დახრილობის მუდმივობის დამტკიცება მსგავსების გამოყენებით

ალგებრის გაკვეთილებზე ყოველთვის გვეუბნებიან, რომ თუ გვაქვს წრფე, y-ის ცვლილება მუდმივად იქნება დამოკიდებული x-ზე. სხვაგვარად რომ შევხედოთ ამ საკითხს, წრფე ყოველთვის იქნება დახრილი. დახრილობა კი სიტყვასიტყვით ახსნილია, როგორც y-ის ცვლილება ეს სამკუთხედი ბერძნული ასო დელტაა. ის გამოიყენება "ცვილების" საჩვენებლად. y-ის ცვლილება შეფარდებული x-ის შეფარდებასთან. თუ საქმე წრფესთან გვაქვს, ის მუდმივია წრფისთვის. ამ ვიდეოში ამის დამტკიცება მინდა მსგავსი სამკუთხედების დახმარებით. მოდი წერტილების ორი წყვილი ავიღოთ. აჯობებს სხვა ფერით მოვნიშნოთ. ამ წერტილით დავიწყოთ და ამით დავასრულოთ. რა არის x-ის ცვლილება ამ ორ წერტილს შორის? x-ის მნიშვნელობა აი აქ არის. მეორე კი აქ. ცვლილება კი ეს იქნება. რა იქნება y-სთვის ცვლილება? y-ის მნიშვნელობა აი აქ გვაქვს მოცემული. მეორე წერტილი კი აქ. ეს სიმაღლე იქნება y-ის ცვლილება. მოდი კიდევ ორი სხვა წერტილი განვიხილოთ ვთქვათ, გვაქვს ეს ორი წერტილი და გავაკეთოთ იგივე მაგალითი. რა იქნება ცვლილება x-სთვის? მოდი ვნახოთ. ეს წერტილი x-ის ამ მნიშვნელობისთვის, ეს კი მეორესთვის. თუ აქედან დავიწყებთ და აქამდე მივალთ, ეს იქნებოდა x-ის ცვლილება ამ ორ წერტილს შორის. ეს იქნება ცვლილება და მოდი იმავე მწვანე ფერით მოვნიშნოთ. ეს იქნება ცვლილება x-ის ამ ორ მნიშვნელობას შორის. და y-ის მნიშვნელობებიც აქ არის. y-ის ეს მნიშვნელობა აქ გვაქვს. ცვლილება კი ეს იქნება. რაც უნდა განახოთ, უბრალოდ ორი პირობითი წერტილია. უნდა ვაჩვენო, რომ y-ის ამ ცვლილების შეფარდება x-ის ცვლილებასთან იგივეა რაც, ამ y-ების ცვლილების შეფარდება ამ x-ის ცვლილებასთან. ან ამ იასამნისფერი გვერდის შეფარდება ამ მწვანესთან იქნება იგივე რაც, ეს იასამნისფერი გვერდი შეფარდებული ამ მწვანესთან. დაიმახსოვრეთ, ორ წყვილ პირობით წერტილებს ვიღებთ. დამტკიცებას კი მსგავსებით გაჩვენებთ. თუ შევძლებ იმის ჩვენებას, რომ ეს ორი სამკუთხედი მსგავსია, მაშინ დამტკიცდება მოცემულობა. შეგახსენებთ რა არის მსგავსება. ორი სამკუთხედი მსგავსია, ახსნის რამდენიმე გზა არსებობს, ვთქვათ, რომ სამივე კუთხე ტოლი უნდა იყოს. აქ ოღონდ სიფრთხილე გვმართებს. არ არის აუცილებელი ყველა კუთხე ტოლი იყოს. მთავარია შესაბამისი კუთხეები იყოს ტოლი. შეგვიძლია უბრალოდ მსგავსი კუთხეები ვუწოდოთ. მაგალითად, გვაქვს ეს სამკუთხედი. ეს 30 გრადუსია, ეს - 60, ეს კი - 90. და გვაქვს კიდევ ერთი სამკუთხედი. ვეცდები დავხატო. გვაქვს სამკუთხედი, სადაც ეს კუთხე 30 გრადუსია, ეს 60 გრადუსი და ეს 90. მიუხედავად იმისა, რომ გვერდების სიგრძეები განსხვავდება. ესენი მსგავსი სამკუთხედები იქნება. ისინი აშკარად ერთმანეთის შემცირებული ვერსიებია. შესაბამისი გვერდები: 60 ამ 60 გრადუსს შეესაბამება, 30 ამ 30-ს, 90 კი ამ კუთხეს. მაშასადამე, ეს ორი სამკუთხედი მსგავსია. მსგავსი სამკუთხედების თვისებებით ირკვევა, რომ თუ ორი სამკუთხედი მსგავსია, მსგავსი გვერდების შეფარდება ტოლი იქნება. ეს ორი თუ მსგავსია, მაშინ ამ გვერდების შეფარდება ტოლი იქნება. მოდი