ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 1: წარმოებულის მნიშვნელობა კონტექსტში

იმ ამოცანების გაანალიზება, რომლებიც მოცემულ კონტექსტში ცვლილების სიჩქარეს შეიცავს

დიფერენციალური კალკულუსი სულ მყისიერი ცვლილების სიჩქარეზეა. მოდით, ვნახოთ, როგორ შეიძლება ამის გამოყენება რეალური სამყაროს ამოცანების გადასაჭრელად.

f

ფუნქციის წარმოებულის,

f^{'}

-ის ინტერპრეტაციის ერთ-ერთი გზაა, რომ

f^{'} (k)

არის

f

ფუნქციის მყისიერი ცვლილების ტემპი

x = k

წერტილში. მოდით, ვნახოთ, როგორ შეგვიძლია ამ ინტერპრეტაციის გამოყენება ამოცანების ამოსახსნელად.

ვთქვათ, წყლის ავზი ივსება და

t

წამის შემდეგ ავზში წყლის მოცულობა ლიტრებში წრფივი ფუნქციაა

V_{1} (t) = \frac{2}{3} t

ფუნქციის დახრილობაა

\frac{2}{3}

, რომელიც წარმოადგენს ცვლილების ტემპს. სხვა სიტყვებით, ავზის შევსების ტემპი

\frac{2}{3}

ლიტრია თითოეულ წამში.

წრფივი ფუნქციის ცვლილების ტემპი ყოველთვის მუდმივია, რაც უფრო ადვილს ხდის მის განხილვას.

ახლა, ვთქვათ, სხვა ავზი ივსება და ამ შემთხვევაში მოცულობა

V_{2} (t) = 0, 1 t^{2}

წრფივი ფუნქცია არაა.

შევნიშნოთ, რომ გრაფიკი თავიდან ნელა იზრდება და შემდეგ ხდება უფრო ციცაბო.

V_{2}

ფუნქციის ცვლილების ტემპი არ არის მუდმივი.

თუკი გვინდა

V_{2}

ფუნქციის ცვლილების ტემპის ანალიზი, შეგვიძლია, ვისაუბროთ ნებისმიერ მოცემულ წერტილში მის მყისიერ ცვლილების ტემპზე. ფუნქციის მყისიერი ცვლილების ტემპი მოიცემა ფუნქციის წარმოებულით.

V_{2}^{'} (t) = 0, 2 t

მაგალითად,

V_{2}^{'} (5) = 1

. მათემატიკურად ეს ნიშნავს, რომ

x = 5

წერტილში

V_{2}

ფუნქციის მხების დახრილობა არის

1

. რას ვიგებთ ამით წყლის ავზთან დაკავშირებით?

მხების დახრილობა მიუთითებს დროის კონკრეტულ მომენტში მრუდის დახრილობას. ვინაიდან ჩვენ უკვე ვნახეთ, როგორ გვაძლებს დახრილობა ცვლილების ტემპს, შეგვიძლია

V_{2}^{'} (5) = 1

-ის ინტერპრეტაცია, როგორც:

$t = 5$ ‍ წამზე ავზის შევსების ტემპია თითოეულ წამში $1$ ‍ ლიტრი.

ამ ინტერპრეტაციის შესახებ შევნიშნოთ, რომ:

პირველ ყოვლისა, ტემპის ერთეულია ლიტრი წამში. წარმოებულის ერთეული ყოველთვის არის დამოკიდებული სიდიდის (მაგ., ლიტრი) შეფარდება დამოუკიდებელ სიდიდესთან (მაგ., წამი).

გარდა ამისა, ტემპი მოიცება დროის კონკრეტულ მომენტში (მაგ.,

t = 5

წამი), რადგან ის არის მყისიერი. თუ ავიღებთ დროის სხვა მომენტს, ტემპი უნდა იყოს განსხვავებული. დროის ინტერვალს შეხედეთ, ტემპი არ არის მუდმივი.

ამოცანა 1.A

ამოცანათა ჯგუფში 1 ჩვენ გავაანალიზებთ შემდეგ შემთხვევას:

ლინდსი სკოლიდან ფეხით ბრუნდება სახლში. $t$ ‍ წუთის შემდეგ სკოლიდან მისი მანძილი მეტრებში წარმოდგინდება, როგორც წარმოებადი ფუნქცია $D$ ‍.

რა ერთეული უნდა გამოვიყენოთ, რომ გავზომოთ $D^{'} (t)$ ‍?

ამოცანა 2

H

წარმოადგენს ხის სიმაღლეს სანტიმეტრებში, მისი დარგვიდან

t

კვირის შემდეგ.

ოთხ მოსწავლეს კითხეს

H^{'} (5) = 3

ინტერპრეტაცია მოცემულ სიტუაციაში.

