If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: საშუალო მნიშვნელობის თეორემა

დიფერენცირებადობის აგება საშუალო მნიშვნელობის თეორემისთვის

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა რომ გამოგვადგეს, ფუნქცია გაწარმოებადი უნდა იყოს. ისწავლეთ, თუ რატომაა ასე, აგრეთვე გაიგეთ, როგორ დავრწმუნდეთ, რომ თეორემის გამოყენება შეიძლება ამოცანის კონტექსტში.
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა (სმთ) არის არსებობის, შუალედური და ვაიერშტრასის თეორემების მსგავსი თეორება. ჩვენი მიზანია, გავიგოთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემა და ვისწავლოთ მისი გამოყენება.

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა და პირობები

საშუალო მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს, რომ f, რომელიც გაწარმოებადია a-დან b-მდე ინტერვალზე, ამ ინტერვალზე არსებობს ისეთი c რიცხვი, რომლისთვისაც f(c) უდრის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს ამ ინტერვალზე.
f(c)=f(b)f(a)ba
გრაფიკულად თეორემა ამტკიცებს, რომ მრუდზე ორ ბოლოს შორის არის წერტილი, რომელზეც მრუდის მხები პარალელურია ბოლოებზე გამავალი მკვეთის.
საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მოქმედების ზუსტი პირობებია, რომ f გაწარმოებადია (a,b) ღია ინტერვალზე და უწყვეტია [a,b] ჩაკეტილ ინტერვალზე. რადგან გაწარმოებადობა უწყვეტობასაც გულისხმობს, პირობა შეგვიძლია, აღვწეროთ, როგორც გაწარმოებადობა (a,b)-ზე და უწყვეტობა x=a-სა და x=b-ზე.
a-სა და b-ს მსგავსი პარამეტრების გამოყენება და ღია და ჩაკეტილ ინტერვალებზე მნიშვნელოვანია, თუ გვინდა მათემატიკური სიზუსტე, მაგრამ ეს პირობები სინამდვილეში შემდეგს ნიშნავს:
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა რომ შესრულდეს, ფუნქცია გაწარმოებადი უნდა იყოს შესაბამის ინტერვალზე და უწყვეტი ამ ინტერვალის ბოლოებზე.

რატომაა მნიშვნელოვანი გაწარმოებადობა ინტერვალზე.

რომ გავიგოთ, თუ რატომაა მნიშვნელოვანი ეს პირობა, განვიხილოთ f ფუნქცია. ფუნცია მკვეთრად უხვევს x=a-სა და x=b-ს შორის, ასე რომ, იგი არ არის გაწარმოებადი (a,b)-ზე.
ფუნქციას ნამდვილად მხოლოდ ორი შესაძლო მხები აქვს, რომელთაგან არცერთი არ არის x=a-სა და x=b-ს მკვეთის პარალელური.

რატომაა მნიშვნელოვანი უწყვეტობა ბოლოებზე.

