ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: საშუალო მნიშვნელობის თეორემა

დიფერენცირებადობის აგება საშუალო მნიშვნელობის თეორემისთვის

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა რომ გამოგვადგეს, ფუნქცია გაწარმოებადი უნდა იყოს. ისწავლეთ, თუ რატომაა ასე, აგრეთვე გაიგეთ, როგორ დავრწმუნდეთ, რომ თეორემის გამოყენება შეიძლება ამოცანის კონტექსტში.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა (სმთ) არის არსებობის, შუალედური და ვაიერშტრასის თეორემების მსგავსი თეორება. ჩვენი მიზანია, გავიგოთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემა და ვისწავლოთ მისი გამოყენება.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა და პირობები

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს, რომ f, რომელიც გაწარმოებადია a-დან b-მდე ინტერვალზე, ამ ინტერვალზე არსებობს ისეთი c რიცხვი, რომლისთვისაც f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis უდრის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს ამ ინტერვალზე.

f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, b, minus, a, end fraction

გრაფიკულად თეორემა ამტკიცებს, რომ მრუდზე ორ ბოლოს შორის არის წერტილი, რომელზეც მრუდის მხები პარალელურია ბოლოებზე გამავალი მკვეთის.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მოქმედების ზუსტი პირობებია, რომ f გაწარმოებადია left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis ღია ინტერვალზე და უწყვეტია open bracket, a, comma, b, close bracket ჩაკეტილ ინტერვალზე. რადგან გაწარმოებადობა უწყვეტობასაც გულისხმობს, პირობა შეგვიძლია, აღვწეროთ, როგორც გაწარმოებადობა left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis-ზე და უწყვეტობა x, equals, a-სა და x, equals, b-ზე.

a-სა და b-ს მსგავსი პარამეტრების გამოყენება და ღია და ჩაკეტილ ინტერვალებზე მნიშვნელოვანია, თუ გვინდა მათემატიკური სიზუსტე, მაგრამ ეს პირობები სინამდვილეში შემდეგს ნიშნავს:

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა რომ შესრულდეს, ფუნქცია გაწარმოებადი უნდა იყოს შესაბამის ინტერვალზე და უწყვეტი ამ ინტერვალის ბოლოებზე.

რატომაა მნიშვნელოვანი გაწარმოებადობა ინტერვალზე.

რომ გავიგოთ, თუ რატომაა მნიშვნელოვანი ეს პირობა, განვიხილოთ f ფუნქცია. ფუნცია მკვეთრად უხვევს x, equals, a-სა და x, equals, b-ს შორის, ასე რომ, იგი არ არის გაწარმოებადი left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis-ზე.

ფუნქციას ნამდვილად მხოლოდ ორი შესაძლო მხები აქვს, რომელთაგან არცერთი არ არის x, equals, a-სა და x, equals, b-ს მკვეთის პარალელური.

რატომაა მნიშვნელოვანი უწყვეტობა ბოლოებზე.

ამის გასაგებად განვიხილოთ g ფუნქცია.

თუ g გაწარმოებადია left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis-ზე და უწყვეტი x, equals, a-სა და x, equals, b-ზე, საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს.

ახლა, მოდით, g შევცვალოთ, რომ არ იყოს უწყვეტი x, equals, b-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis ცალმხრივი ზღვარი უცვლელია, მაგრამ ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ინტერვალზე ყველა შესაძლო მხები აუცილებლად ზრდადია, როცა მკვეთი წრფე კლებადია. ასე რომ, არ გვაქვს მხები, რომელიც მკვეთი წრფის პარალელურია.

ზოგადად, თუ ფუნქცია ბოლოებზე არ არის უწყვეტი, მკვეთი წრფე ჩამოშორდება ინტერვალის მხებებს.

ამოცანების ნაკრებ 1-ში ვაანალიზებთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მოქმედებას h-ის ფუნქციის სხვადასხვა ინტერვალზე.

ამოცანა 1.A

მიმდინარე

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს h-ის open bracket, minus, 5, comma, minus, 1, close bracket ინტერვალზე?

ამოცანა 2

f ფუნქციის გრაფიკს აქვს ვერტიკალური მხები x, equals, 2-ზე.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს f-ის open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket ინტერვალზე?

