If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 6: ცვლადების განცალკევება

განცალებადცვლადებიანი დიფერენციალური განტოლებები

ცვლადების განცალება დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის გავრცელებული მეთოდია. ნახეთ, როგორ ხდება ეს და რატომ ვუწოდებთ ამ სახელს.
ცვლადთა განცალება დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის გავრცელებული გზაა. მოდით, ვნახოთ, როგორ ხდება ეს dydx=2x3y2 დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით:
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2xგაამრავლეთ 3y2(3)3y2dy=2xdxგაამრავლეთ dx(4)3y2dy=2xdxამოიღეთ ინტეგრალი(5)y3=x2+Cგააინტეგრალეთ(6)y=Ax2+C3განაცალკევეთ y

მოდით, განვიხილოთ ეს ამოხსნა.

(1) და (3) რიგებში განტოლება ისე გარდავქმენით, რომ f(y)dy=g(x)dx ფორმით მიგვეღო. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, x და y განვაცალკევეთ, რომ თითოეული ცვლადი საკუთარ მხარეს აღმოჩენილიყო, მათ შორის dx და dy, რომელიც ქმნიდა dydx წარმოებულ გამოსახულებას. სწორედ ამიტომ ქვია ამ მეთოდს „ცვლადთა განცალება.“
(4) რიგში ავიღეთ თითოეული განტოლების განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ხაზგასმული პრინციპი, როგორც ყოველთვის ტოლობების შემთხვევაში, არის, რომ, თუ f(y)dy უდრის g(x)dx-ს, მაშინ მათი განუსაზღვრელი ინტეგრალებიც ტოლი უნდა იყოს.
(5) და (6) რიგებში მოვახდინეთ ინტეგრება y-ის მიმართ (მარცხენა მხარეს), x-ის მიმართ - (მარჯვენა მხარეს) და შემდეგ განვაცალკევეთ y.
C მუდმივა მხოლოდ მარჯვნივ დავუმატეთ. ორივე მხარეზე მუდმივას დამატება საჭირო არ არის, რადგან ამის შემდეგ შეგვიძლია, ერთ-ერთი გადავიტანოთ მეორე მხარეს და ისევ ერთი მუდმივა დაგვრჩება.
დასკვნა: dydx=2x3y2-ის ზოგადი ამონახსნია y=Ax2+C3. ამ ამოხსნის დასასაბუთებლად გააწარმოეთ y.
თუ გადახედავთ განტოლების ამოხსნას, შენიშნავთ, რომ ცვლადების განცალებამ, რომელიც (1) და (3) რიგებში განვახორციელეთ, თითოეული მხარის გაინტეგრალების და წარმოებულის გარეშე განტოლების მიღების საშუალება მოგვცა.
ამოცანა 1.A
ამოცანების ნაკრები 1 გვაჩვენებს ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პროცესს:
dydx=exy2
როგორ გამოიყურება განტოლება ცვლადების განცალების შემდეგ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.