ძირითადი მასალა
ინტეგრალური კალკულუსი
კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1
გაკვეთილი 2: მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა რიმანის ჯამის გამოყენებით- რიმანის მიახლოების გაცნობა
- რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
- მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
- დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამის პოვნა ცხრილის გამოყენებით
- მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
- დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
- რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
- შუაწერტილების ჯამები
- ტრაპეციული ჯამები
- ტრაპეციის წესის გაგება
- შუაწერტილი და ტრაპეციული ჯამი
- რიმანის ჯამების მიმოხილვა
- ამოცანები გადაადგილებაზე რიმანის ჯამის მიახლოებით
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
მრუდების ქვეშ ფართობების მიახლოებითი მნიშვნელობების პოვნა შეიძლება მართკუთხედებით. ასეთ მიახლოებებს რიმანის ჯამები ეწოდება.
დავუშვათ, გვინდა, ვიპოვოთ ფართობი მრუდის ქვეშ:
ზუსტი ფართობის პოვნა შეიძლება გაგვიჭირდეს, მაგრამ მისი მიახლოებით მნიშვნელობის პოვნა შეგვიძლია მართკუთხედების გამოყენებით:
ჩვენი მიახლოება უფრო ზუსტი იქნება, თუ მეტ მართკუთხედს გამოვიყენებთ:
ასეთ მიახლოებებს ეწოდება რიმანის ჯამები და ისინი დიფერენციალური კალკულუსის ფუნდამენტური ინსტრუმენტებია. ამ წუთისთვის ჩვენი მიზანია, ვფოკუსირდეთ ორი ტიპის რიმანის ჯამების გაგებაზე: მარცხენა რიმანის ჯამები და მარჯვენა რიმანის ჯამები.
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
რიმანის ჯამის მისაღებად უნდა ავარჩიოთ, როგორ შევადგენთ მართკუთხედებს. ერთი შესაძლო გზაა, რომ მართკუთხედები მრუდს ეხებოდეს ზედა მარცხენა კუთხით. ამას ეწოდება მარცხენა რიმანის ჯამი.
მეორე ვარიანტია, რომ მრუდს შევახოთ მართკუთხედების ზედა მარჯვენა კუთხეები. ეს არის მარჯვენა რიმანის ჯამი.
ამ ორს შორის პრინციპული უპირატესობა არცერთს არ აქვს.
რიმანის ჯამის ქვეინტერვალები/დანაყოფები
წევრები, რომლებსაც ხშირად ვახსენებთ რიმანის ჯამზე მუშაობისას, არის „ქვეინტერვალი“ ან „დანაყოფი“. ეს ეხება ნაწილების რაოდენობას, რომლადაც x ინტერვალი დავყავით, რომ მართკუთხედები მიგვეღო. მარტივად რომ ვთქვათ, ქვეინტერვალების (ან ნაწილების) რაოდენობა არის გამოყენებული მართკუთხედების რაოდენობა.
ქვეინტერვალები შეიძლება იყოს ერთგვაროვანი, ანუ ტოლი სიგრძის, ან არაერთგვაროვანი.
| ერთგვაროვანი ინტერვალები | არაერთგვაროვანი ინტერვალები |
|---|---|
ამოცანები რიმანის ჯამზე გრაფიკებით
წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis-სა და x ღერძს შორის ფართობი x, equals, 2-დან x, equals, 6-მდე.
ვთქვათ, გადავწყვიტეთ მარცხენა რიმანის ჯამის გამოყენება ოთხი ერთგვაროვანი ინტერვალით.
შენიშვნა: თითოეული მართკუთხედი მრუდს ეხება ზედა მარცხენა კუთხით, რადგან ვიყენებთ მარცხენა რიმანის ჯამს.
მართკუთხედების ფართობების შეკრებით ვიღებთ 20 ერთეულsquared-ს, რაც უდრის მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებით მნიშვნელობას.
ახლა მოდით, რამდენიმე მიახლოებითი მნიშვნელობა გრაფიკების დახმარების გარეშე გამოვიყენოთ.
წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ x ღერძსა და f გრაფიკს შორის ფართობი x, equals, 1-დან x, equals, 10-მდე, მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალისთვის. ამისთვის მოცემული გვაქვს f-ის მნიშვნელობათა ცხრილი.
| x | 1 | 4 | 7 | 10 | |
| f, left parenthesis, x, right parenthesis | 6 | 8 | 3 | 5 |
კარგი პირველი ნაბიჯია თითოეული ქვეინტერვალის სიგანის პოვნა. მთლიანი ფართობის, რომლის მიახლოებით მნიშვნელობას ვპოულობთ, სიგანე არის 10, minus, 1, equals, 9 ერთეული. თუ ვიყენებთ სამ ტოლ ქვეინტერვალს, მაშინ თითოეული მართკუთხედის სიგანეა 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
ამის შემდეგ უნდა დავადგინოთ თითოეული მართკუთხედის სიმაღლე. ჩვენი პირველი მართკუთხედი დგას open bracket, 1, comma, 4, close bracket ინტერვალზე. რადგან ვიყენებთ მარჯვენა რიმანის ჯამს, მისი ზედა მარჯვენა წვერო უნდა იყოს მრუდზე, სადაც x, equals, 4, ასე რომ, მისი y-მნიშვნელობაა f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
ამის მსგავსად შეგვიძლია, ვიპოვოთ, რომ მეორე მართკუთხედს, რომელიც open bracket, 4, comma, 7, close bracket ინტერვალზე მდებარეობს, ზედა მარჯვენა წვერო აქვს f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab-ზე.