ვარდისფრად გავაფერადებ ამას. ეს დაგვეხმარება იმის დამტკიცებაში, რატომაა ფუნქციის გადახრა მუდმივი. ერთადერთი რაც უნდა ვქნათ, დაკვირვებაა. თუ ეს ორი სამკუთხედი მსგავსია, შესაბამის გვერდებს შორის შეფარდება ყოველთვის ერთნაირი იქნება. ჩვენ პირობითი წერტილების ორი წყვილი ავიღეთ. ეს მართალი იქნებოდა წერტილთა ნებისმიერი 2 წყვილისთვის, რომელსაც ამ წრფეზე ავიღებდით. ჭეშმარიტი იქნებოდა მთლიანი წრფისთვის. მოდი ვცადოთ და მსგავსება დავამტკიცოთ. ერთი რამ ზუსტად ვიცით, ორივე სამკუთხედი მართია. ეს ორი მწვანე წრფე ჰორიზონტალურია. ეს იასამნისფერი წრფეები კი ვერტიკალურია. რადგან მწვანე წრფეებს ჰორიზონტალური მიმართულება აქვთ. იასამნისფერებს კი ვერტიკალური მიმართულება. აუცილებლად მოვნიშნოთ. ვიცით, რომ ეს კუთხეები მართია. ესე იგი, გვაქვს ერთი შესაბამისი კუთხე. უნდა დავადგინოთ დანარჩენები. შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჩვენი ცოდნა პარალელური და გადამკვეთი წრფეების შესახებ. ამ ორ მწვანე წრფეს შევხედოთ. მოდი გავაგრძელოთ ისინი. მონაკვეთებია, მაგრამ წრფეებად დავინახავთ, თუ გავაგრძელებთ. მოდი ასე გავაკეთებ. ნათელია, რომ ეს წრფე ამ წრფის პარალელურია. ისინი აუცილებლად ჰორიზონტალურებია. ეს ნარინჯისფერი წრფე კი გადამკვეთი იქნება. თუ ამას ხედავთ, მაშინ მიხვდებოდით, რომ ეს კუთხე ამ კუთხის შესაბამისია. ვიცით, რომ პარალელური წრფეების გადამკვეთი წრფეების შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ეს კუთხე ამ კუთხის ტოლი იქნება. იმავე არგუმენტით დავამტკიცებთ ამ კუთხეზეც. მაგრამ ახლა ორ ვერტიკალურ წრფეს ვიყენებთ. ვიცით, რომ ამ მონაკვეთის გაგრძელება შეგვიძლია. თუ გვენდომებოდა, ვერტიკალურ წრფეს გავაგრძელებდით. ისევე როგორც ამ წრფის გაგრძელება შეგვიძლია. და ვიცით, რომ ორივე ვერტიკალურია. ორივე ზუსტად y წრფის მიმართულებით არიან, მაშასადამე, ეს წრფე ამ წრფის პარალელური იქნება. ნარინჯისფერი წრფე კი გადამკვეთია. ეს კუთხე ამ კუთხეს შეესაბამება. ესენი ტოლია. ორი პარალელური წრფის შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ეს გეომეტრიის გაკვეთილზე ვისწავლეთ და აქაც იგივეა. ეს კუთხე ამ კუთხეს შეესაბამება. ეს ამ კუთხეს. ორივე 90 გრადუსიანია. ანუ მსგავსი სამკუთხედებია. მოდი ჩავწეროთ, რომ ეს ორი სამკუთხედი მსგავსია. ახლა შეგვიძლია ორივე გვერდის შეფარდება დავწეროთ. თუ ამ გვერდის სიგრძეს აღვნიშნავდით a-თი, ამ გვერდის სიგრძეს b-თი, ამას c-თი, ამ გვერდის სიგრძეს კი d-თი. სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარე ზუსტად ვიცით, რომ a-ს შეფარდება b-სთან იგივე იქნება, რაც c-ს შეფარდება d-სთან. ეს შეფარდება კი რეალურად ფუნქციის გადახრის მნიშვნელობაა, y-ის ცვლილების შეფარდება x-ის ცვლილებასთან. ეს კი მუდმივაა, რადგან ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში ორ წერტილს შორის მსგავსი იქნება, როგორც უკვე განახეთ. და თუ მსგავსია ამ ვერტიკალური მონაკვეთის შეფარდება ჰორიზონტალურ მონაკვეთთან მუდმივა გამოდის. ეს იქნება გადახრის მნიშვნელობა. ესე იგი, წრფისთვის გადახრა მუდმივია.