ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 2: წრფივი მოძრაობა

ამოცანები მოძრაობაზე (განსაზღვრული ინტეგრალებით)

განსაზღვრული ინტეგრალები ხშირად გამოიყენება მოძრაობაზე ამოცანების ამოსახსნელად, მაგალითად, როცა სიჩქარის შესახებ მოცემული ინფორმაციით ვმსჯელობთ მოძრავი ობიექტის მდებარეობაზე. ისწავლეთ, როგორ კეთდება ეს და რა მნიშვნელოვანი განსხვავებაა სიჩქარესა და სიჩქარის მნიშვნელობას შორის.

კალკულუსში ძალიან გავრცელებულია ამოცანები მოძრაობის შესახებ. დიფერენციალურ კალკულუსში მოცემული გვქონდა სხეულის ადგილმდებარეობის ფუნქცია და ვმსჯელობდით მისი სიჩქარის შესახებ. ინტეგრალურ კალკულუსში კი წავალთ საპირისპირო მიმართულებით: მოცემული გვექნება სხეულის სიჩქარე და ჩვენ ვიმსჯელებთ მისი ადგილმდებარეობის ან ადგილმდებარეობის ცვლილების შესახებ.

ვიფიქროთ სიჩქარის, სიჩქარის მნიშვნელობისა და განსაზღვრული ინტეგრალების შესახებ

ვთქვათ, ნაწილაკი მოძრაობს სწორ ხაზზე სიჩქარით

v (t) = 5 - t

მეტრი წამში, სადაც

t

არის დრო წამებში.

როცა სიჩქარე დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ნაწილაკი მოძრაობს წინ ხაზის გასწვრივ, ხოლო როცა სიჩქარე უარყოფითია, ნაწილაკი მოძრაობს უკან.

ვთქვათ, ჩვენ გვეკითხებიან ნაწილაკის გადაადგილებას (ე.ი. მისი ადგილმდებარეობის ცვლილებას)

t = 0

და

t = 10

წამ მომენტებს შორის. რადგან სიჩქარე არის ნაწილაკის მდებარეობის ცვლილების ტემპი, ნებისმიერი ცვლილება მის მდებარეობაში მოიცემა განსაზღვრული ინტეგრალით.

კონკრეტულად, ჩვენ ვეძებთ

\int_{0}^{10} v (t) d t

ინტეგრალს.

საინტერესოა, რომ გადაადგილება არის

\int_{0}^{10} v (t) d t = 0

მეტრი. (თქვენ შეგიძლიათ, გრაფიკზე ნახოთ, რომ ორი რეგიონის ფართობი სიდიდით ტოლია, თუმცა ნიშნით საპირისპირო).

გადაადგილება

0

-ია ნიშნავს, რომ ნაწილაკი

t = 0

და

t = 10

წამ მომენტებში ერთსა და იმავე წერტილში იმყოფებოდა. ეს გასაგები ხდება, როცა დააკვირდებით, თუ როგორ მოძრაობს ნაწილაკი ჯერ წინ, შემდეგ კი უკან და მიდის საწყის წერტილში.

მიუხედავად ამისა, ნაწილაკმა ნამდვილად იმოძრავა. ვთქვათ, ჩვენ გვაინტერესებს ნაწილაკის მიერ დაფარული ჯამური მანძილი განურჩევლად იმისა, რომ მან მოძრაობა საწყის წერტილში დაასრულა. შეუძლიათ თუ არა განსაზღვრულ ინტეგრალებს ამაში დახმარება?

დიახ, შეუძლიათ. ამისათვის ვიყენებთ ჭკვიანურ გარდაქმნას. ნაწილაკის სიჩქარე

v

-ს ნაცვლად ვაკვირდებით მისი სიჩქარის მნიშვნელობას

| v |

-ს (ანუ,

v

-ს მოდულს).

სიჩქარის მნიშვნელობა გვეუბნება, რამდენად სწრაფად ვმოძრაობთ, ხოლო სიჩქარე — რამდენად სწრაფად და რა მიმართულებით. წრფეზე მოძრაობისას სიჩქარე უარყოფითი შეიძლება იყოს, ხოლო სიჩქარის მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია (ან ნული). ასე რომ, სიჩქარის მნიშვნელობა არის სიჩქარის მოდული.

ახლა, როცა ვიცით ნაწილაკის სიჩქარის მნიშვნელობა ნებისმიერ მომენტში, მის მიერ დაფარული ჯამური მანძილი შეგვიძლია, ვიპოვოთ

\int_{0}^{10} | v (t) | d t

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლით.

ამჯერად შედეგია დადებითი მნიშვნელობა,

25

მეტრი.

დაიმახსოვრეთ: სიჩქარისა და სიჩქარის მნიშვნელობის განსხვავება

სიჩქარე არის მდებარეობის ცვლილების სისწრაფე, ასე რომ, მისი ინტეგრალი მოგვცემს მოძრავი ობიექტის გადაადგილებას.

სიჩქარის მნიშვნელობა არის ჯამური მანძილის ცვლილების სიჩქარე, ასე რომ, მისი განსაზღვრული ინტეგრალი მოგვცემს ჯამურ დაფარულ მანძილს მდებაროებისგან დამოუკიდებლად.

ამოცანა 1

ალექსეიმ შემდეგი ამოცანა მიიღო:

ნაწილაკი მოძრაობს სწორ ხაზზე სიჩქარით $v (t) = - t^{2} + 8$ ‍ მეტრი წამში, სადაც $t$ ‍ არის დრო წამებში. $t = 2$ ‍ მომენტში ნაწილაკის დაშორება საწყისი წერტილიდან იყო $5$ ‍ მეტრი. როგორია ნაწილაკის გავლილი მანძილი $t = 2$ ‍ და $t = 6$ ‍ წამებს შორის?

რომელი გამოსახულება უნდა გამოიყენოს ალექსეიმ ამოცანის ამოსახსნელად?

ამოცანა 2

მადელინმა შემდეგი ამოცანა მიიღო:

ნაწილაკი მოძრაობს სწორ ხაზზე სიჩქარით $v (t)$ ‍ მეტრი წამში (გამოსახულია გრაფიკზე), სადაც $t$ ‍ არის დრო წამებში. $t = 1$ ‍ მომენტში ნაწილაკის დაშორება საწყისი წერტილიდან იყო $2$ ‍ მეტრი დადებითი მიმართულებით. რას უდრის ნაწილაკის გადაადგილება $t = 1$ ‍ და $t = 6$ ‍ წამებს შორის?

რომელი გამოსახულება უნდა გამოიყენოს მადელინმა ამოცანის ამოსახსნელად?

ნამდვილი მდებარეობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალებისა და საწყისი პირობების გამოყენებით

ზოგ ამოცანაში გვეკითხებიან ნაწილაკის კონკრეტულ მდებარეობას კონკრეტულ მომენტში. გახსოვდეთ, რომ განსაზღვრულ ინტეგრალს შეუძლია, მოგვცეს მხოლოდ ნაწილაკის მდებარეობის ცვლილება. ნაწილაკის ნამდვილი მდებარეობის საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ საწყისი პირობები.

ამოცანა 3

დივიამ შემდეგი ამოცანა მიიღო:

ნაწილაკი მოძრაობს სწორ ხაზზე სიჩქარით $v (t) = \sqrt{3 t - 1}$ ‍ მეტრი წამში, სადაც $t$ ‍ არის დრო წამებში. $t = 2$ ‍ მომენტში ნაწილაკის დაშორება საწყისი წერტილიდან იყო $8$ ‍ მეტრი დადებითი მიმართულებით. სად იქნება ნაწილაკი $t = 7$ ‍ წამზე?

რომელი გამოსახულება უნდა გამოიყენოს დივიამ ამოცანის ამოსახსნელად?

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

შეჯამება: სამი შესაძლო მოთხოვნა გადაადგილებაზე ამოცანებში, რომლებიც განსაზღვრულ ინტეგრალთანაა დაკავშირებული

გადაადგილებაზე ამოცანებში განსაზღვრული ინტეგრალი საჭიროა, როცა მოცემული გვაქვს მოძრავი ობიექტის სიჩქარე და გვეკითხებიან მის მდებარეობას. სამი შესაძლო ამოცანაა:

ტიპი	გავრცელებული მოთხოვნა	შესაბამისი გამოსახულება
გადაადგილება	„რას უდრის ნაწილაკის გადაადგილება ...-სა და ...-ს შორის“ ან „რას უდრის ნაწილაკის ცვლილება ...-სა და...-ს შორის“	$\int_{a}^{b} v (t) d t$ ‍
ჯამური მანძილი	„რას უდრის ნაწილაკის ჯამური გავლილი მანძილი ...-სა და ...-ს შორის“	$\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ ‍
ნამდვილი მდებარეობა	„რას უდრის ნაწილაკის პოზიცია, როცა...“	$C + \int_{a}^{b} v (t) d t$ ‍, სადაც $C$ ‍ საწყისი პირობაა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.