ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: განსაზღვრული ინტეგრალები რიმანის ჯამით

განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც რიმანის ჯამის ზღვარი

რიმანის ჯამები გვეხმარება განსაზღვრული ინტეგრალების მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნაში, მაგრამ ისინი ასევე გვეხმარება განსაზღვრული ინტეგრალის ფორმალურ განსაზღვრებაში. ისწავლეთ, როგორ მიიღწევა ეს და როგორ შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ ფართობი განსაზღვრულ ინტეგრალად და როგორ წარმოვადგინოთ რიმანის ჯამად.

განსაზღვრული ინტეგრალები წარმოადგენენ ფართობს ფუნქციის მრუდის ქვეშ, რიმანის ჯამები კი გვეხმარება ასეთი ფართობების მიახლოებით გამოთვლაში. ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა გზა განსაზღვრული ინტეგრალის ზუსტი მნიშვნელობის გამოსათვლელად?

რიმანის ჯამები „უსასრულო“ რაოდენობის მართკუთხედით

წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა ფართობის პოვნა

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

-ის გრაფიკის ქვეშ

x = 2

-დან

x = 6

-მდე.

განსაზღვრული ინტეგრალის ნოტაციის გამოყენებით შეგვიძლია, ზუსტი ფართობი წარმოვადგინოთ:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

ამ ფართობის მიახლოებით გამოთვლა შეგვიძლია რიმანის ჯამების გამოყენებით. ვთქვათ,

R (n)

არის ჩვენი ფართობის რიმანის მარჯვენა ჯამით მიახლოება

n

ტოლი დანაყოფის გამოყენებით (ანუ, ტოლი სიგანის

n

ცალი მართკუთხედი).

მაგალითად, ეს არის

R (4)

. როგორც ხედავთ, ეს არის ნამდვილი ფართობის გადაჭარბებით შეფასება.

შეგვიძლია, ჩვენი მიახლოება გავაუმჯობესოთ ჩვენი ფართობის მეტ მართკუთხედად დაყოფით, რომლებსაც უფრო მცირე სიგანე აქვთ, ანუ,

R (n)

-ის გამოყენებით

n

-ის უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის.

როგორც ხედავთ, მიახლოებითი შეფასება უფრო და უფრო უახლოვდება ნამდვილ ფართობს, როცა მართკუთხედების რაოდენობა

1

-დან

100

-მდე იზრდება:

რა თქმა უნდა, კიდევ უფრო მეტი მართკუთხედის გამოყენება კიდევ უფრო მეტად მიგვაახლოვებს, მაგრამ მიახლოება ყოველთვის არის მხოლოდ მიახლოება.

რა მოხდება, თუ ავიღებთ რიმანის ჯამს უსასრულოდ ბევრი ტოლი დანაყოფით? საერთოდ, არის კი ეს შესაძლებელი? ჩვენ ვერ დავაყენებთ

n = \infty

-ს, რადგან უსასრულობა არ არის რიცხვი, მაგრამ გავიხსენოთ, რომ გვაქვს გზა, რომლის გამოყენებითაც რაღაცას გავუშვებთ უსასრულობაში...

ზღვრები!

კერძოდ, ეს ზღვარი:

lim_{n \to \infty} R (n)

საოცარი ფაქტი #1: ეს ზღვარი ნამდვილად გვაძლევს

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

-ის ზუსტ მნიშვნელობას.

საოცარი ფაქტი #2: მნიშვნელობა არ აქვს, რიმანის მარცხენა ჯამს ავიღებთ, რიმანის მარჯვენა ჯამს ავიღებთ, თუ ნებისმიერ სხვა გავრცელებულ მიახლოებას. უსასრულობაში ყოველთვის მივიღებთ განსაზღვრული ინტეგრალის ზუსტ მნიშვნელობას.

(ამ ფაქტების მკაცრი დამტკიცება ამ სტატიისთვის ზედმეტად რთულია, მაგრამ ეს არ არის პრობლემა, რადგან ჩვენ გვინდა, ინტუიციურად გავიგოთ განსაზღვრულ ინტეგრალებსა და რიმანის ჯამებს შორის კავშირი.)

n

ქვედანაყოფით რიმანის მარჯვენა ჯამით მიახლოების აღნიშვნისთვი აქამდე ვიყენებდით

R (n)

-ს. ახლა ვიპოვოთ რეალური გამოსახულება.

