If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: განსაზღვრული ინტეგრალები რიმანის ჯამით
მათემატიკა
ინტეგრალური კალკულუსი
ინტეგრალები
განსაზღვრული ინტეგრალები რიმანის ჯამით
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც რიმანის ჯამის ზღვარი

Google–ის საკლასო ოთახი
რიმანის ჯამები გვეხმარება განსაზღვრული ინტეგრალების მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნაში, მაგრამ ისინი ასევე გვეხმარება განსაზღვრული ინტეგრალის ფორმალურ განსაზღვრებაში. ისწავლეთ, როგორ მიიღწევა ეს და როგორ შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ ფართობი განსაზღვრულ ინტეგრალად და როგორ წარმოვადგინოთ რიმანის ჯამად.
განსაზღვრული ინტეგრალები წარმოადგენენ ფართობს ფუნქციის მრუდის ქვეშ, რიმანის ჯამები კი გვეხმარება ასეთი ფართობების მიახლოებით გამოთვლაში. ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა გზა განსაზღვრული ინტეგრალის ზუსტი მნიშვნელობის გამოსათვლელად?

რიმანის ჯამები „უსასრულო“ რაოდენობის მართკუთხედით

წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა ფართობის პოვნა f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared-ის გრაფიკის ქვეშ x, equals, 2-დან x, equals, 6-მდე.
განსაზღვრული ინტეგრალის ნოტაციის გამოყენებით შეგვიძლია, ზუსტი ფართობი წარმოვადგინოთ:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
ამ ფართობის მიახლოებით გამოთვლა შეგვიძლია რიმანის ჯამების გამოყენებით. ვთქვათ, R, left parenthesis, n, right parenthesis არის ჩვენი ფართობის რიმანის მარჯვენა ჯამით მიახლოება n ტოლი დანაყოფის გამოყენებით (ანუ, ტოლი სიგანის n ცალი მართკუთხედი).
მაგალითად, ეს არის R, left parenthesis, 4, right parenthesis. როგორც ხედავთ, ეს არის ნამდვილი ფართობის გადაჭარბებით შეფასება.
f-ის მრუდის ქვეშ ფართობი x, equals, 2-დან x, equals, 6-მდე მიახლოებით გამოთვლილია ტოლი სიგანის 4 მართკუთხედით.
შეგვიძლია, ჩვენი მიახლოება გავაუმჯობესოთ ჩვენი ფართობის მეტ მართკუთხედად დაყოფით, რომლებსაც უფრო მცირე სიგანე აქვთ, ანუ, R, left parenthesis, n, right parenthesis-ის გამოყენებით n-ის უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის.
როგორც ხედავთ, მიახლოებითი შეფასება უფრო და უფრო უახლოვდება ნამდვილ ფართობს, როცა მართკუთხედების რაოდენობა 1-დან 100-მდე იზრდება:
შექმნილია Geogebra-ს გამოყენებით.
რა თქმა უნდა, კიდევ უფრო მეტი მართკუთხედის გამოყენება კიდევ უფრო მეტად მიგვაახლოვებს, მაგრამ მიახლოება ყოველთვის არის მხოლოდ მიახლოება.
რა მოხდება, თუ ავიღებთ რიმანის ჯამს უსასრულოდ ბევრი ტოლი დანაყოფით? საერთოდ, არის კი ეს შესაძლებელი? ჩვენ ვერ დავაყენებთ n, equals, infinity-ს, რადგან უსასრულობა არ არის რიცხვი, მაგრამ გავიხსენოთ, რომ გვაქვს გზა, რომლის გამოყენებითაც რაღაცას გავუშვებთ უსასრულობაში...
ზღვრები!
კერძოდ, ეს ზღვარი:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
საოცარი ფაქტი #1: ეს ზღვარი ნამდვილად გვაძლევს integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x-ის ზუსტ მნიშვნელობას.
საოცარი ფაქტი #2: მნიშვნელობა არ აქვს, რიმანის მარცხენა ჯამს ავიღებთ, რიმანის მარჯვენა ჯამს ავიღებთ, თუ ნებისმიერ სხვა გავრცელებულ მიახლოებას. უსასრულობაში ყოველთვის მივიღებთ განსაზღვრული ინტეგრალის ზუსტ მნიშვნელობას.
(ამ ფაქტების მკაცრი დამტკიცება ამ სტატიისთვის ზედმეტად რთულია, მაგრამ ეს არ არის პრობლემა, რადგან ჩვენ გვინდა, ინტუიციურად გავიგოთ განსაზღვრულ ინტეგრალებსა და რიმანის ჯამებს შორის კავშირი.)
n ქვედანაყოფით რიმანის მარჯვენა ჯამით მიახლოების აღნიშვნისთვი აქამდე ვიყენებდით R, left parenthesis, n, right parenthesis-ს. ახლა ვიპოვოთ რეალური გამოსახულება.
სწრაფი მიმოხილვა: ჩვენ ვეძებთ start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54-ს, ნებისმიერი მართკუთხედის მუდმივ start color #1fab54, start text, ს, ი, გ, ა, ნ, ე, ს, end text, end color #1fab54 და start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ს, მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript-ე მართკუთხედის მარჯვენა ბოლოს x-მნიშვნელობას. start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 მოგვცემს თითოეული მართკუთხედის start color #e07d10, start text, ს, ი, მ, ა, ღ, ლ, ე, ს, end text, end color #e07d10.
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
ასე რომ, მე-i, start superscript, start text, end text, end superscript მართკუთხედის ფართობი არის start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10 და მას ვჯამავთ i-ს მნიშვნელობებისთვის 1-დან n-მდე:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
ახლა ნამდვილი ფართობი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ზღვრის სახით:
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