ამის გასაგებად განვიხილოთ g ფუნქცია.
თუ g გაწარმოებადია (a,b)-ზე და უწყვეტი x=a-სა და x=b-ზე, საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს.
ახლა, მოდით, g შევცვალოთ, რომ არ იყოს უწყვეტი x=b-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, limxbg(x) ცალმხრივი ზღვარი უცვლელია, მაგრამ ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ინტერვალზე ყველა შესაძლო მხები აუცილებლად ზრდადია, როცა მკვეთი წრფე კლებადია. ასე რომ, არ გვაქვს მხები, რომელიც მკვეთი წრფის პარალელურია.
ზოგადად, თუ ფუნქცია ბოლოებზე არ არის უწყვეტი, მკვეთი წრფე ჩამოშორდება ინტერვალის მხებებს.
ამოცანების ნაკრებ 1-ში ვაანალიზებთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის მოქმედებას h-ის ფუნქციის სხვადასხვა ინტერვალზე.
ამოცანა 1.A
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს h-ის [5,1] ინტერვალზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 2
f ფუნქციის გრაფიკს აქვს ვერტიკალური მხები x=2-ზე.
საშუალო მნიშვნელობის თეორემა მოქმედებს f-ის [1,5] ინტერვალზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
შენიშნეთ: როცა საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებს, ზუსტად არ ვიცით, დასკვნა სწორია თუ არა. ეს არ ნიშნავს, რომ დასკვნა არ არის სწორი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეიძლება გვქონდეს წერტილი, რომლის მხები პარალელურია მკვეთის მაშინაც კი, როცა საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებს. უბრალოდ, ამაში დარწმუნებულები ვერ ვიქნებით, თუ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის პირობები არ დაკმაყოფილდა.
მაგალითად, ბოლო ამოცანაში საშუალო მნიშვნელობის თეორემა არ მოქმედებდა f-ის [1,5] ინტერვალზე, როცა [1,5] ინტერვალზე ორი ისეთი წერტილია, სადაც მხები ამ ორი წერტილის მკვეთის პარალელურია.
ამოცანა 3
ეს ცხრილი გვაძლევს h ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობას.
x371011
h(x)1526
ჯეიმსმა თქვა: რადგან h(7)h(3)73=1, უნდა არსებობდეს c რიცხვი [3,7] ინტერვალზე, რომლისთვისაც h(c)=1.
რომელი პირობა ხდის ჯეიმსის მტკიცებას ჭეშმარიტს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გავრცელებული შეცდომა: ვერმიხვედრა იმისა, თუ როდის სრულდება პირობები

მოდით, მაგალითისთვის ავიღოთ ამოცანა 3. ესენია გავრცელებული გზები, რომლებითაც ვამოწმებთ საშუალო მნიშვნელობის თეორემის პირობებს:
  • h გაწარმოებადია (3,7)-ზე და უწყვეტია [3,7]-ზე.
  • h გაწარმოებადია (3,7)-ზე და უწყვეტი x=3-სა და x=7-ზე.
მიუხედავად ამისა, ფუნქციის შესახებ ინფორმაცია ყოველთვის ამ ფორმით არ გვექნება. მაგალითად, თუ h გაწარმოებადია [3,7]-ზე, პირობები სრულდება, რადგან გაწარმოებადობა გულისხმობს უწყვეტობასაც.
კიდევ ერთი მაგალითია, როცა ფუნქცია h გაწარმოებადია უფრო დიდ ინტერვალზე, დავუშვათ, (2,8)-ზე. მიუხედავად იმისა, რომ უწყვეტობა ნახსენები არ არის, (2,8)-ზე გაწარმოებადობა მოიცავს გაწარმოებადობას (3,7)-ზე და უწყვეტობას [3,7]-ზე.
ამოცანა 4
f გაწარმოებადი ფუნქციაა. f(1)=2 და f(5)=2.
თითოეული დასკვნა შეუსაბამეთ შესაბამის არსებობის თეორემას.
1

გავრცელებული შეცდომა: მცდარი არსებობის თეორემის გამოყენება

ამ დროისთვის ვიცნობთ სამ განსხვავებულ არსებობის თეორემას: შუალედური (ბოლცანო-კოშის) მნიშვნელობის თეორემა (შმთ), ვაიერშტრასის თეორემა და საშუალო მნიშვნელობის თეორემა (სმთ). მათ მსგავსი სტრუქტურა აქვთ, მაგრამ მოქმედებენ განსხვავებულ პირობებში და მტკიცებებს აყენებენ განსხვავებული სახის წერტილებზე.
  • შუალედური (ბოლცანო-კოშის) მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც ფუნქციას კონკრეტული მნიშვნელობა აქვს ორ მოცემულ მნიშვნელობას შორის.
  • ვაიერშტრასის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც ფუნქცია იღებს მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობას.
  • საშუალო მნიშვნელობის თეორემა ამტკიცებს წერტილს, სადაც წარმოებულს კონკრეტული მნიშვნელობა აქვს.
სანამ რომელიმე არსებობის თეორემას გამოიყენებდეთ დარწმუნდით, რომ ამოცანა საკმარისად კარგად გაიგეთ, რათა მიხვდეთ, რომელი მათგანი უნდა გამოვიყენოთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.