ლოპიტალის წესის მიმოხილვა

ლოპიტალის წესი გვეხმარება ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ ან ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍ ფორმის განუსაზღვრელი ზღვრების შეფასებაში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის გვეხმარება, ვიპოვოთ ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, სადაც ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}u(x)=\underset{x\to c}{lim}v(x)=0}$‍ (ან, ალტერნატიულად, სადაც ორივე ზღვარი არის $\pm \mathrm{\infty }$‍).

ფაქტობრივად, წესი ამბობს, რომ თუ ზღვარი ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ არსებობს, მაშინ ეს ორი ზღვარი არის ტოლი:

მაგალითად, ვიპოვოთ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}}$‍.

$x=0$‍-ის ჩასმა ${\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}$‍-ში შედეგად გვაძლევს განუსაზღვრელ ფორმას ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. ასე რომ, მოდით, გამოვიყენოთ ლოპიტალის წესი.

აღვნიშნოთ, რომ ლოპიტალის წესის გამოყენება მხოლოდ იმიტომ შეგვეძლო, რომ ზღვარი ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[7x-\sin (x)]}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[x^2+\sin (3x)]}}}$‍ ნამდვილად არსებობს.

მაგალითად, ვიპოვოთ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}}$‍. გამოსახულებაში $x=0$‍-ის ჩასმა შედეგად გვაძლევს განუსაზღვრელ ფორმას $1^{{}^{\mathrm{\infty }}}$‍.

გამოსახულების გაანალიზების გასაადვილებლად, მოდით, ავიღოთ მისი ნატურალური ლოგარითმი (ეს გავრცელებული ხერხია რთულ მაჩვენებლიან ფუნქციებთან მუშაობისას). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დავუშვათ, $y=(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}$‍, ვიპოვით ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)}$‍-ს. როგორც კი ამას ვიპოვით, შეგვეძლება, ვიპოვოთ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y}$‍.

$\ln (y)={\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍

$x=0$‍-ის ${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍-ში ჩასმა შედეგად გვაძლევს განუსაზღვრელ ფორმას ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍, ასე რომ, დროა, ლოპიტალის წესი დაგვეხმაროს!

ჩვენ ვხედავთ, რომ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)=2}$‍, რაც ნიშნავს, რომ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=e^2}$‍.