ძირითადი მასალა

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 3: ინტეგრალების გამოყენება, მოძრაობისგან განსხვავებულ კონტექსტში

განსაზღვრული ინტეგრალების შემცველი ამოცანების გაანალიზება

განსაზღვრული ინტეგრალის, როგორც ოდენობების დაგროვების ინტერპრეტირება, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სხვადასხვა რეალური სამყაროს ამოცანების ამოსახსნელად.

ამოცანები დაგროვებაზე (ან ჯამურ ცვლილებაზე) ისეთი ამოცანებია, რომელშიც ოდენობის ცვლილების სიჩქარე მოცემულია და გვთხოვენ, გამოვთვალოთ მისი დაგროვილი მნიშვნელობა დროში. ეს ამოცანები იხსენება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოყენებით. მოდით, ვნახოთ როგორ ხდება ეს.

დაგროვებაზე ამოცანები იხსნება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოყენებით

წარმოიდგინეთ, რომ შემდეგი ინფორმაცია გვაქვს:

სუპის ტემპერატურა იზრდება წუთში $r (t) = 30 e^{- 0, 3 t}$ ‍ გრადუსი ცელსიუსი ტემპით (სადაც $t$ ‍ არის დრო წუთებში). $t = 0$ ‍ დროს სუპის ტემპერატურაა $23$ ‍ გრადუსი ცელსიუსი.

წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ ვიპოვოთ ოდენობა, რომლითაც ტემპერატურა იზრდებოდა $t = 0$ ‍ და $t = 5$ ‍ წუთებს შორის. ეს არის ამოცანა დაგროვებაზე (ან ჯამურ ცვლილებაზე). ამის თქმა შეგვიძლია, რადგან მოცემული გვაქვს ფუნქცია, რომელიც გამოსახავს ოდენობის ცვლილების ტემპს და გვეკითხებიან ამ ოდენობის ცვლილებას დროის ინტერვალში.

ნებისმიერი ოდენობისთვის, რომლის ტემპიც მოცემულია

r

ფუნქციით,

\int_{a}^{b} r (t) d t

განსაზღვრული ინტეგრალი აღწერს ოდენობას, რომლითაც ოდენობა შეიცვალა

t = a

-სა და

t = b

-ს შორის.

ასე რომ, ჩვენს შემთხვევაში, ოდენობა, რომლითაც ტემპერატურა გაიზარდა

t = 0

და

t = 5

წუთებს შორის, მოცემულია

\int_{0}^{5} r (t) d t

-ით.

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77, 7

გრადუსი ცელსიუსი

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სხვა კითხვას გვისვამენ: რას უდრის სუპის ტემპერატურა $t = 5$ ‍ წუთზე? დააკვირდით, რომ საქმე აღარ გვაქვს ცვლილებასთან, არამედ საქმე გვაქვს ნამდვილ მნიშვნელობასთან. მაგრამ ნუ შეგეშინდებათ, რადგან განსაზღვრული ინტეგრალები აქაც გვეხმარება! მხოლოდ თავდაპირველი მნიშვნელობის დამატება გვჭირდება.

გაიხსენეთ, მოცემული გვაქვს, რომ სუპის ტემპერატურა

t = 0

დროს იყო

23

გრადუსი ცელსიუსი. ამის

t = 0

-სა და

t = 5

-ს შორის ტემპერატურის ცვლილებაზე დამატება გვაძლევს ტემპერატურას

t = 5

-ზე:

\underset{ტემპერატურა t = 0 - ზ ე}{\underset{⏟}{23}} + \overset{ტემპერატურის ცვლილება t = 0 -დან t = 5 - მ დ ე}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

რადგან

\int_{0}^{5} r (t) d t

უკვე გამოვთვალეთ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ

t = 5

წუთზე ტემპერატურა იყო

23 + 77, 7 = 100, 7

გრადუსი ცელსიუსი. ეს დუღილის ტემპერატურაა!

ამოცანა 1

განვიხილოთ შემდეგი ამოცანა:

ქალაქის მოსახლეობა იზრდება წელიწადში $r (t) = 300 \cdot e^{0, 3 t}$ ‍ ადამიანით (სადაც $t$ ‍ არის დრო წლებში). $t = 2$ ‍ დროს ქალაქის მოსახლეობაა $1200$ ‍ ადამიანი. რას უდრის ქალაქის მოსახლეობა $t = 7$ ‍-ზე?

რომელი გამოსახულების გამოყენება შეგვიძლია ამოცანის ამოსახსნელად?

გავრცელებული შეცდომა: თავდაპირველი პირობების გამოყენების დავიწყება

ზოგიერთი დაგროვების ამოცანა გვეკითხება ჯამურ ცვლილებაზე და ზოგიერთი - ნამდვილ მნიშვნელობაზე. განსხვავება ისაა, რომ, როცა ნამდვილ მნიშვნელობას ვეძებთ, უნდა გამოვიყენოთ თავდაპირველი პირობები.

გავრცელებული შეცდომაა თავდაპირველი პირობის გამოყენება, როცა ჯამურ ცვლილებას გვეკითხებიან ან თავდაპირველი პირობის არგამოყენება, როცა ნამდვილ მნიშვნელობას გვეკითხებიან.

გავრცელებული შეცდომა: გაწარმოების გამოყენება ინტეგრების ნაცვლად

რეალური სამყაროს ამოცანები გავრცელებულია როგორც დიფერენციალურ, ისე - ინტეგრალურ კალკულუსში. როცა მოცემული გვაქვს ამოცანა, უნდა გადავწყვიტოთ, ამოხსნისთვის წარმოებულებია საჭირო თუ ინტეგალები. მცდარი გადაწყვეტილების მიღება, რა თქმა უნდა, მცდარ პასუხს მოგვცემს.

წარმოებულები გვადგება, როცა მოცემული გვაქვს ოდენობა და გვეკითხებიან მის ტემპს, ხოლო - ინტეგრალები, როცა მოცემული გვაქვს ტემპი და გვეკითხებიან ოდენობას.

	რა არის მოცემული?	რა გვაკლია?	რა გამოვიყენოთ?
დიფერენციალური კალკულუსი	ოდენობა	ტემპი	წარმოებული
ინტეგრალური კალკულუსი	ტემპი	ოდენობა (ან ოდენობის ცვლილება)	ინტეგრალი

ამოცანა 2

განვიხილოთ შემდეგი ამოცანა:

ავზში წყლის სიღრმე იზრდება წუთში $r (t) = 0, 3 t$ ‍ (სადაც $t$ ‍ არის დრო წუთებში) სანტიმეტრი სიჩქარით. $t = 0$ ‍-ის დროს წყლის სიღრმე არის $35$ ‍ სანტიმეტრი. რას უდრის ავზში წყლის სიღრმის ცვლილება მეოთხე წუთის განმავლობაში?

რომელი გამოსახულების გამოყენება შეგვიძლია ამოცანის ამოსახსნელად?

გავრცელებული შეცდომა: ინტეგრების არასწორი ინტერვალის შერჩევა

როგორც ვნახეთ, სწორი პასუხის მისაღებად ინტეგრების სწორი ინტერვალის აღება აუცილებელია. დარწმუნდით, რომ მცდარ ბოლოებს არ არჩევთ, განსაკუთრებით საწყისი წერტილისთვის, რომელსაც ხშირად უგულებელყოფენ.

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.