If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 4: რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში
მათემატიკა
ინტეგრალური კალკულუსი
ინტეგრალები
რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში

Google–ის საკლასო ოთახი
დაჯამების ჩანაწერი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ იმისთვის, რომ რიმანის ჯამი უფრო კომპაქტურად ჩავწეროთ. ეს რთული, თუმცა მნიშვნელოვანი ნაბიჯია განსაზღვრული ინტეგრალის ფორმალური განმარტების მისაღებად.
დაჯამების ჩანაწერი (ან სიგმა ჩანაწერი) საშუალებას გვაძლევს, გრძელი ჯამი ერთ გამოსახულებაში ჩავწეროთ. დაჯამების ჩანაწერს მათემატიკაში (და განსაკუთრებით კალკულუსში) მრავალმხრივი გამოყენება აქვს, ჩვენ კი გვინდა, ვფოკუსირდეთ მის გამოყენებაზე რიმანის ჯამის ჩასაწერად.

დაჯამების ჩანაწერში რიმანის ჯამის დაწერის მაგალითი

წარმოიდგინეთ, რომ ვეძებთ მიახლოებით ფართობს f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root-ის გრაფიკის ქვეშ x, equals, 0, comma, 5-სა და x, equals, 3, comma, 5-ს შორის.
და ჩვენ ამის გაკეთება გადავწყვიტეთ დაჯამების ჩანაწერის გამოყენებით მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოსახულების ჩაწერით ოთხი ტოლი ქვეინტერვალისთვის.
A, left parenthesis, i, right parenthesis-ით აღვნიშნოთ მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript მართკუთხედის ფართობი ჩვენს მიახლოებაში.
მთელი რიმანის ჯამი შემდეგნაირად შეიძლება, ჩაიწეროს:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
ახლა უნდა ვიპოვოთ A, left parenthesis, i, right parenthesis-ს გამოსახულება.
open bracket, 0, comma, 5, comma, 3, comma, 5, close bracket ინტერვალის სიგანე არის 3 ერთეული და გვინდა 4 ტოლი ქვეინტერვალი, ასე რომ, თითოეული მართკუთხედის start color #1fab54, start text, ს, ი, გ, ა, ნ, ე, end text, end color #1fab54 არის 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 ერთეული.
თითოეული მართკუთხედის start color #e07d10, start text, ს, ი, მ, ა, ღ, ლ, ე, end text, end color #e07d10 არის f-ის მნიშვნელობა მართკუთხედის მარჯვენა ბოლოზე (რადგან ეს მარჯვენა რიმანის ჯამია).
start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ით აღვნიშნოთ მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript მართკუთხედის მარჯვენა ბოლო. x, start subscript, i, end subscript რომ ვიპოვოთ i-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ვიწყებთ x, equals, 0, comma, 5-ზე (ინტერვალის მარცხენა ბოლო) და ვუმატებთ საერთო სიგანეს, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54.
შესაბამისად, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ის ფორმულა არის start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. თითოეული მართკუთხედის start color #e07d10, start text, ს, ი, მ, ა, ღ, ლ, ე, end text, end color #e07d10 არის f-ის მნიშვნელობა მის მარჯვენა ბოლოზე:
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
ასე რომ, მივედით მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript მართკუთხედის ფართობის ზოგად გამოსახულებასთან:
A(i)=სიგანე⋅სიმაღლე=0,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{სიგანე}}\cdot\goldD{\text{სიმაღლე}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
ახლა მხოლოდ ის დაგვრჩა, რომ შევაჯამოთ ეს გამოსახულებები i-ის მნიშვნელობებისთვის 1-დან 4-მდე:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\cdot\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
მოვრჩით!

დაჯამების ჩანაწერში რიმანის ჯამის დაწერის პროცესის შეჯამება

წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა, ვიპოვოთ f-ის გრაფიკის ქვეშ მდებარე ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობა open bracket, a, comma, b, close bracket ინტერვალზე, რომელიც n ტოლი ქვეინტერვალისგან შედგება.
განსაზღვრეთ delta, x: start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54-ით აღვნიშნოთ თითოეული მართკუთხედის start color #1fab54, start text, ს, ი, გ, ა, ნ, ე, end text, end color #1fab54, მაშინ start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
განსაზღვრეთ x, start subscript, i, end subscript: start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ით აღვნიშნოთ თითოეული მართკუთხედის მარჯვენა ბოლო, მაშინ start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
განსაზღვრეთ მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript მართკუთხედის ფართობი: მაშინ თითოეული მართკუთხედის start color #e07d10, start text, ს, ი, მ, ა, ღ, ლ, ე, end text, end color #e07d10 არის start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 და თითოეული მართკუთხედის ფართობი - start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
შეაჯამეთ მართკუთხედები: ახლა ყველა ფართობის შესაკრებად ვიყენებთ დაჯამების ჩანაწერს. მნიშვნელობები, რომლებსაც i-სთვის ვიყენებთ, განსხვავებულია მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამებისთვის:
  • მარჯვენა რიმანის ჯამის ჩაწერისას i-ს მნიშვნელობებს ვიღებთ 1-დან n-მდე.
  • მიუხედავად ამისა, როცა მარცხენა რიმანის ჯამს ვწერთ, i-ს მნიშვნელობებს ვიღებთ 0-დან n, minus, 1-მდე (ეს მოგვცემს f-ის მნიშვნელობას თითოეული ინტერვალის მარცხენა ბოლოზე).
მარცხენა რიმანის ჯამიმარჯვენა რიმანის ჯამი
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
ამოცანა 1.A
  • მიმდინარე
ამოცანების ნაკრებ 1-ში ვისაუბრებთ f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1-სა და x ღერძს შორის ფართობზე open bracket, 2, comma, 7, close bracket ინტერვალისთვის მარცხენა რიმანის ჯამის გამოყენებით 10 ტოლი ქვეინტერვალისთვის.
რას უდრის თითოეული მართკუთხედის სიგრძე, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ამოცანა 2
გვინდა, ვიპოვოთ მიახლოებითი ფართობი g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2-სა და x ღერძს შორის open bracket, 1, comma, 7, close bracket ინტერვალზე მარჯვენა რიმანის ჯამის გამოყენებით 9 ტოლი ქვეინტერვალისთვის:
რომელი გამოსახულება წარმოადგენს ჩვენს მიახლოებით პასუხს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.