განსაზღვრების თანახმად განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიმანის ჯამის ზღვარი

ზემოთ მოცემული მაგალითი არის განსაზღვრული ინტეგრალების ზოგადი განსაზღვრების კერძო შემთხვევა:
უწყვეტი f ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი open bracket, a, comma, b, close bracket ინტერვალზე, აღნიშვნით integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, არის რიმანის ჯამის ზღვარი, როცა ქვედანაყოფების რაოდენობა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ. ანუ,
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
სადაც start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction და start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

თუ გვთხოვენ, რომ დავწეროთ რიმანის ჯამი განსაზღვრული ინტეგრალიდან...

ვთქვათ, გვთხოვეს, რომ შემდეგი განსაზღვრული ინტეგრალი ჩავწეროთ რიმანის ჯამის ზღვრის სახით.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
ჯერ ვიპოვოთ start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
ახლა, როცა გვაქვს start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, შეგვიძლია, ვიპოვოთ start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
მაშასადამე,
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

ივარჯიშეთ განსაზღვრული ინტეგრალებიდან რიმანის ჯამების ჩაწერით

ამოცანა 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: delta, x-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

მაგალითად, ამოცანა 2-ში შეიძლება, მოსწავლემ delta, x განსაზღვროს start fraction, e, divided by, n, end fraction-ად ან start fraction, 1, divided by, n, end fraction-ად start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction-ის ნაცვლად. სხვა მაგალითი არის d, x-ის გამოყენება delta, x-ის ნაცვლად. გახსოვდეთ, რომ d, x გამოიყენება მხოლოდ ინტეგრალის ნოტაციაში და არა - დაჯამების ნოტაციაში. ეს გვეუბნება, რომ ინტეგრება ხდება x-ის მიმართ.

სხვა გავრცელებული შეცდომა: x, start subscript, i, end subscript-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

მოსწავლეს შეიძლება, დაავიწყდეს a-ს დამატება delta, x, dot, i-ისთვის, შედეგად მიიღება არასწორი გამოსახულება. მაგალითად, ამოცანა 2-ში, მოსწავლემ შეიძლება, x, start subscript, i, end subscript განსაზღვროს start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i-ად 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i-ის ნაცვლად.

თუ გვთხოვენ, რომ ჩავწეროთ განსაზღვრული ინტეგრალი რიმანის ჯამის ზღვრიდან...

