If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

საშუალო საფეხურის გეომეტრია

კურსი: საშუალო საფეხურის გეომეტრია > თემა 8

გაკვეთილი 7: ჩახაზული კუთხეები
მათემატიკა
საშუალო საფეხურის გეომეტრია
წრე
ჩახაზული კუთხეები
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ჩახაზული კუთხის თეორემის დამტკიცება

Google–ის საკლასო ოთახი
ვამტკიცებთ, რომ ჩახაზული კუთხე ცენტრალური კუთხის ნახევარია, თუ ორივე ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს.

პირველი ნაბიჯები

სანამ დამტკიცებაზე გადავიდოდეთ, დავრწმუნდეთ, რომ წრეებთან დაკავშირებული რამდენიმე ტერმინი გვესმის.
აი, მოკლე აქტივობა, რომელშიც შეძლებთ, ტერმინები თავად დაადგინოთ:
სურათის საშუალებით მიუსადაგეთ ცვლადები წევრებს.

ყოჩაღ! ამ ტერმინებს მთელ სტატიაში გამოვიყენებთ.

რა უნდა დავამტკიცოთ

უნდა დაგვემტკიცებინა, რომ მაგარი რამე ხდება, როცა ჩახაზული კუთხე left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis და ცენტრალური კუთხე left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს: ცენტრალური კუთხის გრადუსული ზომა ჩახაზულისაზე ორჯერ მეტია.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

დამტკიცების მიმოხილვა

იმისთვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd ყველა start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff-სა და start color #11accd, \psi, end color #11accd-სთვის (ისე, როგორც ისინი მაღლა განვსაზღვრეთ), სამი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ:
შემთხვევა Aშემთხვევა Bშემთხვევა C
ერთად ეს შემთხვევები ყველა იმ შესაძლო სიტუაციას განიხილავს, რომელშიც ჩახაზული და ცენტრალური კუთხეები ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავენ.

A შემთხვევა: დიამეტრი ჩახაზული კუთხის (start color #11accd, \psi, end color #11accd) ერთ-ერთ სხივს ემთხვევა.

ნაბიჯი 1: იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედი.

start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline და start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline მონაკვეთები რადიუსებია, ანუ, მათ ტოლი სიგრძე აქვთ. ანუ, triangle, C, B, D ტოლფერდაა, რაც ნიშნავს, რომ ფუძესთან მდებარე კუთხეები ტოლია:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

ნაბიჯი 2: იპოვეთ გაშლილი კუთხე.

angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 კუთხე მართია, ასე რომ,
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

ნაბიჯი 3: დაწერეთ განტოლება და იპოვეთ start color #11accd, \psi, end color #11accd.

triangle, C, B, D–ის შიდა კუთხეებია: start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd და left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis და ვიცით, რომ ნებისმიერი საკმკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამია 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
მაგარია. A შემთხვევისთვის დამტკიცება დავასრულეთ. დაგვრჩა კიდევ ორი შემთხვევა!

B შემთხვევა: დიამეტრი კუთხის (start color #11accd, \psi, end color #11accd) სხივებს შორის მდებარეობს.

ნაბიჯი 1: დაფიქრდი და დახაზე დიამეტრი

დიამეტრის გამოყენებით start color #11accd, \psi, end color #11accd დავშალოთ start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd-ად და start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd-ად და start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff დავშალოთ, როგორც start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff და start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff. აი, ასე:

ნაბიჯი 2: გამოიყენეთ ის, რაც A შემთხვევიდან დავასკვენით, რომ ჩავწეროთ ორი განტოლება.

ახალ დიაგრამაში დიამეტრი ცენტრს ორ ტოლ ნაწილად ყოფს. თითოეულ ნაწილს აქვს ჩახაზული კუთხე, კუთხის თითო სხივი კი დიამეტრზეა გადებული. ეს იგივე მდგომარეობაა, რაც A შემთხვევაში, ანუ, ვიცით, რომ
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
და
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
იმის გამო, რაც A შემთხვევაში ვისწავლეთ.

ნაბიჯი 3: შეკრიბეთ განტოლებები.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Add (1) and (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)დააჯგუფეთ ცვლადებიθ=2ψθ=θ1+θ2 and ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Add (1) and (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{დააჯგუფეთ ცვლადები} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ and } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
B შემთხვევა დავასრულეთ. დაგვრჩა კიდევ ერთი შემთხვევა!

C შემთხვევა: დიამეტრი კუთხის სხივებს გარეთ მდებარეობს.

ნაბიჯი 1: დაფიქრდი და დახაზე დიამეტრი

დიამეტრის გამოყენებით შევქმნათ ორი ახალი კუთხე: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 და start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 შემდეგნაირად:

ნაბიჯი 2: გამოიყენეთ ის, რაც A შემთხვევიდან დავასკვენით, რომ ჩავწეროთ ორი განტოლება.

ზუსტად ისე, როგორც B შემთხვევაში გავაკეთეთ, აქაც შევქმენით დიაგრამა, რომელიც A შემთხვევაზე მუშაობისას ნასწავლის გამოყენების საშუალებას მოგვცემდა. ამ დიაგრამიდან ვიცით შემდეგი რამ:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

ნაბიჯი 3: ჩასვით და გაამარტივეთ.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
და დავასრულეთ! ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd სამივე შემთხვევაში.

შევაჯამოთ, რა გავაკეთეთ

ჩვენ გვინდოდა, დაგვემტკიცებინა, რომ ცენტრალური კუთხის გრადუსული ზომა ჩახაზული კუთხის ზომაზე ორჯერ მეტია, თუკი ორივე ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავს.
დამტკიცება სამი შემთხვევის განხილვით დავიწყეთ. ეს შემთხვევები ყველა იმ შესაძლო მდგომარეობას მოიცავდა, რომელშიც ჩახაზული და ცენტრალური კუთხეები ერთსა და იმავე რკალს მოჭიმავდნენ.
შემთხვევა Aშემთხვევა Bშემთხვევა C
A შემთხვევაში დავინახეთ ტოლგვერდა სამკუთხედსა და მართკუთხა კუთხეს. აქედან start color #11accd, \psi, end color #11accd-სა და start color #7854ab, theta, end color #7854ab-ს გამოყენებით ავაგეთ განტოლებები. გაანგარიშების შემდეგ დავამტკიცეთ, რომ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
B და C შემთხვევებში შემოვიტანეთ დიამეტრი:
შემთხვევა Bშემთხვევა C
ამან საშუალება მოგვცა, A შემთხვევის შედეგი გამოგვეყენებინა, და ასეც მოვიქეცით. B და C შემთხვევებში ნახაზებში მოცემული ცვლადების დამაკავშირებელი განტოლებები ჩავწერეთ, რაც მხოლოდ A შემთხვევის განხილვის შემდეგ იყო შესაძლებელი. განტოლებები რომ ჩავწერეთ, გამოვიანგარიშეთ და მივიღეთ, რომ start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.