If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 1: რთული ფუნქციის გაწარმოება

რთული ფუნქციის გაწარმოება

ჯაჭვური წესი გვეუბნება, როგორ ვიპოვოთ შედგენილი ფუნქციის წარმოებული. განაახლეთ თქვენი ცოდნა შედგენილ ფუნქციებზე და ისწავლეთ ჯაჭვური წესის სწორად გამოყენება.
ჯაჭვური წესი ამბობს:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
ის გვეუბნება, თუ როგორ გავაწარმოოთ რთული ფუნქციები.

რთული ფუნქციების მოკლე მიმოხილვა

ფუნქცია რთულია, თუკი შეგვიძლია, ის ჩავწეროთ, როგორც f(g(x)). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ფუნცია ფუნქციაში ან ფუნქციის ფუნქცია.
მაგალითად, cos(x2) არის რთული, რადგან თუ ჩვენ ავიღებთ f(x)=cos(x) და g(x)=x2, მაშინ cos(x2)=f(g(x)).
g არის ფუნქცია f-ში, ამრიგად, g-ს ვუწოდებთ „შიდა“ ფუნქციას, f-ს კი — „გარე“ ფუნქციას.
cos( x2შიდა )გარე
მეორე მხრივ, cos(x)x2 არ არის რთული ფუნქცია. ეს არის f(x)=cos(x) და g(x)=x2 ფუნქციების ნამრავლი, მაგრამ არცერთი ფუნქცია არ არის მეორის ფუნქცია.
ამოცანა 1
არის g(x)=ln(sin(x)) რთული ფუნქცია? თუკი ასეა, რა არის მისი „შიდა“ და „გარე“ ფუნქციები?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ხშირი შეცდომა: ვერმიხვედრა იმისა, არის თუ არა ფუნქცია რთული

ხშირად ერთადერთი გზა ფუნქციის გასაწარმოებლად არის ჯაჭვური წესი. თუ ვერ მივხვდებით, რომ ფუნქცია რთულია და ჯაჭვური წესის გამოყენება შეგვიძლია, ვერ შევძლებთ სწორად გაწარმოებას.
მეორე მხრივ, ისეთ ფუნქციაზე, რომელიც რთული არ არის, ჯაჭვური წესის გამოყენება ასევე არასწორ შედეგს მოგვცემს.
განსაკუთრებით ტრანსცენდენტულ ფუნქციებში (ე.ი. ტრიგონომეტრულ და ლოგარითმულ ფუნქციებში) მოსწავლეები ხშირად ურევენ რთულ ფუნქციებს, მაგალითად, ln(sin(x))-ს, ფუნქციათა ნამრავლში, მაგალითად, ln(x)sin(x)-ში.
ამოცანა 2
h(x)=cos2(x) რთული ფუნქციაა? თუკი ასეა, რა არის მისი „შიდა“ და „გარე“ ფუნქციები?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

ხშირი შეცდომა: შიდა და გარე ფუნქციების არასწორად დადგენა

მაშინაც კი, როცა მოსწავლე მიხვდება, რომ ფუნქცია რთულია, შეიძლება, მან შიდა და გარე ფუნქციები არასწორად განსაზღვროს, რაც ნამდვილად არასწორ წარმოებულამდე მიიყვანს.
მაგალითად, რთულ ფუნქციაში cos2(x), გარე ფუნქცია არის x2, ხოლო შიდა ფუნქციაა cos(x). მოსწავლეებს ხშირად აბნევს ამგვარი ფუნქციები და ისინი ფიქრობენ, რომ cos(x) არის გარე ფუნქცია.

ჯაჭვური წესის გამოყენების ამოხსნილი მაგალითები

მოდით, ვნახოთ, როგორ გამოიყენება ჯაჭვური წესი h(x)=(56x)5 ფუნქციის გაწარმოებისთვის. შევნიშნოთ, რომ h არის რთული ფუნქცია:
h(x)=( 56xშიდა )5გარეg(x)=56xშიდა ფუნქციაf(x)=x5გარე ფუნქცია
რადგან h რთული ფუნქციაა, შეგვიძლია, გასაწარმოებლად ჯაჭვური წესი გამოვიყენოთ:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
სიტყვიერად, წესი გვეუბნება, რომ რთული ფუნქციის წარმოებული არის გარე ფუნქციის წარმოებულის, f-ის, ნამრავლი შიდა ფუნქციის წარმოებულზე, g-ზე, სადაც გარე ფუნქცია არის შიდა ფუნქციის g ფუნქცია.
სანამ გამოვიყენებთ ჯაჭვურ წესს, ვიპოვოთ შიდა და გარე ფუნქციების წარმოებულები:
g(x)=6f(x)=5x4
ახლა გამოვიყენოთ ჯაჭვური წესი:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4

ვარჯიში ჯაჭვური წესის გამოყენებაში

ამოცანა 3.A
ამოცანების კრებული 3 sin(2x34x) ფუნქციის გასაწარმოებლად საჭირო ყველა ნაბიჯს გაგატარებთ.
რა არის sin(2x34x) ფუნქციის შიდა და გარე ფუნქციები?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 4
ddx[cos(x)]=?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
ამოცანა 5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
ამოცანა 6
ქეთი ცდილობს, რომ იპოვოს (2x24)3 გამოსახულების წარმოებული. აი, მისი ნაშრომი:
ნაბიჯი 1: ავიღოთf(x)=x3 და g(x)=2x24, მაშინ (2x24)3=f(g(x)).
ნაბიჯი 2: f(x)=3x2
ნაბიჯი 3: წარმოებული არის f(g(x)):
ddx[(2x24)3]=3(2x24)2
სწორია ქეთის ნაშრომი? თუ არა, რა არის შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ხშირი შეცდომა: შიდა ფუნქციის წარმოებულზე გამრავლების დავიწყება

მოსწავლეების ხშირი შეცდომაა მხოლოდ გარე ფუნქციის გაწარმოება, ამიტომ ისინი იღებენ f(g(x))-ს, როცა სწორი პასუხია f(g(x))g(x).

სხვა ხშირი შეცდომაა: f(g(x))-ის გამოთვლა

სხვა ხშირი შეცდომაა f(g(x))-ის გაწარმოება, როგორც წარმოებულების კომპოზიციისა, f(g(x))-სი.
ესეც არასწორია. f(x) ფუნქციის შიგნით უნდა იყოს g(x) და არა — g(x).
დაიმახსოვრეთ: f(g(x))-ის წარმოებული არის f(g(x))g(x) და არა — f(g(x)) ან f(g(x)).

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.