If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში

დაჯამების ჩანაწერი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ იმისთვის, რომ რიმანის ჯამი უფრო კომპაქტურად ჩავწეროთ. ეს რთული, თუმცა მნიშვნელოვანი ნაბიჯია განსაზღვრული ინტეგრალის ფორმალური განმარტების მისაღებად.
დაჯამების ჩანაწერი (ან სიგმა ჩანაწერი) საშუალებას გვაძლევს, გრძელი ჯამი ერთ გამოსახულებაში ჩავწეროთ. დაჯამების ჩანაწერს მათემატიკაში (და განსაკუთრებით კალკულუსში) მრავალმხრივი გამოყენება აქვს, ჩვენ კი გვინდა, ვფოკუსირდეთ მის გამოყენებაზე რიმანის ჯამის ჩასაწერად.

დაჯამების ჩანაწერში რიმანის ჯამის დაწერის მაგალითი

წარმოიდგინეთ, რომ ვეძებთ მიახლოებით ფართობს f(x)=x-ის გრაფიკის ქვეშ x=0,5-სა და x=3,5-ს შორის.
და ჩვენ ამის გაკეთება გადავწყვიტეთ დაჯამების ჩანაწერის გამოყენებით მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოსახულების ჩაწერით ოთხი ტოლი ქვეინტერვალისთვის.
A(i)-ით აღვნიშნოთ მე-i მართკუთხედის ფართობი ჩვენს მიახლოებაში.
მთელი რიმანის ჯამი შემდეგნაირად შეიძლება, ჩაიწეროს:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=i=14A(i)
ახლა უნდა ვიპოვოთ A(i)-ს გამოსახულება.
[0,5,3,5] ინტერვალის სიგანე არის 3 ერთეული და გვინდა 4 ტოლი ქვეინტერვალი, ასე რომ, თითოეული მართკუთხედის სიგანე არის 3÷4=0,75 ერთეული.
თითოეული მართკუთხედის სიმაღლე არის f-ის მნიშვნელობა მართკუთხედის მარჯვენა ბოლოზე (რადგან ეს მარჯვენა რიმანის ჯამია).
xi-ით აღვნიშნოთ მე-i მართკუთხედის მარჯვენა ბოლო. xi რომ ვიპოვოთ i-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ვიწყებთ x=0,5-ზე (ინტერვალის მარცხენა ბოლო) და ვუმატებთ საერთო სიგანეს, 0,75.
შესაბამისად, xi-ის ფორმულა არის 0,5+0,75i. თითოეული მართკუთხედის სიმაღლე არის f-ის მნიშვნელობა მის მარჯვენა ბოლოზე:
f(xi)=xi=0,5+0,75i
ასე რომ, მივედით მე-i მართკუთხედის ფართობის ზოგად გამოსახულებასთან:
A(i)=სიგანესიმაღლე=0,750,5+0,75i
ახლა მხოლოდ ის დაგვრჩა, რომ შევაჯამოთ ეს გამოსახულებები i-ის მნიშვნელობებისთვის 1-დან 4-მდე:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=i=14A(i)=i=140,750,5+0,75i
მოვრჩით!

დაჯამების ჩანაწერში რიმანის ჯამის დაწერის პროცესის შეჯამება

წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა, ვიპოვოთ f-ის გრაფიკის ქვეშ მდებარე ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობა [a,b] ინტერვალზე, რომელიც n ტოლი ქვეინტერვალისგან შედგება.
განსაზღვრეთ Δx: Δx-ით აღვნიშნოთ თითოეული მართკუთხედის სიგანე, მაშინ Δx=ban.
განსაზღვრეთ xi: xi-ით აღვნიშნოთ თითოეული მართკუთხედის მარჯვენა ბოლო, მაშინ xi=a+Δxi.
განსაზღვრეთ მე-i მართკუთხედის ფართობი: მაშინ თითოეული მართკუთხედის სიმაღლე არის f(xi) და თითოეული მართკუთხედის ფართობი - Δxf(xi).
შეაჯამეთ მართკუთხედები: ახლა ყველა ფართობის შესაკრებად ვიყენებთ დაჯამების ჩანაწერს. მნიშვნელობები, რომლებსაც i-სთვის ვიყენებთ, განსხვავებულია მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამებისთვის:
  • მარჯვენა რიმანის ჯამის ჩაწერისას i-ს მნიშვნელობებს ვიღებთ 1-დან n-მდე.
  • მიუხედავად ამისა, როცა მარცხენა რიმანის ჯამს ვწერთ, i-ს მნიშვნელობებს ვიღებთ 0-დან n1-მდე (ეს მოგვცემს f-ის მნიშვნელობას თითოეული ინტერვალის მარცხენა ბოლოზე).
მარცხენა რიმანის ჯამიმარჯვენა რიმანის ჯამი
i=0n1Δxf(xi)i=1nΔxf(xi)
ამოცანა 1.A
ამოცანების ნაკრებ 1-ში ვისაუბრებთ f(x)=0,1x2+1-სა და x ღერძს შორის ფართობზე [2,7] ინტერვალისთვის მარცხენა რიმანის ჯამის გამოყენებით 10 ტოლი ქვეინტერვალისთვის.
რას უდრის თითოეული მართკუთხედის სიგრძე, Δx?
Δx=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

ამოცანა 2
გვინდა, ვიპოვოთ მიახლოებითი ფართობი g(x)=5x+2-სა და x ღერძს შორის [1,7] ინტერვალზე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით 9 ტოლი ქვეინტერვალისთვის:
რომელი გამოსახულება წარმოადგენს ჩვენს მიახლოებით პასუხს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.