ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 1: რთული ფუნქციის გაწარმოება

რთული ფუნქციის გაწარმოება

ჯაჭვური წესი გვეუბნება, როგორ ვიპოვოთ შედგენილი ფუნქციის წარმოებული. განაახლეთ თქვენი ცოდნა შედგენილ ფუნქციებზე და ისწავლეთ ჯაჭვური წესის სწორად გამოყენება.

ჯაჭვური წესი ამბობს:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

ის გვეუბნება, თუ როგორ გავაწარმოოთ რთული ფუნქციები.

რთული ფუნქციების მოკლე მიმოხილვა

ფუნქცია რთულია, თუკი შეგვიძლია, ის ჩავწეროთ, როგორც

f (g (x))

. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ფუნცია ფუნქციაში ან ფუნქციის ფუნქცია.

მაგალითად,

\cos (x^{2})

არის რთული, რადგან თუ ჩვენ ავიღებთ

f (x) = \cos (x)

და

g (x) = x^{2}

, მაშინ

\cos (x^{2}) = f (g (x))

g

არის ფუნქცია

f

-ში, ამრიგად,

g

-ს ვუწოდებთ „შიდა“ ფუნქციას,

f

-ს კი — „გარე“ ფუნქციას.

\underset{გარე}{\underset{⏟}{\cos (\overset{შიდა}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

მეორე მხრივ,

\cos (x) \cdot x^{2}

არ არის რთული ფუნქცია. ეს არის

f (x) = \cos (x)

და

g (x) = x^{2}

ფუნქციების ნამრავლი, მაგრამ არცერთი ფუნქცია არ არის მეორის ფუნქცია.

ამოცანა 1

არის $g (x) = \ln (\sin (x))$ ‍ რთული ფუნქცია? თუკი ასეა, რა არის მისი „შიდა“ და „გარე“ ფუნქციები?

(Choice A)
$g$ ‍ რთული ფუნქციაა. „შიდა“ ფუნქცია არის $\ln (x)$ ‍, ხოლო „გარე“ ფუნქციაა $\sin (x)$ ‍.
(Choice B)
$g$ ‍ რთული ფუნქციაა. „შიდა“ ფუნქცია არის $\sin (x)$ ‍, ხოლო „გარე“ ფუნქციაა $\ln (x)$ ‍.
(Choice C)
$g$ ‍ არ არის რთული ფუნქცია.

ხშირი შეცდომა: ვერმიხვედრა იმისა, არის თუ არა ფუნქცია რთული

ხშირად ერთადერთი გზა ფუნქციის გასაწარმოებლად არის ჯაჭვური წესი. თუ ვერ მივხვდებით, რომ ფუნქცია რთულია და ჯაჭვური წესის გამოყენება შეგვიძლია, ვერ შევძლებთ სწორად გაწარმოებას.

მეორე მხრივ, ისეთ ფუნქციაზე, რომელიც რთული არ არის, ჯაჭვური წესის გამოყენება ასევე არასწორ შედეგს მოგვცემს.

განსაკუთრებით ტრანსცენდენტულ ფუნქციებში (ე.ი. ტრიგონომეტრულ და ლოგარითმულ ფუნქციებში) მოსწავლეები ხშირად ურევენ რთულ ფუნქციებს, მაგალითად,

\ln (\sin (x))

-ს, ფუნქციათა ნამრავლში, მაგალითად,

\ln (x) \sin (x)

-ში.

ამოცანა 2

$h (x) = \cos^{2} (x)$ ‍ რთული ფუნქციაა? თუკი ასეა, რა არის მისი „შიდა“ და „გარე“ ფუნქციები?

(Choice A)
$h$ ‍ რთული ფუნქციაა. „შიდა“ ფუნქციაა $\cos (x)$ ‍, ხოლო „გარე“ ფუნქციაა $x^{2}$ ‍.
(Choice B)
$h$ ‍ რთული ფუნქციაა. „შიდა“ ფუნქციაა $x^{2}$ ‍, ხოლო „გარე“ ფუნქციაა $\cos (x)$ ‍.
(Choice C)
$h$ ‍ არ არის რთული ფუნქცია.

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

ხშირი შეცდომა: შიდა და გარე ფუნქციების არასწორად დადგენა

მაშინაც კი, როცა მოსწავლე მიხვდება, რომ ფუნქცია რთულია, შეიძლება, მან შიდა და გარე ფუნქციები არასწორად განსაზღვროს, რაც ნამდვილად არასწორ წარმოებულამდე მიიყვანს.

მაგალითად, რთულ ფუნქციაში

\cos^{2} (x)

, გარე ფუნქცია არის

x^{2}

, ხოლო შიდა ფუნქციაა

\cos (x)

. მოსწავლეებს ხშირად აბნევს ამგვარი ფუნქციები და ისინი ფიქრობენ, რომ

\cos (x)

არის გარე ფუნქცია.

