ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 7: ფუნქციების გაწარმოების სტრატეგია

ფუნქციების გაწარმოების სტრატეგია

გაწარმოებას უამრავი წესი აქვს და მათი გამოყენების უამრავი გზა არსებობს! მოდით, უფრო ახლოდან დავაკვირდეთ გაწარმოებას და შევიმუშავოთ მეთოდი, რომელიც დაგვეხმარება ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებულის ეფექტურად და უშეცდომოდ პოვნაში.

ბევრმა სტუდენტმა იცის გაწარმოების წესები, თუმცა მაინც უჭირთ მათი გამოყენება სწორ სიტუაციაში. ამ სირთულის შესამცირებლად ჩვენ გვჭირდება, სწრაფად დავყოთ ფუნქციები კატეგორიებად, ვიცოდეთ, რომელი წესი გამოვიყენოთ და, თუნდაც, გადავწეროთ ფუნქცია სხვა ფორმით, რათა გავიადვილოთ გაწარმოება.

აქ ცნობარის სახით მოცემულია ყველაზე გავრცელებული გაწარმოების წესების შეჯამება:

სახელი	წესი
ხარისხი	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
ჯამი	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
ნამრავლი	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
შეფარდება	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
ჯაჭვური	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ბოლო სამ წესზე, რადგან, როგორც წესი, მათი გამოყენება ყველაზე რთულია.

ნამრავლის, შეფარდებისა და შედგენილი ფუნქციების განსაზღვრა

უმრავლეს შემთხვევაში გაწარმოების წესი გვეუბნება, როგორ უნდა გავაწარმოოთ კონკრეტული სახის ფუნქცია, როგორიცაა, მაგალითად, გაწარმოების წესი

\sin (x)

-სთვის ან ხარისხის წესი.

თუმცა არსებობს სამი ძალიან მნიშვნელოვანი წესი, რომლებიც ზოგად შემთხვევებში გამოდგება და რომლებიც დამოკიდებულია მხოლოდ გასაწარმოებელი ფუნქციის აგებულებაზე. ეს წესებია ნამრავლის, შეფარდებისა და ჯაჭვური წესი. ამიტომ ეძებეთ ისინი. ჰკითხეთ თქვენს თავს: „ვხედავ ნამრავლს, შეფარდებას ან რთულ ფუნქციას?“

ნამრავლი: თუ თქვენ ხედავთ რაღაც

(x^{2} + 1) \cdot \sin (x)

ფუნქციის მსგავსს, თქვენ უნდა შეამჩნიოთ, რომ ეს არის ორი ფუნქციის ნამრავლი. აქედან კი უკვე შეგიძლიათ, გამოიყენოთ ნამრავლის წესი.

შეფარდება: მსგავსად, თუ თქვენ ხედავთ რაღაც

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

ფუნქციის მსგავსს, თქვენ უნდა შეამჩნიოთ, რომ ეს არის ორი ფუნქციის შეფარდება, რომლისთვისაც გამოდგება განაყოფის წესი.

რთული ფუნქცია: ბოლოს, თუ თქვენ ხედავთ რაღაც

(2 x^{2} - 4)^{5}

ფუნქციის მსგავსს, ეცადეთ, რომ მასზე იფიქროთ, როგორც შიდა და გარე ფუნქციებზე:

\underset{გარე}{\underset{⏟}{(\overset{შიდა}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

ფუნქციათა ამ სახეს ჰქვია რთული ფუნქცია და მის გასაწარმოებლად შეგიძლიათ ჯაჭვური წესის გამოყენება.

ამოცანა 1

ჯეიკი ცდილობდა

(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)

ფუნქციის წარმოებულის პოვნას. აი, მისი ნამუშევარი:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

სწორია თუ არა ჯეიკის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?

(Choice A)
ჯეიკის ნამუშევარი სწორია.
(Choice B)
ჯეიკის ნამუშევარი არასწორია. მან არ გამოიყენა ჯაჭვური წესი სწორად.
(Choice C)
ჯეიკის ნამუშევარი არასწორია. მან არ გამოიყენა ნამრავლის წესი სწორად.
(Choice D)
ჯეიკის ნამუშევარი არასწორია. მან არ გააწარმოა $\sin (x)$ ‍ სწორად.

