განსხვავება

სცადეთ, არ აგერიოთ ისინი. მარცხენა რიმანის ჯამი იყენებს მართკუთხედებს, რომლების ზედა მარცხენა წვეროები მრუდზეა. მარჯვენა რიმანი იყენებს მართკუთხედებს, რომლების ზედა მარჯვენა წვეროებია მრუდზე.

მარცხენა რიმანის ჯამი	მარჯვენა რიმანის ჯამი

გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება

რიმანის ჯამების გამოყენებისას ზოგჯერ ვიღებთ გადაჭარბებით შეფასებას და ზოგჯერ - ნაკლებობით შეფასებს. კარგია, თუ შეგვეძლება იმაზე მსჯელობა, კონკრეტული რიმანის ჯამი ნამდვილ ფართობს გადაჭარბებით აფასებს თუ ნაკლებობით.

ზოგადად, თუ ფუნქცია ინტერვალზე ყოველთვის ზრდადი ან ყოველთვის კლებადია, იმის თქმა, რიმანის ჯამი ფართობს გადაჭარბებით შეაფასებს თუ ნაკლებობით, შეგვიძლია იმაზე დაყრდნობით, ეს მარცხენა რიმანის ჯამია თუ მარჯვენა.

მიმართულება	მარცხენა რიმანის ჯამი	მარჯვენა რიმანის ჯამი
ზრდადი	ნაკლებობით შეფასება	გადაჭარბებით შეფასება
კლებადი	გადაჭარბებით შეფასება	ნაკლებობით შეფასება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.