სწრაფი მიმოხილვა: ჩვენ ვეძებთ

Δ x

-ს, ნებისმიერი მართკუთხედის მუდმივ

სიგანეს

და

x_{i}

-ს, მე-

i^{}

-ე მართკუთხედის მარჯვენა ბოლოს

x

-მნიშვნელობას.

f (x_{i})

მოგვცემს თითოეული მართკუთხედის

სიმაღლეს

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

ასე რომ, მე-

i^{}

მართკუთხედის ფართობი არის

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

და მას ვჯამავთ

i

-ს მნიშვნელობებისთვის

1

-დან

n

-მდე:

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

ახლა ნამდვილი ფართობი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ზღვრის სახით:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

განსაზღვრების თანახმად განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიმანის ჯამის ზღვარი

ზემოთ მოცემული მაგალითი არის განსაზღვრული ინტეგრალების ზოგადი განსაზღვრების კერძო შემთხვევა:

უწყვეტი

f

ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი

[a, b]

ინტერვალზე, აღნიშვნით

\int_{a}^{b} f (x) d x

, არის რიმანის ჯამის ზღვარი, როცა ქვედანაყოფების რაოდენობა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ. ანუ,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

სადაც

Δ x = \frac{b - a}{n}

და

x_{i} = a + Δ x \cdot i

თუ გვთხოვენ, რომ დავწეროთ რიმანის ჯამი განსაზღვრული ინტეგრალიდან...

ვთქვათ, გვთხოვეს, რომ შემდეგი განსაზღვრული ინტეგრალი ჩავწეროთ რიმანის ჯამის ზღვრის სახით.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

ჯერ ვიპოვოთ

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

ახლა, როცა გვაქვს

Δ x

, შეგვიძლია, ვიპოვოთ

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

მაშასადამე,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

ივარჯიშეთ განსაზღვრული ინტეგრალებიდან რიმანის ჯამების ჩაწერით

ამოცანა 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

ამოცანა 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

გავრცელებული შეცდომა: $Δ x$ ‍-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

მაგალითად, ამოცანა 2-ში შეიძლება, მოსწავლემ

Δ x

განსაზღვროს

\frac{e}{n}

-ად ან

\frac{1}{n}

-ად

\frac{e - 1}{n}

-ის ნაცვლად. სხვა მაგალითი არის

d x

-ის გამოყენება

Δ x

-ის ნაცვლად. გახსოვდეთ, რომ

d x

გამოიყენება მხოლოდ ინტეგრალის ნოტაციაში და არა - დაჯამების ნოტაციაში. ეს გვეუბნება, რომ ინტეგრება ხდება

x

-ის მიმართ.

სხვა გავრცელებული შეცდომა: $x_{i}$ ‍-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

მოსწავლეს შეიძლება, დაავიწყდეს

a

-ს დამატება

Δ x \cdot i

-ისთვის, შედეგად მიიღება არასწორი გამოსახულება. მაგალითად, ამოცანა 2-ში, მოსწავლემ შეიძლება,

x_{i}

განსაზღვროს

\frac{e - 1}{n} \cdot i

-ად

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

-ის ნაცვლად.

თუ გვთხოვენ, რომ ჩავწეროთ განსაზღვრული ინტეგრალი რიმანის ჯამის ზღვრიდან...

ვთქვათ, გვთხოვენ, ვიპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც არის ამ ზღვრის ტოლფასი:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

ეს ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ინტეგრების ინტერვალი

[a, b]

და ინტეგრალქვეშა ფუნქცია

f (x)

. მაშინ შესაბამისი განსაზღვრული ინტეგრალი იქნება

\int_{a}^{b} f (x) d x

ვიცით, რომ რიმანის ყველა ჯამს გააჩნია ორი ნაწილი: სიგანე

Δ x

და სიმაღლე

f (x_{i})

თითოეული მართკუთხედისთვის ჯამში. კონრეტულ ზღვარზე შეხედვისას შეგვიძლია, ორივე ნაწილისათვის გონივრული ვარიანტები ავარჩიოთ.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

თანაბარი სიგანის მართკუთხედები: გამოსახულება

\frac{5}{n}

არის გონივრული არჩევანი ჩვენი მართკუთხედების სიგანისათვის,

Δ x

, რადგან ის არ არის დამოკიდებული

i

-ზე. ეს ნიშნავს, რომ

Δ x

იქნება ერთი და იგივე თითოეული წევრისათვის ჯამში, სწორედ ამას ველით რიმანის ჯამისგან, რომელშიც ყოველ მართკუთხედს აქვს თანაბარი სიგანე.

სხვადასხვა სიმაღლის მქონე მართკუთხედები: გამოსახულება

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

დამოკიდებულია

i

-ზე, რაც მას აქცევს კარგ ვარიანტად სიმაღლის წარმოსადგენად,

f (x_{i})

x_{i}

-ის ყველაზე ბუნებრივი ვარიანტი არის

2 + \frac{5 i}{n}

, ასე რომ, გამოვიყენოთ ეს. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია, რომელსაც ვაინტეგრირებთ არის

f (x) = \ln (x)

ინტეგრაციის

a

და

b

საზღვრების გასარკვევად ვიფიქროთ

Δ x

-ისა და

x_{i}

-ის ზოგად განსაზღვრებებზე განსაზღვრულ ინტეგრალთან კავშირში.

