არასაკუთრივი ინტეგრალების მიმოხილვა

არასაკუთრივი ინტეგრალები ისეთი განსაზღვრული ინტეგრალებია, რომლებიც შემოუსაზღვრელ არეს ფარავს.

ერთი ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის მინიმუმ ერთი ბოლო უსასრულობამდე გრძელდება. მაგალითად, $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x ზღვარი.

მეორე ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის ბოლოები განსაზღვრულია, მაგრამ გაინტეგრალებული ფუნქცია შემოუსაზრვრელია ერთ (ან) ორ ბოლოზე. მაგალითად, $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც $\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x ზღვარი.

შემოუსაზღვრელი არე, რომელიც არ არის განუსაზღვრელი?! ეს შესაძლებელია?! ნამდვილად! ყველა არასაკუთრივ ინტეგრალს არ აქვს სასრული მნიშვნელობა, თუმცა ზოგ მათგანს ნამდვილად აქვს. როცა ზღვარი არსებობს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ინტეგრალი კრებადია, და როცა არ არსებობს, ვამბობთ, რომ განშლადია.

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:

ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი:

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის $\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად ისევ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:

ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი: