If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

თემა 5: გაკვეთილი 4

ლოკალური ექსტრემუმი

ლოკალური ექსტრემუმის პოვნა (პირველი რიგის წარმოებულის წესი)

პირველი რიგის წარმოებულის ტესტი არის ფუნქციის გაანალიზების პროცესი პირველი რიგის წარმოებულის გამოყენებით, რათა ვიპოვოთ ექსტრემუმის წერტილი. ეს მოიცავს სხვადასხვა ნაბიჯებს, ასე რომ, ეს პროცესი ისე უნდა დავშალოთ, რომ ავირიდოთ გამორჩენები და შეცდომები.
რა მოხდება, თუ გეტყვით, რომ ფუნქციის მოცემული ფორმულით შესაძლებელია მისი ყველა მაქსიმუმისა და მინიმუმის წერტილის პოვნა? ეს სიმართლეა! ამ პროცესს პირველი რიგის წარმოებულის ტესტს ვუწოდებთ. მოდით, ეს ისე დავშალოთ, რომ ავირიდოთ გამორჩენები და შეცდომები.

მაგალითი: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction-ის ლოკალური ექსტრემუმის წერტილების პოვნა

ნაბიჯი 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis-ის პოვნა
f-ის ლოკალური ექსტრემუმის წერტილებოს საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ f, prime. ასე რომ, ვიწყებთ f-ის გაწარმოებით:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 2, x, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, end fraction
ნაბიჯი 2: ყველა კრიტიკული წერტილისა და ყველა იმ წერტილის პოვნა, სადაც f განუსაზღვრელია.
f ფუნქციის კრიტიკული წერტილები არის x მნიშვნელობები f-ის განსაზღვრის არეში, რომლისთვისაც f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ან f, prime განუსაზღვრელია. ამას გარდა უნდა დავაკვირდეთ წერტილებს, სადაც f ფუნქცია არის განუსაზღვრელი.
ამ წერტილების შესახებ მნიშვნელოვანია ის, რომ f, prime-ის ნიშანი უცვლელი უნდა იყოს ორ მომდევნო წერტილს შორის.
ჩვენს შემთხვევაში ეს წერტილებია x, equals, 0, x, equals, 1 და x, equals, 2.
ნაბიჯი 3: ზრდადი და კლებადი ინტერვალების გაანალიზება
ამის გაკეთება ბევრნაირად შეიძლება, მაგრამ ჩვენ ნიშნების დიაგრამის გამოყენება მოგვწონს. ნიშნების დიაგრამაში თითოეულ ინტერვალზე, რომლებიც ნაბიჯ 2-ში ნაპოვნი მნიშვნელობებითაა შემოსაზრვრული, ვირჩევთ შესამოწმებელ მნიშვნელობას.
ეს არის ჩვენი ფუნქციის ნიშნების დიაგრამა:
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f ზრდადია \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f კლებადია \searrow
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesisx, equals, 1, comma, 5f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f კლებადია \searrow
left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f ზრდადია \nearrow
ნაბიჯი 4: ექსტრემუმის წერტილების პოვნა
ახლა, როცა ვიცით ინტერვალები, სადაც f ზრდადი ან კლებადია, შეგვიძლია, ვიპოვოთ ექსტრემუმის წერტილები. ექსტრემუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც f განსაზღვრულია და f, prime ნიშანს იცვლის.
ჩვენს შემთხვევაში:
  • f ზრდადია x, equals, 0-მდე, კლებადია მას შემდეგ და განსაზღვრულია x, equals, 0-ზე. ასე რომ, f-ს x, equals, 0-ზე აქვს ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი.
  • f კლებადია x, equals, 2-მდე, ზრდადია მას შემდეგ და განსაზღვრულია x, equals, 2-ზე. ასე რომ, f-ს x, equals, 2-ზე აქვს ლოკალური მინიმუმის წერტილი.
  • f განუსაზღვრელია x, equals, 1-ზე, ასე რომ, მას აქ არ აქვს ექსტრემუმის წერტილი.
ამოცანა 1
ჯეისონს სთხოვეს, ეპოვა, აქვს თუ არა f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 18, x, squared, plus, 54, x, plus, 50-ს ლოკალური ექსტრემუმი. ეს არის მისი ამოხსნა:
ნაბიჯი 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared
ნაბიჯი 2: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0-ის ამონახსნი არის x, equals, minus, 3.
ნაბიჯი 3: f-ს ლოკალური ექსტრემუმი აქვს x, equals, minus, 3-ზე.
სწორია ჯეისონის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: კრიტიკული წერტილების არშემოწმება

გახსოვდეთ: არ უნდა ჩავთვალოთ, რომ ნებისმიერი კრიტიკული წერტილი ექსტრემუმია. ამის ნაცვლად, კრიტიკული წერტილები უნდა შევამოწმოთ, რომ ვნახოთ, არის თუ არა ფუნქცია მათზე განსაზღვრული და იცვლის თუ არა ნიშანს წარმოებული მათზე.
ამოცანა 2
ერინს სთხოვეს, ეპოვა, აქვს თუ არა g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, slash, 3, end superscript-ს ლოკალური მაქსიმუმი. ეს არის მისი ამოხსნა:
ნაბიჯი 1: g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 4, x, divided by, 3, cube root of, x, squared, minus, 1, end cube root, end fraction
ნაბიჯი 2: კრიტიკული წერტილია x, equals, 0.
ნაბიჯი 3:
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0g კლებადია \searrow
left parenthesis, 0, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, is greater than, 0g ზრდადია \nearrow
ნაბიჯი 4: g კლებადია x, equals, 0-მდე და ზრდადია მას შემდეგ, ასე რომ, x, equals, 0-ზე გვაქვს ლოკალური მინიმუმი და არა - ლოკალური მაქსიმუმი.
სწორია ერინის ნაშრომი? თუ არა, რა არის შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: იმ წერტილების არჩართვა, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია

გახსოვდეთ: როცა ზრდად და კლებად ინტერვალებს ვაანალიზებთ, უნდა ვეძებოთ ყველა წერტილი, სადაც წარმოებული ნულის ტოლია და ყველა ის წერტილი, სადაც ფუნქცია ან მისი წარმოებული განუსაზღვრელია. თუ ამათგან ერთი წერტილი მაინც გამოგრჩებათ, სავარაუდოდ, არასწორი ნიშნების დიაგრამა გამოგივათ.
ამოცანა 3
ჯეიკს სთხოვეს, ეპოვა, აქვს თუ არა h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction-ს ლოკალური მაქსიმუმი. ეს არის მისი ამოხსნა:
ნაბიჯი 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis, divided by, x, cubed, end fraction
ნაბიჯი 2: კრიტიკული წერტილებია x, equals, minus, 1 და x, equals, 1 და h განუსაზღვრელია x, equals, 0-ზე.
ნაბიჯი 3:
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 1, right parenthesisx, equals, minus, 2h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 3, comma, 75, is less than, 0h კლებადია \searrow
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0h ზრდადია \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 15, is less than, 0h კლებადია \searrow
left parenthesis, 1, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, comma, 75, is greater than, 0h ზრდადია \nearrow
ნაბიჯი 4: h იზრდება x, equals, 0-მდე და მცირდება მას შემდეგ, ასე რომ, h-ს მაქსიმუმის წერტილი აქვს x, equals, 0-ზე.
სწორია თუ არა ჯეიკის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: ფუნციის განსაზღვრის არის შემოწმების დავიწყება

გახსოვდეთ: როცა ვიპოვოთ წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია მიმართულებას იცვლის, უნდა შევამოწმოთ, ფუნქცია არის თუ არა განსაზღვრული ამ წერტილებზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იგი არ იქნება ლოკალური ექსტრემუმი.

ივარჯიშეთ პირველი რიგის წარმოებულის ტესტის გამოყენებაში

ამოცანა 4
დავუშვათ, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 6, x, squared, minus, 15, x, plus, 2.
x-ის რა მნიშვნელობისთვის აქვს f-ს ლოკალური მაქსიმუმი ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 5
g იყოს მრავალწევრა ფუნქცია და მისი წარმოებული g, prime განისაზღვრებოდეს, როგორც g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared.
რამდენ წერტილზე აქვს g-ს გრაფიკს ლოკალური მაქსიმუმი ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.