ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 4: შესავალი დაკავშირებულ სიჩქარეებში

დაკავშირებული სიჩქარეების შემცველი ამოცანების გაანალიზება

ამოცანები დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ისეთი ამოცანებია. რომლებშიც რაოდენობის ცვლილების სიჩქარეს განვიხილავთ მასთან დაკავშირებული სხვა რაოდენობის ცვლილების სიჩქარის შესახებ ინფორმაციით. მოდით, გავერკვიოთ ასეთი ამოცანების ამოხსნაში.

დაკავშირებული ტემპების ამოცანები არის გამოყენებითი ამოცანები, რომლებშიც ვპოულობთ ერთი სიდიდის ცვლილების ტემპის კავშირს მეორე სიდიდის მიმართ, რომლის ტემპიც ცნობილია.

დაკავშირებული ტემპების ამოცანების ამოხსნის დამუშავებული მაგალითი

წარმოიდგინეთ, მოგვცეს შემდეგი ამოცანა:

წრის რადიუსის $r (t)$ ‍ ზრდის ტემპია $3$ ‍ სანტიმეტრი წამში. გარკვეულ მყისიერ $t_{0}$ ‍ მომენტში რადიუსი არის $8$ ‍ სანტიმეტრი.

რა არის წრის ფართობის $A (t)$ ‍ ცვლილების ტემპი ამ მყისიერ მომენტში?

გავეცნოთ სიდიდეებსა და მათ ტემპებს

ზოგადად, გვაქვს წრე რომლის რადიუსიც იცვლება დროის მიხედვით. ამოცანაში ნახსენები გვაქვს ორი სიდიდე:

r (t)

არის წრის რადიუსი

t

დროის შემდეგ. იზომება სანტიმეტრებში.

A (t)

არის წრის ფართობი

t

დროის შემდეგ. იზომება კვადრატულ სანტიმეტრებში.

ამოცანაში ასევე მოცემულია ამ სიდიდეების ტემპები. თითოეული სიდიდის ცვლილების ტემპი მოცემულია მისი წარმოებულით:

r^{'} (t)

არის მყისიერი ცვლილების ტემპი

t

დროის მომენტში. იზომება ერთეულში სანტიმეტრი წამში.

A^{'} (t)

არის ფართობის მყისიერი ცვლილების ტემპი

t

დროის მომენტში. ის იზომება ერთეულში კვადრატული სანტიმეტრი წამში.

[როგორ ვიპოვეთ A(t)-სა და A'(t)-ს ერთეულები?]

გავეცნოთ მოცემულ ინფორმაციას

მოცემულია, რომ რადიუსი იზრდება ტემპით

3

სანტიმეტრი წამში. ეს ნიშნავს, რომ

r^{'} (t) = 3

ნებისმიერი

t

მნიშვნელობისთვის.

ასევე მოცემული გვაქვს, რომ გარკვეულ მყის

t_{0}

მომენტში რადიუსი არის

8

სანტიმეტრი. ეს ნიშნავს, რომ

r (t_{0}) = 8

. შევნიშნოთ, რომ ეს არის მხოლოდ

t_{0}

-სთვის და არა —

t

-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

საბოლოოდ, ჩვენ გვეკითხებიან, რომ

t_{0}

მყისიერ მომენტში ვიპოვოთ

A (t)

-ს ცვლილების ტემპი. მათემატიკურად კი ჩვენ ვეძებთ

A^{'} (t_{0})

-ს.

ფართობის რადიუსთან დაკავშირება

მას შემდეგ, რაც გავეცანით შესაბამის სიდიდეებს, ჩვენ უნდა მოვძებნოთ ტოლობა ან ფორმულა, რომელიც დააკავშირებს მათ. ჩვენს შემთხვევაში სიდიდეები არის ფართობი და წრის რადიუსი. ეს სიდიდეები ერთმანეთთან კავშირდება წრის ფართობის ფორმულით:

A = π r^{2}

გაწარმოება

A^{'} (t_{0})

-ის საპოვნელად ჩვენ გვჭირდება ტოლობის ორივე მხარის წარმოებულის პოვნა. როცა ამას გავაკეთებთ, შეგვეძლება, დავაკავშიროთ

A^{'} (t_{0})

სხვა ცნობილ სიდიდეებთან, როგორიცაა

r^{'} (t_{0})

, რაც მოგვცემს საშუალებას, რომ ვიპოვოთ

A^{'} (t_{0})

ვინაიდან არ გვაქვს ცხადი ფორმულა

A (t)

-სა და

r (t)

-სთვის, შეგვიძლია გამოვიყენოთ არაცხადი გაწარმოება:

\begin{aligned} A (t) & = π [r (t)]^{2} \\ \frac{d}{d t} [A (t)] & = \frac{d}{d t} [π [r (t)]^{2}] \\ A^{'} (t) & = 2 π r (t) r^{'} (t) \end{aligned}

ჩვენი ამოხსნის მთავარი იდეა არის: სიდიდეების ერთმანეთთან დაკავშირებით (ე.ი.

A

და

r

) ჩვენ შეგვეძლო გაწარმოებით დაგვეკავშირებინა მათი ტემპები (ე.ი.

A^{'}

და

r^{'}

). ესაა მიზეზი, რატომ ჰქვიათ ამ ამოცანებს „დაკავშირებული ტემპების ამოცანები“!

ამოხსნა

შევნიშნოთ, რომ ჩვენი ტოლობა

t

-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვისაც სწორია და კონკრეტულად

t_{0}

-სთვისაც. ჩვენ შეგვიძლია

r (t_{0}) = 8

და

r^{'} (t_{0}) = 3

შევიტანოთ ამ განტოლებაში:

\begin{aligned} A^{'} (t_{0}) & = 2 π r (t_{0}) r^{'} (t_{0}) \\ = 2 π (8) (3) \\ = 48 π \end{aligned}

დასკვნა: ჩვენ ვიპოვეთ, რომ

t_{0}

მომენტში ფართობი იზრდება ტემპით

48 π

კვადრატული სანტიმეტრი წამში.

ამოცანა 1.A

ამოცანათა ჯგუფი 1 გაგაანალიზებინებთ შემდეგი ამოცანის ყველა ეტაპს:

სამკუთხედის ფუძე $b (t)$ ‍ მცირდება ტემპით $13$ ‍ $მ/სთ$ ‍ და სამკუთხედის სიმაღლე $h (t)$ ‍ იზრდება ტემპით $6$ ‍ $მ/სთ$ ‍. კონკრეტულ მომენტში $t_{0}$ ‍ ფუძე არის $5$ ‍ $მ$ ‍ და სიმაღლე არის $1$ ‍ $მ$ ‍. რა არის სამკუთხედის ფართობის $A (t)$ ‍ ცვლილების ტემპი ამ მომენტში?

შეუსაბამე თითოეული გამოსახულება ერთეულებს.

	$მ$ ‍	$მ/სთ$ ‍	$მ^{2}$ ‍	$მ^{2} /სთ$ ‍
$b^{'} (t)$ ‍
$A (t_{0})$ ‍
$h (t_{0})$ ‍
$\frac{d A}{d t}$ ‍

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადე ეს სავარჯიშო.

ხშირი შეცდომა: ცვლადი გამოსახულებებისა და მუდმივების არევა

როგორც ნახეთ, დაკავშირებული ტემპების ამოცანები მოიცავს ბევრ გამოსახულებას. ზოგი წარმოადგენს რაოდენობას, ზოგი კი — ტემპს. ზოგი იცვლება, ზოგი მუდმივია.

მნიშვნელოვანია, დარწმუნდეთ, რომ ყველა გამოსახულების მნიშვნელობა გესმით და შეგიძლიათ მიანიჭოთ თავიანთი შესაბამისი მნიშვნელობები (როცა მოცემულია).

ჩვენ გირჩევთ, რომ შეასრულოთ იგივე ანალიზი, რაც მაგალითსა და ამოცანათა ჯგუფ 1-შია მოცემული: რა არის ყველა შესაბამისი სიდიდე? რა არის მათი ტემპები? რა არის მათი განზომილებები? რა არის მათი რიცხვითი მნიშვნელობები?

ამოცანა 2

განვიხილოთ ეს ამოცანა:

ორი მანქანა მოძრაობს გადაკვეთის წერტილისკენ, მართობული მიმართულებებით. პირველი მანქანის სიჩქარეა $50 კმ/სთ$ ‍ და მეორე მანქანის სიჩქარე არის $90 კმ/სთ$ ‍. გარკვეულ მყისიერ $t_{0}$ ‍ მომენტში პირველი მანქანა გადაკვეთიდან დაშორებულია $x (t_{0}) = 0, 5 კმ$ ‍ მანძილით და მეორე მანქანა გადაკვეთიდან დაშორებულია $y (t_{0}) = 1, 2 კმ$ ‍ მანძილით. რა არის მანქანებს შორის $d (t)$ ‍ მანძილის ცვლილების ტემპი ამ მომენტში?

რომელი ტოლობა უნდა გამოვიყენოთ ამოცანის ამოსახსნელად?

ხშირი შეცდომა: ისეთი ტოლობის არჩევა, რომელიც არ შეესაბამება მოცემულ ამოცანას

როგორც ნახეთ, ტოლობა, რომელიც აკავშირებს ყველა სიდიდეს, გადამწყვეტ როლს ასრულებს ამოცანის ამოხსნაში. ხშირად გვეხმარება სიტუაციის აღმწერი გარკვეული ტიპის დიაგრამები შესაბამისი სიდიდეებით. მაგალითისთვის განვიხილოთ ამოცანა 2. ამოცანა აღწერს მართკუთხა სამკუთხედს.

დიაგრამა ცხადყოფს, რომ ტოლობა, რომელსაც ვეძებთ, აკავშირებს სამკუთხედის სამივე გვერდს, რაც შეიძლება გაკეთდეს პითაგორას თეორემით:

[d (t)]^{2} = [x (t)]^{2} + [y (t)]^{2}

დიაგრამის გარეშე ჩვენ შეიძლება, შემთხვევით აგვრეოდა

d (t)

სამკუთხედის ფართობში...

d (t) = \frac{x (t) \cdot y (t)}{2}

...ან

x (t)

y (t)

და

d (t)

სიდიდეებს მოვქცეოდით, როგორც სამკუთხედის სამ კუთხეს...

d (t) + x (t) + y (t) = 180

...ან შეიძლება,

d (t)

სიდიდეს მოვქცეოდით, როგორც კუთხეს, და გამოგვეყენებისა რაიმე ტრიგონომეტრიული განტოლება

\tan [d (t)] = \frac{y (t)}{x (t)}

ყველა ეს განტოლება შეიძლება გამოგადგეთ სხვა დაკავშირებული ტემპების ამოცანებში, მაგრამ არა — ამოცანა 2-ში.

ამოცანა 3

განვიხილოთ ეს ამოცანა:

$20$ ‍ მეტრის სიგრძის კიბე მიყუდებულია კედელზე. კიბის ძირსა და კედელს შორის მანძილი $x (t)$ ‍ იზრდება ტემპით $3$ ‍ მეტრი წუთში. კონკრეტულ მყისიერ $t_{0}$ ‍ მომენტში კიბის წვეროსა და მიწას შორის მანძილი $y (t_{0})$ ‍ არის $15$ ‍ მეტრი. რა არის მიწასა და კიბეს შორის კუთხის $θ (t)$ ‍ ცვლილების ტემპი ამ მომენტში?

რომელი ტოლობა უნდა გამოვიყენოთ ამოცანის ამოსახსნელად?

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.