[მაჩვენე სწორი მეთოდი]

ხშირი შეცდომა: ნამრავლის ან განაყოფის წესის გამოყენების დავიწყება

დაიმახსოვრეთ: წარმოებულების ერთმანეთზე გამრავლება არაა იგივე, რაც ნამრავლის წესის გამოყენება.

მსგავსად, წარმოებულების შეფარდების პოვნა არაა იგივე, რაც განაყოფის წესის გამოყენება.

ამოცანა 2

ლეონი ცდილობდა

\sin (x^{2} + 5 x)

ფუნქციის წარმოებულის პოვნას. აი, მისი ნამუშევარი:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

სწორია თუ არა ლეონის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?

(Choice A)
ლეონის ნამუშევარი სწორია.
(Choice B)
ლეონის ნამუშევარი არასწორია. მან ჯაჭვური წესის ნაცვლად გამოიყენა ნამრავლის წესი.
(Choice C)
ლეონის ნამუშევარი არასწორია. მან არ გამოიყენა ნამრავლის წესი სწორად.
(Choice D)
ლეონის ნამუშევარი არასწორია. მან არ გააწარმოა $x^{2} + 5 x$ ‍ სწორად.

[მაჩვენე სწორი მეთოდი]

ხშირი შეცდომა: ფუნქციის აღნიშვნის არევა გამრავლებაში

როგორც ამოცანა 2-ში ვნახეთ,

\sin (x^{2} + 5)

არის რთული ფუნქცია, სადაც გარე ფუნქცია არის

\sin (x)

, ხოლო შიდა ფუნქცია არის

x^{2} + 5

. მიუხედავად ამისა, ზოგ ადამიანს აბნევს აღნიშვნა და ფიქრობენ, რომ ეს არის ნამრავლი

\sin (x) (x^{2} + 5)

. ეს სულ სხვა ფუნქციაა და მისი გაწარმოება არასწორ შედეგამდე მიგვიყვანს.

ჩვენ შეგვიძლია, გადავწეროთ ფუნქცია სხვა სახით და გაწარმოება გავამარტივოთ.

გავუსწოროთ თვალი: ნამრავლის, შეფარდებისა და ჯაჭვური წესები მოითხოვს ბევრ შრომას. განაყოფის წესი განსაკუთრებით შრომატევადია. მაშინ რატომ ვიყენებთ მათ, თუ აუცილებელი არაა? მომდევნო სამი მაგალითი გვიჩვენებს ნამრავლებსა და შეფარდებებს, რომელებიც შეიძლება, გადაიწეროს და მათი გაწარმოება გაადვილდეს.

გამოსახულებების უფრო ეფექტური ფორმით გადაწერის არსი მხოლოდ მის მოხერხებულობაში არ მდგომარეობს; რაც უფრო მარტივი და მოკლეა გაწარმოება, მით ნაკლებია შეცდომის დაშვების შანსი!

ხანდახან ჩვენ შეგვიძლია, ნამრავლი გადავწეროთ მარტივ მრავალწევრად.

ჩვენ შეგვეძლო

(x + 5) (x - 3)

ფუნქციის წამორებულის პოვნა ჯაჭვური წესით, თუმცა ეს იმაზე ბევრად მეტ შრომას მოითხოვს, ვიდრე საჭიროა. ამის ნაცვლად, შეგვიძლია, გავშალოთ გამოსახულება

x^{2} + 2 x - 15

ფორმით, შემდეგ კი გამოვიყენოთ ხარისხის წესი წარმოებულის მისაღებად:

2 x + 2

უკეთესად აღსაქმელად, უბრალოდ, შეხედეთ, რამდენი შრომა დაგვჭირდებოდა ნამრავლის წესის გამოყენების შემთხვევაში:

ნამრავლის წესი	ხარისხის წესი
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

დავაზუსტოთ: ორივე გზა არის სწორი, თუმცა ხარისხსის წესის გამოყენება ამცირებს საჭირო დროსა და შეცდომის დაშვების შანსებს.

