არასაკუთრივი ინტეგრალების მიმოხილვა

არასაკუთრივი ინტეგრალები ისეთი განსაზღვრული ინტეგრალებია, რომლებიც შემოუსაზღვრელ არეს ფარავს.

ერთი ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის მინიმუმ ერთი ბოლო უსასრულობამდე გრძელდება. მაგალითად, ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ ზღვარი.

მეორე ტიპის არასაკუთრივი ინტეგრალი ისეთი ინტეგრალია, რომლის ბოლოები განსაზღვრულია, მაგრამ გაინტეგრალებული ფუნქცია შემოუსაზრვრელია ერთ (ან) ორ ბოლოზე. მაგალითად, ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ არასაკუთრივი ინტეგრალია. იგი შეგვიძლია, განვიხილოთ, როგორც ${\displaystyle \underset{a\to 0^{+}}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ ზღვარი.

შემოუსაზღვრელი არე, რომელიც არ არის განუსაზღვრელი?! ეს შესაძლებელია?! ნამდვილად! ყველა არასაკუთრივ ინტეგრალს არ აქვს სასრული მნიშვნელობა, თუმცა ზოგ მათგანს ნამდვილად აქვს. როცა ზღვარი არსებობს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ინტეგრალი კრებადია, და როცა არ არსებობს, ვამბობთ, რომ განშლადია.

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍ ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:

ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი:

მოდით, მაგალითისთვის, გამოვთვალოთ ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ არასაკუთრივი ინტეგრალი. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ინტეგრალის ${\displaystyle \underset{a\to 0}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍ ზღვარის სახით განხილვა გვეხმარება. ინტეგრალის გამოსახულების საპოვნელად ისევ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კალკულუსის ძირითადი თეორემა:

ახლა მოვიშორეთ ინტეგრალი და საპოვნელი გვაქვს ზღვარი: