ძირითადი მასალა
დიფერენციალური კალკულუსი
კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 4
გაკვეთილი 4: შესავალი დაკავშირებულ სიჩქარეებში- შესავალი დაკავშირებულ სიჩქარეებში
- დაკავშირებული სიჩქარეების შემცველი ამოცანების გაანალიზება
- დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ამოცანების გაანალიზება: გამოსახულებები
- დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ამოცანების გაანალიზება: გამოსახულებები
- დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ამოცანების გაანალიზება: განტოლებები (პითაგორა)
- დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ამოცანების გაანალიზება: განტოლებები (ტრიგონომეტრია)
- დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ამოცანების გაანალიზება: განტოლებები
- შესავალი დაკავშირებული ფუნქციების გაწარმოებაში
- დამუშავებული მაგალითი: დაკავშირებული ფუნქციების გაწარმოება
- გააწარმოეთ დაკავშირებული ფუნქციები
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე
დაკავშირებული სიჩქარეების შემცველი ამოცანების გაანალიზება
ამოცანები დაკავშირებულ სიჩქარეებზე ისეთი ამოცანებია. რომლებშიც რაოდენობის ცვლილების სიჩქარეს განვიხილავთ მასთან დაკავშირებული სხვა რაოდენობის ცვლილების სიჩქარის შესახებ ინფორმაციით. მოდით, გავერკვიოთ ასეთი ამოცანების ამოხსნაში.
დაკავშირებული ტემპების ამოცანები არის გამოყენებითი ამოცანები, რომლებშიც ვპოულობთ ერთი სიდიდის ცვლილების ტემპის კავშირს მეორე სიდიდის მიმართ, რომლის ტემპიც ცნობილია.
დაკავშირებული ტემპების ამოცანების ამოხსნის დამუშავებული მაგალითი
წარმოიდგინეთ, მოგვცეს შემდეგი ამოცანა:
წრის რადიუსისზრდის ტემპია სანტიმეტრი წამში. გარკვეულ მყისიერ მომენტში რადიუსი არის სანტიმეტრი.
რა არის წრის ფართობისცვლილების ტემპი ამ მყისიერ მომენტში?
გავეცნოთ სიდიდეებსა და მათ ტემპებს
ზოგადად, გვაქვს წრე რომლის რადიუსიც იცვლება დროის მიხედვით. ამოცანაში ნახსენები გვაქვს ორი სიდიდე:
ამოცანაში ასევე მოცემულია ამ სიდიდეების ტემპები. თითოეული სიდიდის ცვლილების ტემპი მოცემულია მისი წარმოებულით:
გავეცნოთ მოცემულ ინფორმაციას
მოცემულია, რომ რადიუსი იზრდება ტემპით სანტიმეტრი წამში. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ასევე მოცემული გვაქვს, რომ გარკვეულ მყის მომენტში რადიუსი არის სანტიმეტრი. ეს ნიშნავს, რომ . შევნიშნოთ, რომ ეს არის მხოლოდ -სთვის და არა — -ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
საბოლოოდ, ჩვენ გვეკითხებიან, რომ მყისიერ მომენტში ვიპოვოთ -ს ცვლილების ტემპი. მათემატიკურად კი ჩვენ ვეძებთ -ს.
ფართობის რადიუსთან დაკავშირება
მას შემდეგ, რაც გავეცანით შესაბამის სიდიდეებს, ჩვენ უნდა მოვძებნოთ ტოლობა ან ფორმულა, რომელიც დააკავშირებს მათ. ჩვენს შემთხვევაში სიდიდეები არის ფართობი და წრის რადიუსი. ეს სიდიდეები ერთმანეთთან კავშირდება წრის ფართობის ფორმულით:
გაწარმოება
ვინაიდან არ გვაქვს ცხადი ფორმულა -სა და -სთვის, შეგვიძლია გამოვიყენოთ არაცხადი გაწარმოება:
ჩვენი ამოხსნის მთავარი იდეა არის: სიდიდეების ერთმანეთთან დაკავშირებით (ე.ი. და ) ჩვენ შეგვეძლო გაწარმოებით დაგვეკავშირებინა მათი ტემპები (ე.ი. და ). ესაა მიზეზი, რატომ ჰქვიათ ამ ამოცანებს „დაკავშირებული ტემპების ამოცანები“!
ამოხსნა
შევნიშნოთ, რომ ჩვენი ტოლობა -ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვისაც სწორია და კონკრეტულად -სთვისაც. ჩვენ შეგვიძლია და შევიტანოთ ამ განტოლებაში:
დასკვნა: ჩვენ ვიპოვეთ, რომ მომენტში ფართობი იზრდება ტემპით კვადრატული სანტიმეტრი წამში.
გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადე ეს სავარჯიშო.
ხშირი შეცდომა: ცვლადი გამოსახულებებისა და მუდმივების არევა
როგორც ნახეთ, დაკავშირებული ტემპების ამოცანები მოიცავს ბევრ გამოსახულებას. ზოგი წარმოადგენს რაოდენობას, ზოგი კი — ტემპს. ზოგი იცვლება, ზოგი მუდმივია.
მნიშვნელოვანია, დარწმუნდეთ, რომ ყველა გამოსახულების მნიშვნელობა გესმით და შეგიძლიათ მიანიჭოთ თავიანთი შესაბამისი მნიშვნელობები (როცა მოცემულია).
ჩვენ გირჩევთ, რომ შეასრულოთ იგივე ანალიზი, რაც მაგალითსა და ამოცანათა ჯგუფ 1-შია მოცემული: რა არის ყველა შესაბამისი სიდიდე? რა არის მათი ტემპები? რა არის მათი განზომილებები? რა არის მათი რიცხვითი მნიშვნელობები?
ხშირი შეცდომა: ისეთი ტოლობის არჩევა, რომელიც არ შეესაბამება მოცემულ ამოცანას
როგორც ნახეთ, ტოლობა, რომელიც აკავშირებს ყველა სიდიდეს, გადამწყვეტ როლს ასრულებს ამოცანის ამოხსნაში. ხშირად გვეხმარება სიტუაციის აღმწერი გარკვეული ტიპის დიაგრამები შესაბამისი სიდიდეებით. მაგალითისთვის განვიხილოთ ამოცანა 2. ამოცანა აღწერს მართკუთხა სამკუთხედს.
დიაგრამა ცხადყოფს, რომ ტოლობა, რომელსაც ვეძებთ, აკავშირებს სამკუთხედის სამივე გვერდს, რაც შეიძლება გაკეთდეს პითაგორას თეორემით:
დიაგრამის გარეშე ჩვენ შეიძლება, შემთხვევით აგვრეოდა სამკუთხედის ფართობში...
...ან , და სიდიდეებს მოვქცეოდით, როგორც სამკუთხედის სამ კუთხეს...
...ან შეიძლება, სიდიდეს მოვქცეოდით, როგორც კუთხეს, და გამოგვეყენებისა რაიმე ტრიგონომეტრიული განტოლება
ყველა ეს განტოლება შეიძლება გამოგადგეთ სხვა დაკავშირებული ტემპების ამოცანებში, მაგრამ არა — ამოცანა 2-ში.
გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.