ამოცანა 3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

როგორ გადაწერდით $f (x)$ ‍ ფუნქციას ისე, რომ მისი გაწარმოება შესაძლებელი იყოს ხარისხის წესით?

მსგავსად, შეფარდების შემცველი გარკვეული ამოცანები შეიძლება, გადაიწეროს ისე, რომ მიესადაგოს ხარისხის წესი

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ჩვენ შეგვეძლო, გამოგვეყენებინა განაყოფის წესი. მიუხედავად ამისა, უფრო ადვილი იქნებოდა, ჯერ გაყოფით მიგვეღო

0, 5 x^{4} - 4 x

, ხოლო შემდეგ გამოგვეყენებინა ხარისხის წესი.

თუ ამას გავაკეთებთ გრძელი გზით, განაყოფის წესის გამოყენებით, იმავე პასუხს მივიღებთ. მიუხედავად ამისა, ასეთ შემთხვევაში შეცდომას უფრო დიდი ალბათობით დავუშვებთ.

[მაჩვენეთ, როგორ კეთდება ეს შეფარდების წესით.]

ყველა შეფარდება ასეთი ფორმით ვერ გადაიწერება. მაგალითად, შეუძლებელია

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

ფუნქციის გაშლა მრავალწევრად.

გახსოვდეთ: თქვენ ამ მეთოდის გამოყენება შეგიძლიათ მაშინ, როდესაც მნიშვნელი შეიცავს ერთადერთ წევრს.

როდესაც მნიშვნელი არის მრავალწევრი, თქვენ მისი გამარტივება, სავარაუდოდ, ფრჩხილებს გარეთ გატანითა და შეკვეცით შეგიძლიათ.

ამოცანა 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

ბოლო მაგალითი: შეფარდების გადაწერა ნამრავლად

ბევრი ადამიანისთვის ნამრავლის წესის გამოყენება უფრო მარტივია, ვიდრე განაყოფის წესისა. საბედნიეროდ, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია შეფარდების ნამრავლად გადაწერა.

დავუშათ, გვჭირდება

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

ფუნქციის გაწარმოება, თუმცა არ გვახსოვს განაყოფის წესში წევრების თანმიმდევრობა. შეგვიძლია, მრიცხველი და მნიშვნელი გამოვყოთ ერთმანეთისგან მამრავლებად, შემდეგ მნიშვნელი გადავწეროთ უარყოფითი მაჩვენებლით ისე, რომ აღარ გვქონდეს არანაირი შეფარდება.

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

ახლა კი უკვე მზად ვიქნებოდით ნამრავლის წესის გამოსაყენებლად. (შენიშვნა: ჩვენ ასევე გამოვიყენებდით ჯაჭვურ წესს, რათა გაგვეწარმოებინა ფესვიანი გამოსახულება.)

ამოცანა 5

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

როგორ გადაწერდით $h (x)$ ‍ ფუნქციას ისე, რომ მისი გაწარმოება შესაძლებელი იყოს ნამრავლის წესით?

გინდათ მეტი ვარჯიში? სინჯეთ ეს სავარჯიშო.

ხშირი სირთულე: თუ თქვენ მიჩვეული არ ხართ, შეიძლება გაგიჭირდეთ ფესვისა და შებრუნებულების გადაყვანა ხარისხებში (მაგალითები:

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

და

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

). თუ გინდათ დამატებითი ვარჯიში ამ თემაზე, ნახეთ ეს სავარჯიშოები:

შეჯამება

თავისუფლად გაწარმოება მოითხოვს, იცოდეთ, როდის და რომელი წესი უნდა გამოიყენოთ. ის ასევე მოითხოვს გამოსახულების სხვა უფრო ადვილი ფორმით გადაწერის შესაძლებლობის დანახვას.

აქ არის დიაგრამა, რომელიც აჯამებს ამ პროცესს:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.