ჯაჭვური წესის გამოყენების ამოხსნილი მაგალითები

მოდით, ვნახოთ, როგორ გამოიყენება ჯაჭვური წესი

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

ფუნქციის გაწარმოებისთვის. შევნიშნოთ, რომ

h

არის რთული ფუნქცია:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{გარე}{\underset{⏟}{(\overset{შიდა}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & შიდა ფუნქცია \\ f (x) & = x^{5} & გარე ფუნქცია \end{aligned}

რადგან

h

რთული ფუნქციაა, შეგვიძლია, გასაწარმოებლად ჯაჭვური წესი გამოვიყენოთ:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

სიტყვიერად, წესი გვეუბნება, რომ რთული ფუნქციის წარმოებული არის გარე ფუნქციის წარმოებულის,

f^{'}

-ის, ნამრავლი შიდა ფუნქციის წარმოებულზე,

g^{'}

-ზე, სადაც გარე ფუნქცია არის შიდა ფუნქციის

g

ფუნქცია.

სანამ გამოვიყენებთ ჯაჭვურ წესს, ვიპოვოთ შიდა და გარე ფუნქციების წარმოებულები:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

ახლა გამოვიყენოთ ჯაჭვური წესი:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

ვარჯიში ჯაჭვური წესის გამოყენებაში

ამოცანა 3.A

ამოცანების კრებული 3

\sin (2 x^{3} - 4 x)

ფუნქციის გასაწარმოებლად საჭირო ყველა ნაბიჯს გაგატარებთ.

რა არის $\sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍ ფუნქციის შიდა და გარე ფუნქციები?

(Choice A)
შიდა ფუნქცია არის $\sin (x)$ ‍, გარე ფუნქცია კი — $2 x^{3} - 4 x$ ‍.
(Choice B)
შიდა ფუნქცია არის $2 x^{3} - 4 x$ ‍, გარე ფუნქცია კი — $\sin (x)$ ‍.
(Choice C)
შიდა ფუნქცია არის $2 x^{3}$ ‍ და გარე ფუნქცია არის $- 4 x$ ‍.
(Choice D)
შიდა ფუნქცია არის $- 4 x$ ‍ და გარე ფუნქცია არის $2 x^{3}$ ‍.

ამოცანა 4

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

ამოცანა 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

ამოცანა 6

ქეთი ცდილობს, რომ იპოვოს

(2 x^{2} - 4)^{3}

გამოსახულების წარმოებული. აი, მისი ნაშრომი:

ნაბიჯი 1: ავიღოთ

f (x) = x^{3}

და

g (x) = 2 x^{2} - 4

, მაშინ

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

ნაბიჯი 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

ნაბიჯი 3: წარმოებული არის

f^{'} (g (x))

\frac{d}{d x} [(2 x^{2} - 4)^{3}] = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

სწორია ქეთის ნაშრომი? თუ არა, რა არის შეცდომა?

(Choice A)
ქეთის ნაშრომი სწორია.
(Choice B)
ნაბიჯი 1 არასწორია. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ ტოლია $g (f (x))$ ‍-ის, და არა — $f (g (x))$ ‍-ის.
(Choice C)
ნაბიჯი 2 არასწორია. $f$ ‍-ის წარმოებული არ არის $3 x^{2}$ ‍.
(Choice D)
ნაბიჯი 3 არასწორია. წარმოებული არ არის $f^{'} (g (x))$ ‍.

ხშირი შეცდომა: შიდა ფუნქციის წარმოებულზე გამრავლების დავიწყება

მოსწავლეების ხშირი შეცდომაა მხოლოდ გარე ფუნქციის გაწარმოება, ამიტომ ისინი იღებენ

f^{'} (g (x))

-ს, როცა სწორი პასუხია

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

სხვა ხშირი შეცდომაა: $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍-ის გამოთვლა

სხვა ხშირი შეცდომაა

f (g (x))

-ის გაწარმოება, როგორც წარმოებულების კომპოზიციისა,

f^{'} (g^{'} (x))

-სი.

ესეც არასწორია.

f^{'} (x)

ფუნქციის შიგნით უნდა იყოს

g (x)

და არა —

g^{'} (x)

დაიმახსოვრეთ: $f (g (x))$ ‍-ის წარმოებული არის $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍ და არა — $f^{'} (g (x))$ ‍ ან $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 3

რთული ფუნქციების მოკლე მიმოხილვა

ხშირი შეცდომა: ვერმიხვედრა იმისა, არის თუ არა ფუნქცია რთული

ხშირი შეცდომა: შიდა და გარე ფუნქციების არასწორად დადგენა

ჯაჭვური წესის გამოყენების ამოხსნილი მაგალითები

ვარჯიში ჯაჭვური წესის გამოყენებაში

ხშირი შეცდომა: შიდა ფუნქციის წარმოებულზე გამრავლების დავიწყება

სხვა ხშირი შეცდომაა: f′(g′(x))‍ -ის გამოთვლა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

სხვა ხშირი შეცდომაა: $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍-ის გამოთვლა