ჩვენს მესამე (და ბოლო) მართკუთხედს ზედა მარჯვენა ბოლო აქვს f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c-ზე.
ახლა მხოლოდ რიცხვების დამუშავება დაგვრჩა.
| პირველი მართკუთხედი | მეორე მართკუთხედი | მესამე მართკუთხედი | |
|---|---|---|---|
| სიგანე | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd |
| სიმაღლე | start color #e07d10, 8, end color #e07d10 | start color #7854ab, 3, end color #7854ab | start color #ca337c, 5, end color #ca337c |
| ფართობი | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15 |
ცალკეული ფართობების პოვნის შემდეგ მათ ვკრებთ, რომ მივიღოთ მიახლოებით მნიშვნელობა: 48 ერთეულიsquared.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ, ვიპოვოთ ფართობი x ღერძსა და f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript-ის გრაფიკს შორის ფართობი x, equals, minus, 3-დან x, equals, 3-მდე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით სამი ტოლი ქვეინტერვალით.
მთელი open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket ინტერვალი 6 ერთეული სიგანისაა, ასე რომ, სამი მართკუთხედიდან თითოეული უნდა იყოს 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd ერთეული სიგანის.
პირველი მართკუთხედი დგას open bracket, minus, 3, comma, minus, 1, close bracket-ზე, ასე რომ, მისი სიმაღლეა f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. ამის მსგავსად, მეორე მართკუთხედის სიმაღლეა f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab და მესამე სამკუთხედის - f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
| პირველი მართკუთხედი | მეორე მართკუთხედი | მესამე მართკუთხედი | |
|---|---|---|---|
| სიგანე | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd |
| სიმაღლე | start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10 | start color #7854ab, 2, end color #7854ab | start color #ca337c, 8, end color #ca337c |
| ფართობი | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16 |
ასე რომ, ჩვენი მიახლოებითი მნიშვნელობაა 21 ერთეულიsquared.
გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? სცადეთეს სავარჯჯიშო.
რიმანის ჯამი ზოგჯერ გადაჭარბებით აფასებს და ზოგჯერ ნაკლებობით
რიმანის ჯამები პოულობს მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებით მნიშველობას, ასე რომ, ისინი თითქმის ყოველთვის ოდნავ მეტი (გადაჭარბებით შეფასება) ან ოდნავ ნაკლები (ნაკლებობით შეფასება) იქნება ნამდვილ ფართობზე.
გინდათ, მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
შენიშვნა: რიმანის ჯამი ფართობს გადაჭარბებით შეაფასებს თუ ნაკლებობით, დამოკიდებულია იმაზე, ფუნქცია ზრდადია თუ კლებადი ამ ინტერვალზე და იმაზეც, რომელ რიმანის ჯამს ვიღებთ, მარცხენას თუ მარჯვენას.
დასამახსოვრებელი საკვანძო საკითხები
მრუდის ქვეშ ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა მართკუთხედებით
პირველი, რაც უნდა იფიქროთ „რიმანის ჯამის“ გაგონებისას, არის ის, რომ იყენებთ მართკუთხედებს მრუდის ქვეშ ფართობის მიახოებითი მნიშვნელობის საპოვნელად. გონებაში რაღაც ასეთი უნდა წარმოიდგინოთ:
უფრო ზუსტი მიახლოებითი ფართობის პოვნა მეტი ქვეინტერვალით
ზოგადად, მიახლოებითი ფართობის საპოვნელად, რაც უფრო მეტ ქვეინტერვალს (შესაბამისად, მართკუთხედს) ვიყენებთ, უფრო ზუსტია მიახლოებითი ფართობი.
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამების განსხვავება
სცადეთ, არ აგერიოთ ისინი. მარცხენა რიმანის ჯამი იყენებს მართკუთხედებს, რომლების ზედა მარცხენა წვეროები მრუდზეა. მარჯვენა რიმანი იყენებს მართკუთხედებს, რომლების ზედა მარჯვენა წვეროებია მრუდზე.
| მარცხენა რიმანის ჯამი | მარჯვენა რიმანის ჯამი |
|---|---|
გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
რიმანის ჯამების გამოყენებისას ზოგჯერ ვიღებთ გადაჭარბებით შეფასებას და ზოგჯერ - ნაკლებობით შეფასებს. კარგია, თუ შეგვეძლება იმაზე მსჯელობა, კონკრეტული რიმანის ჯამი ნამდვილ ფართობს გადაჭარბებით აფასებს თუ ნაკლებობით.
ზოგადად, თუ ფუნქცია ინტერვალზე ყოველთვის ზრდადი ან ყოველთვის კლებადია, იმის თქმა, რიმანის ჯამი ფართობს გადაჭარბებით შეაფასებს თუ ნაკლებობით, შეგვიძლია იმაზე დაყრდნობით, ეს მარცხენა რიმანის ჯამია თუ მარჯვენა.
| მიმართულება | მარცხენა რიმანის ჯამი | მარჯვენა რიმანის ჯამი |
|---|---|---|
| ზრდადი | ნაკლებობით შეფასება | გადაჭარბებით შეფასება |
| კლებადი | გადაჭარბებით შეფასება | ნაკლებობით შეფასება |
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.