შეგიძლიათ თუ არა, შეუსაბამოთ მასწავლებლის კომენტარი ინტერპრეტაციას?

1

ხშირი შეცდომა: ერთეულის დავიწყება ან არასწორი ერთეულის გამოყენება

დაიმახსოვრეთ: სიტუაციებზე მორგებული ამოცანების ანალიზისას გახსოვდეთ, რომ ჩვენ ყოველთვის უნდა გამოვიყენოთ ერთეულები.

მაგალითად, ამოცანა 2-ში

H

იღებს არგუმენტს, რომელიც იზომება კვირებში, და გვაძლევს მნიშვნელობას, რომელიც იზომება სანტიმეტრებში. მისი წარმოებული

H^{'}

ასევე იღებს არგუმენტს, რომელიც იზომება კვირებში, მაგრამ მისი მნიშვნელობა არის ტემპი სანტიმეტრი კვირაში.

კიდევ ერთი ხშირი შეცდომაა: ისეთი ფრაზის გამოყენება, რომელიც გულისხმობს „დროის შუალედის განმავლობაში“, ნაცვლად ფრაზისა „დროის მომენტში“

წარმოებული არის მყისიერი ცვლილების ტემპი. შესაბამისად, როცა ფუნქციის ტემპს ვუკეთებთ წარმოებულის ინტერპრეტაცის, ყოველთვის უნდა მივუთითოთ კონკრეტული წერტილი, როცა სამართლიანია.

მყისიერი ცვლილების ტემპთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა

განვიხილოთ შემდეგი ამოცანა:

კარლოსს მიღებული აქვს გამოწერილი მედიკამენტის საწყისი დოზა. $t$ ‍ საათის შემდეგ კარლოსის სისხლძარღვებში მედიკამენტის რაოდენობა მილიგრამებში მოცემულია შემდეგი ფუნქციით:

$M (t) = 20 \cdot e^{^{- 0, 8 t}}$ ‍

რა არის მედიკამენტის დარჩენილი რაოდენობის მყისიერი ცვლილების ტემპი $1$ ‍ საათის შემდეგ?

ამ ამოცანის წაკითხვისას პირველი, რაც უნდა გაგვახსენდეს, არის ის, რომ გვეკითხებიან სიდიდის მყისიერი ცვლილების ტემპს. ეს ნიშნავს, რომ უნდა გამოვიყენოთ წარმოებული.

ერთადერთი ფუნქცია, რომლის წარმოებულის გამოყენებაც შეგვიძლია, არის

M

, მაგრამ, მოდით, დავრწმუნდეთ, რომ ეს ისაა, რაც გვინდა:

M

გვაძლევს კარლოსის სისხლძარღვებში დარჩენილი მედიკამენტის რაოდენობის დამოკიდებულებას დროზე და ჩვენ გვეკითხებიან ამ რაოდენობის მყისიერი ცვლილების ტემპს. ამრიგად, დიახ, ჩვენ გვჭირდება

M^{'}

M^{'} (t) = - 16 \cdot e^{- 0, 8 t}

ჩვენ გვეკითხებიან მყისიერი ცვლილების ტემპს $1$ ‍ საათის შემდეგ, რაც ნიშნავს, რომ გვჭირდება,

t = 1

მომენტში გამოვთვალოთ

M^{'}

მნიშვნელობა:

M^{'} (1) = - 16 \cdot e^{- 0, 8} \approx - 7, 2

საბოლოოდ, ჩვენ უნდა გვახსოვდეს ერთეულების გამოყენება. რადგან

M

გვაძლევს მილიგრამების რაოდენობას საათებში მიღებული არგუმენტისთვის, ერთეული, რომელშიც

M^{'}

-ს გავზომავთ, იქნება მილიგრამი საათში.

დასკვნა: მედიკამენტის დარჩენილი რაოდენობის მყისიერი ცვლილების ტემპი

1

საათის შემდეგ არის $- 7, 2$ ‍ მილიგრამი საათში.

ამოცანა 3

C

გვაძლევს კომპანიის კონფიდენციალური

w

გირვანქა განადგურებული დოკუმენტების ღირებულებას დოლარებში.

C (w) = 0,001 w^{3} - 0, 15 w^{2} + 7, 5 w

რა არის $10$ ‍ გირვანქა დუკუმენტების ფასის მყისიერი ცვლილების ტემპი?

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

ხშირი შეცდომა: წარმოებულის მაგივრად თავდაპირველი ფუნქციის გამოთვლა

დაიმახსოვრეთ: როცა

f

ფუნქციის ცვლილების ტემპს გვეკითხებიან, უნდა ვიპოვოთ წარმოებული

f^{'}

f

ფუნქციის წერტილში გამოთვლა არანაირ ინფორმაციას არ მოგვცემს

f

ფუნქციის ცვლილების ტემპის შესახებ ამ წერტილში.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.