If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ჩახაზული კუთხის თეორემის დამტკიცება

ვამტკიცებთ, რომ ჩახაზული კუთხე ცენტრალური კუთხის ნახევარია, თუ ორივე ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს.

პირველი ნაბიჯები

სანამ დამტკიცებაზე გადავიდოდეთ, დავრწმუნდეთ, რომ წრეებთან დაკავშირებული რამდენიმე ტერმინი გვესმის.
აი, მოკლე აქტივობა, რომელშიც შეძლებთ, ტერმინები თავად დაადგინოთ:
სურათის საშუალებით მიუსადაგეთ ცვლადები წევრებს.
1

ყოჩაღ! ამ ტერმინებს მთელ სტატიაში გამოვიყენებთ.

რა უნდა დავამტკიცოთ

უნდა დაგვემტკიცებინა, რომ მაგარი რამე ხდება, როცა ჩახაზული კუთხე (ψ) და ცენტრალური კუთხე (θ) ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს: ცენტრალური კუთხის გრადუსული ზომა ჩახაზულისაზე ორჯერ მეტია.
θ=2ψ

დამტკიცების მიმოხილვა

იმისთვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ θ=2ψ ყველა θ-სა და ψ-სთვის (ისე, როგორც ისინი მაღლა განვსაზღვრეთ), სამი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ:
შემთხვევა Aშემთხვევა Bშემთხვევა C
ერთად ეს შემთხვევები ყველა იმ შესაძლო სიტუაციას განიხილავს, რომელშიც ჩახაზული და ცენტრალური კუთხეები ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავენ.

A შემთხვევა: დიამეტრი ჩახაზული კუთხის (ψ) ერთ-ერთ სხივს ემთხვევა.

ნაბიჯი 1: იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედი.

BC და BD მონაკვეთები რადიუსებია, ანუ, მათ ტოლი სიგრძე აქვთ. ანუ, CBD ტოლფერდაა, რაც ნიშნავს, რომ ფუძესთან მდებარე კუთხეები ტოლია:
mC=mD=ψ

ნაბიჯი 2: იპოვეთ გაშლილი კუთხე.

ABC კუთხე მართია, ასე რომ,
θ+mDBC=180mDBC=180θ

ნაბიჯი 3: დაწერეთ განტოლება და იპოვეთ ψ.

CBD–ის შიდა კუთხეებია: ψ, ψ და (180θ) და ვიცით, რომ ნებისმიერი საკმკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამია 180.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
მაგარია. A შემთხვევისთვის დამტკიცება დავასრულეთ. დაგვრჩა კიდევ ორი შემთხვევა!

B შემთხვევა: დიამეტრი კუთხის (ψ) სხივებს შორის მდებარეობს.

ნაბიჯი 1: დაფიქრდი და დახაზე დიამეტრი

დიამეტრის გამოყენებით ψ დავშალოთ ψ1-ად და ψ2-ად და θ დავშალოთ, როგორც θ1 და θ2. აი, ასე:

ნაბიჯი 2: გამოიყენეთ ის, რაც A შემთხვევიდან დავასკვენით, რომ ჩავწეროთ ორი განტოლება.

ახალ დიაგრამაში დიამეტრი ცენტრს ორ ტოლ ნაწილად ყოფს. თითოეულ ნაწილს აქვს ჩახაზული კუთხე, კუთხის თითო სხივი კი დიამეტრზეა გადებული. ეს იგივე მდგომარეობაა, რაც A შემთხვევაში, ანუ, ვიცით, რომ
(1)θ1=2ψ1
და
(2)θ2=2ψ2
იმის გამო, რაც A შემთხვევაში ვისწავლეთ.

ნაბიჯი 3: შეკრიბეთ განტოლებები.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Add (1) and (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)დააჯგუფეთ ცვლადებიθ=2ψθ=θ1+θ2 and ψ=ψ1+ψ2
B შემთხვევა დავასრულეთ. დაგვრჩა კიდევ ერთი შემთხვევა!

C შემთხვევა: დიამეტრი კუთხის სხივებს გარეთ მდებარეობს.

ნაბიჯი 1: დაფიქრდი და დახაზე დიამეტრი

დიამეტრის გამოყენებით შევქმნათ ორი ახალი კუთხე: θ2 და ψ2 შემდეგნაირად:

ნაბიჯი 2: გამოიყენეთ ის, რაც A შემთხვევიდან დავასკვენით, რომ ჩავწეროთ ორი განტოლება.

ზუსტად ისე, როგორც B შემთხვევაში გავაკეთეთ, აქაც შევქმენით დიაგრამა, რომელიც A შემთხვევაზე მუშაობისას ნასწავლის გამოყენების საშუალებას მოგვცემდა. ამ დიაგრამიდან ვიცით შემდეგი რამ:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

ნაბიჯი 3: ჩასვით და გაამარტივეთ.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
და დავასრულეთ! ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ θ=2ψ სამივე შემთხვევაში.

შევაჯამოთ, რა გავაკეთეთ

ჩვენ გვინდოდა, დაგვემტკიცებინა, რომ ცენტრალური კუთხის გრადუსული ზომა ჩახაზული კუთხის ზომაზე ორჯერ მეტია, თუკი ორივე ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს.
დამტკიცება სამი შემთხვევის განხილვით დავიწყეთ. ეს შემთხვევები ყველა იმ შესაძლო მდგომარეობას მოიცავდა, რომელშიც ჩახაზული და ცენტრალური კუთხეები ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავდნენ.
შემთხვევა Aშემთხვევა Bშემთხვევა C
A შემთხვევაში დავინახეთ ტოლგვერდა სამკუთხედსა და მართკუთხა კუთხეს. აქედან ψ-სა და θ-ს გამოყენებით ავაგეთ განტოლებები. გაანგარიშების შემდეგ დავამტკიცეთ, რომ θ=2ψ.
B და C შემთხვევებში შემოვიტანეთ დიამეტრი:
შემთხვევა Bშემთხვევა C
ამან საშუალება მოგვცა, A შემთხვევის შედეგი გამოგვეყენებინა, და ასეც მოვიქეცით. B და C შემთხვევებში ნახაზებში მოცემული ცვლადების დამაკავშირებელი განტოლებები ჩავწერეთ, რაც მხოლოდ A შემთხვევის განხილვის შემდეგ იყო შესაძლებელი. განტოლებები რომ ჩავწერეთ, გამოვიანგარიშეთ და მივიღეთ, რომ θ=2ψ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.