ვთქვათ, გვთხოვენ, ვიპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც არის ამ ზღვრის ტოლფასი:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
ეს ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ინტეგრების ინტერვალი open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket და ინტეგრალქვეშა ფუნქცია start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. მაშინ შესაბამისი განსაზღვრული ინტეგრალი იქნება integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
ვიცით, რომ რიმანის ყველა ჯამს გააჩნია ორი ნაწილი: სიგანე start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 და სიმაღლე start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 თითოეული მართკუთხედისთვის ჯამში. კონრეტულ ზღვარზე შეხედვისას შეგვიძლია, ორივე ნაწილისათვის გონივრული ვარიანტები ავარჩიოთ.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
თანაბარი სიგანის მართკუთხედები: გამოსახულება start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 არის გონივრული არჩევანი ჩვენი მართკუთხედების სიგანისათვის, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, რადგან ის არ არის დამოკიდებული i-ზე. ეს ნიშნავს, რომ start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 იქნება ერთი და იგივე თითოეული წევრისათვის ჯამში, სწორედ ამას ველით რიმანის ჯამისგან, რომელშიც ყოველ მართკუთხედს აქვს თანაბარი სიგანე.
სხვადასხვა სიმაღლის მქონე მართკუთხედები: გამოსახულება start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 დამოკიდებულია i-ზე, რაც მას აქცევს კარგ ვარიანტად სიმაღლის წარმოსადგენად, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ის ყველაზე ბუნებრივი ვარიანტი არის start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, ასე რომ, გამოვიყენოთ ეს. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია, რომელსაც ვაინტეგრირებთ არის start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
ინტეგრაციის a და b საზღვრების გასარკვევად ვიფიქროთ start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54-ისა და start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd-ის ზოგად განსაზღვრებებზე განსაზღვრულ ინტეგრალთან კავშირში.
როგორც ზემოთაა განსაზღვრული, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. ამ კონკრეტულ ამოცანაში start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, რომელიც შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს: start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, ასე რომ, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff უნდა უდრიდეს start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff-ს.
როგორც ზემოთაა განსაზღვრული, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. ამ კონკრეტულ ამოცანაში start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. ორივე მნიშვნელი არის n, ასე რომ, მრიცხველები უნდა იყოს: b, minus, a, equals, 5. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
ყველაფერს რომ ერთად მოვუყაროთ თავი, აი, განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც არის მოცემული რიმანის ჯამის ტოლფასი:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

ივარჯიშეთ რიმანის ჯამებიდან განსაზღვრული ინტეგრალების ჩაწერაში

ამოცანა 3.A
  • მიმდინარე
ამოცანები 3-ში გაივლით განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნას, რომელიც წარმოადგენილია ამ გამოსახულებით:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
რა არის delta, x ამ გამოსახულებაში?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე რიმანის ჯამის გამოსახულებაში delta, x-ის პოვნისას

როდესაც დაჯამებული გამოსახულება არის რთული და შეიცავს ბევრ წილადს, შეიძლება, რთული იყოს იმის გაგება, თუ მისი რომელი ნაწილი არის delta, x.
გახსოვდეთ, რომ delta, x უნდა იყოს დაჯამებული გამოსახულების მამრავლი, ფორმით start fraction, k, divided by, n, end fraction, სადაც k არ შეიცავს დაჯამების ინდექს i-ს.

კიდევ ერთი გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე ინტეგრაციის ზღვრების პოვნისას

აღვნიშნოთ, რომ ამოცანა 3-ში იმ ფაქტმა, რომ delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction გვითხრა, რომ b, minus, a, equals, 4. ეს გამოსადეგია, მაგრამ a-ს პოვნის გარეშე არ გვეცოდინება, რა არის a და b. a-ს პოვნა შევძელით შემდეგი ფაქტის გამოყენებით: x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
გავრცელებული შეცდომაა მიჩნევა იმისა, რომ, თუ, მაგალითად, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, მაშინ ინტეგრაციის საზღვრები არის open bracket, 0, comma, 4, close bracket.

ბოლო გავრცელებული პრობლემა: ზოგადი სიძნელე გამოსახულების გაანალიზებისას

ზოგიერთმა მოსწავლემ უბრალოდ არ იცის, საიდან დაიწყოს.
დაიწყეთ დაჯამებული გამოსახულებით. უნდა შეძლოთ ორი ფაქტორის იდენტიფიკაცია: ერთი არის ფორმის start fraction, k, divided by, n, end fraction (სადაც k არ შეიცავს დაჯამების ინდექს i-ს) და მეორე, რომელიც არის i-ს ფუნქცია. პირველი მოგცემთ start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54-ს და მეორე მოგცემთ start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd-ს.
ამოცანა 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.