როგორც ზემოთაა განსაზღვრული,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. ამ კონკრეტულ ამოცანაში

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

, რომელიც შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

2 + \frac{5}{n} i

, ასე რომ,

a

უნდა უდრიდეს

2

-ს.

როგორც ზემოთაა განსაზღვრული,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. ამ კონკრეტულ ამოცანაში

Δ x = \frac{5}{n}

. ორივე მნიშვნელი არის

n

, ასე რომ, მრიცხველები უნდა იყოს:

b - a = 5

. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ

a = 2

, ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ

b = 7

ყველაფერს რომ ერთად მოვუყაროთ თავი, აი, განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც არის მოცემული რიმანის ჯამის ტოლფასი:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

ივარჯიშეთ რიმანის ჯამებიდან განსაზღვრული ინტეგრალების ჩაწერაში

ამოცანა 3.A

ამოცანები 3-ში გაივლით განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნას, რომელიც წარმოადგენილია ამ გამოსახულებით:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

რა არის $Δ x$ ‍ ამ გამოსახულებაში?

გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე რიმანის ჯამის გამოსახულებაში $Δ x$ ‍-ის პოვნისას

როდესაც დაჯამებული გამოსახულება არის რთული და შეიცავს ბევრ წილადს, შეიძლება, რთული იყოს იმის გაგება, თუ მისი რომელი ნაწილი არის

Δ x

გახსოვდეთ, რომ $Δ x$ ‍ უნდა იყოს დაჯამებული გამოსახულების მამრავლი, ფორმით $\frac{k}{n}$ ‍, სადაც $k$ ‍ არ შეიცავს დაჯამების ინდექს $i$ ‍-ს.

კიდევ ერთი გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე ინტეგრაციის ზღვრების პოვნისას

აღვნიშნოთ, რომ ამოცანა 3-ში იმ ფაქტმა, რომ

Δ x = \frac{4}{n}

გვითხრა, რომ

b - a = 4

. ეს გამოსადეგია, მაგრამ

a

-ს პოვნის გარეშე არ გვეცოდინება, რა არის

a

და

b

a

-ს პოვნა შევძელით შემდეგი ფაქტის გამოყენებით:

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

გავრცელებული შეცდომაა მიჩნევა იმისა, რომ, თუ, მაგალითად, $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, მაშინ ინტეგრაციის საზღვრები არის $[0, 4]$ ‍.

ბოლო გავრცელებული პრობლემა: ზოგადი სიძნელე გამოსახულების გაანალიზებისას

ზოგიერთმა მოსწავლემ უბრალოდ არ იცის, საიდან დაიწყოს.

დაიწყეთ დაჯამებული გამოსახულებით. უნდა შეძლოთ ორი ფაქტორის იდენტიფიკაცია: ერთი არის ფორმის $\frac{k}{n}$ ‍ (სადაც $k$ ‍ არ შეიცავს დაჯამების ინდექს $i$ ‍-ს) და მეორე, რომელიც არის $i$ ‍-ს ფუნქცია. პირველი მოგცემთ $Δ x$ ‍-ს და მეორე მოგცემთ $f (x_{i})$ ‍-ს.

ამოცანა 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

გსურთ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

რიმანის ჯამები „უსასრულო“ რაოდენობის მართკუთხედით

განსაზღვრების თანახმად განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიმანის ჯამის ზღვარი

თუ გვთხოვენ, რომ დავწეროთ რიმანის ჯამი განსაზღვრული ინტეგრალიდან...

ივარჯიშეთ განსაზღვრული ინტეგრალებიდან რიმანის ჯამების ჩაწერით

გავრცელებული შეცდომა: Δx‍ -ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

სხვა გავრცელებული შეცდომა: xi‍ -ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

თუ გვთხოვენ, რომ ჩავწეროთ განსაზღვრული ინტეგრალი რიმანის ჯამის ზღვრიდან...

ივარჯიშეთ რიმანის ჯამებიდან განსაზღვრული ინტეგრალების ჩაწერაში

გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე რიმანის ჯამის გამოსახულებაში Δx‍ -ის პოვნისას

კიდევ ერთი გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე ინტეგრაციის ზღვრების პოვნისას

ბოლო გავრცელებული პრობლემა: ზოგადი სიძნელე გამოსახულების გაანალიზებისას

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

გავრცელებული შეცდომა: $Δ x$ ‍-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

სხვა გავრცელებული შეცდომა: $x_{i}$ ‍-ისთვის არასწორი გამოსახულების მიღება

გავრცელებული პრობლემა: სიძნელე რიმანის ჯამის გამოსახულებაში $Δ x$ ‍-ის პოვნისას