If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

არასაკუთრივი ინტეგრალების მიმოხილვა

მიმოიხილეთ თქვენი ცოდნა არასაკუთრივ ინტეგრალებზე.

რა არის არასაკუთრივი ინტეგრალი?

არასაკუთრივი ინტეგრალები ისეთი განსაზღვრული ინტეგრალებია, რომლებიც შემოუსაზღვრელ არეს ფარავს.
ერთი ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის მინიმუმ ერთი ბოლო უსასრულობამდე გრძელდება. მაგალითად, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x ზღვარი.
მეორე ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის ბოლოები განსაზღვრულია, მაგრამ გაინტეგრალებული ფუნქცია შემოუსაზრვრელია ერთ (ან) ორ ბოლოზე. მაგალითად, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x ზღვარი.
შემოუსაზღვრელი არე, რომელიც არ არის განუსაზღვრელი?! ეს შესაძლებელია?! ნამდვილად! ყველა არასაკუთრივ ინტეგრალს არ აქვს სასრული მნიშვნელობა, თუმცა ზოგ მათგანს ნამდვილად აქვს. როცა ზღვარი არსებობს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ინტეგრალი კრებადია, და როცა არ არსებობს, ვამბობთ, რომ განშლადია.
გინდათ, მეტი ისწავლოთ არასაკუთრივი ინტეგრალების შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

სავარჯიშოების ნაკრები 1: შემოუსაზღვრელი ბოლოების მქონე არასაკუთრივი ინტეგრალების ამოხსნა

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b\begin{aligned} \displaystyle\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int_1^b x^{-2}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{-1}}{-1}\right]_1^b \\\\ &=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\\\ &=-\dfrac{1}{b}-\left(-\dfrac{1}{1}\right) \\\\ &=1-\dfrac{1}{b} \end{aligned}
ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1\begin{aligned} \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{b}\right) \\\\ &=1-0 \\\\ &=1 \end{aligned}
ამოცანა 1,1
  • მიმდინარე
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

სავარჯიშოების ნაკრები 2: შემოუსაზღვრელი ფუნქციების არასაკუთრივი ინტეგრალების ამოხსნა

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად ისევ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a\begin{aligned} \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\int_a^1 x^{^{\large -\frac{1}{2}}}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}\right]_a^1 \\\\ &=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1 \\\\ &=2\sqrt 1-2\sqrt a \\\\ &=2-2\sqrt a \end{aligned}
ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი:
lima0a11xdx=lima0(22a)=220=2\begin{aligned} \displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\lim_{a\to 0}(2-2\sqrt a) \\\\ &=2-2\cdot 0 \\\\ &=2 \end{aligned}
ამოცანა 2,1
  • მიმდინარე
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, start fraction, 1, divided by, cube root of, x, end cube root, end fraction, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.