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

შენიშნეთ: როცა საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებს, ზუსტად არ ვიცით, დასკვნა სწორია თუ არა. ეს არ ნიშნავს, რომ დასკვნა არ არის სწორი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება გვქონდეს წერტილი, რომლის მხები პარალელურია მკვეთის მაშინაც კი, როცა საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებს. უბრალოდ, ამაში დარწმუნებულები ვერ ვიქნებით, თუ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის პირობები არ დაკმაყოფილდა.

მაგალითად, ბოლო ამოცანაში საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებდა f-ის open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket ინტერვალზე, როცა open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket ინტერვალზე ორი ისეთი წერტილია, სადაც მხები ამ ორი წერტილის მკვეთის პარალელურია.

ამოცანა 3

ეს ცხრილი გვაძლევს h ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობას.

x	3	7	10	11
h, left parenthesis, x, right parenthesis	1	5	minus, 2	minus, 6

ჯეიმსმა თქვა: რადგან start fraction, h, left parenthesis, 7, right parenthesis, minus, h, left parenthesis, 3, right parenthesis, divided by, 7, minus, 3, end fraction, equals, 1, უნდა არსებობდეს c რიცხვი open bracket, 3, comma, 7, close bracket ინტერვალზე, რომლისთვისაც h, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 1.

რომელი პირობა ხდის ჯეიმსის მტკიცებას ჭეშმარიტს?

(Choice A)
h უწყვეტია open bracket, 3, comma, 7, close bracket ჩაკეტილ ინტერვალზე.
(Choice B)
h უწყვეტი და კლებადია open bracket, 3, comma, 7, close bracket ჩაკეტილ ინტერვალზე.
(Choice C)
h გაწარმოებადია open bracket, 3, comma, 7, close bracket ჩაკეტილ ინტერვალზე.
(Choice D)
limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 1

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გავრცელებული შეცდომა: ვერმიხვედრა იმისა, თუ როდის სრულდება პირობები

მოდით, მაგალითისთვის ავიღოთ ამოცანა 3. ესენია გავრცელებული გზები, რომლებითაც ვამოწმებთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის პირობებს:

h გაწარმოებადია left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis-ზე და უწყვეტია open bracket, 3, comma, 7, close bracket-ზე.
h გაწარმოებადია left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis-ზე და უწყვეტი x, equals, 3-სა და x, equals, 7-ზე.

მიუხედავად ამისა, ფუნქციის შესახებ ინფორმაცია ყოველთვის ამ ფორმით არ გვექნება. მაგალითად, თუ h გაწარმოებადია open bracket, 3, comma, 7, close bracket-ზე, პირობები სრულდება, რადგან გაწარმოებადობა გულისხმობს უწყვეტობასაც.

კიდევ ერთი მაგალითია, როცა ფუნქცია h გაწარმოებადია უფრო დიდ ინტერვალზე, დავუშვათ, left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis-ზე. მიუხედავად იმისა, რომ უწყვეტობა ნახსენები არ არის, left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis-ზე გაწარმოებადობა მოიცავს გაწარმოებადობას left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis-ზე და უწყვეტობას open bracket, 3, comma, 7, close bracket-ზე.

ამოცანა 4

f გაწარმოებადი ფუნქციაა. f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 2 და f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2.

თითოეული დასკვნა შეუსაბამეთ შესაბამის არსებობის თეორემას.

გავრცელებული შეცდომა: მცდარი არსებობის თეორემის გამოყენება

ამ დროისთვის ვიცნობთ სამ განსხვავებულ არსებობის თეორემას: შუალედური (ბოლცანო-კოშის) მნიშვნელობის თეორემა (შმთ), ვაიერშტრასის თეორემა და საშუალო მნიშვნელობის თეორემა (სმთ). მათ მსგავსი სტრუქტურა აქვთ, მაგრამ მოქმედებენ განსხვავებულ პირობებში და მტკიცებებს აყენებენ განსხვავებული სახის წერტილებზე.

შუალედური (ბოლცანო-კოშის) მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც ფუნქციას კონკრეტული მნიშვნელობა აქვს ორ მოცემულ მნიშვნელობას შორის.
ვაიერშტრასის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც ფუნქცია იღებს მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობას.
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც წარმოებულს კონკრეტული მნიშვნელობა აქვს.

სანამ რომელიმე არსებობის თეორემას გამოიყენებდეთ დარწმუნდით, რომ ამოცანა საკმარისად კარგად გაიგეთ, რათა მიხვდეთ, რომელი მათგანი უნდა გამოვიყენოთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.