ძირითადი მასალა
დიფერენციალური კალკულუსი
კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5
გაკვეთილი 4: ლოკალური ექსტრემუმი- მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები: შესავალი
- ლოკალური ექსტრემუმის პოვნა (პირველი რიგის წარმოებულის წესი)
- დამუშავებული მაგალითი: ლოკალური ექსტრემუმის პოვნა
- შეცდომების გაანალიზება ექსტრემუმის პოვნისას (მაგალითი 1)
- შეცდომების გაანალიზება ექსტრემუმის პოვნისას (მაგალითი 2)
- ლოკალური ექსტრემუმის პოვნა (პირველი რიგის წარმოებულის წესი)
- ლოკალური მინიმუმი და მაქსიმუმი
- ლოკალური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მიმოხილვა
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე
ლოკალური ექსტრემუმის პოვნა (პირველი რიგის წარმოებულის წესი)
პირველი რიგის წარმოებულის ტესტი არის ფუნქციის გაანალიზების პროცესი პირველი რიგის წარმოებულის გამოყენებით, რათა ვიპოვოთ ექსტრემუმის წერტილი. ეს მოიცავს სხვადასხვა ნაბიჯებს, ასე რომ, ეს პროცესი ისე უნდა დავშალოთ, რომ ავირიდოთ გამორჩენები და შეცდომები.
რა მოხდება, თუ გეტყვით, რომ ფუნქციის მოცემული ფორმულით შესაძლებელია მისი ყველა მაქსიმუმისა და მინიმუმის წერტილის პოვნა? ეს სიმართლეა! ამ პროცესს პირველი რიგის წარმოებულის ტესტს ვუწოდებთ. მოდით, ეს ისე დავშალოთ, რომ ავირიდოთ გამორჩენები და შეცდომები.
მაგალითი: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction-ის ლოკალური ექსტრემუმის წერტილების პოვნა
ნაბიჯი 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis-ის პოვნა
f-ის ლოკალური ექსტრემუმის წერტილებოს საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ f, prime. ასე რომ, ვიწყებთ f-ის გაწარმოებით:
ნაბიჯი 2: ყველა კრიტიკული წერტილისა და ყველა იმ წერტილის პოვნა, სადაც f განუსაზღვრელია.
f ფუნქციის კრიტიკული წერტილები არის x მნიშვნელობები f-ის განსაზღვრის არეში, რომლისთვისაც f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ან f, prime განუსაზღვრელია. ამას გარდა უნდა დავაკვირდეთ წერტილებს, სადაც f ფუნქცია არის განუსაზღვრელი.
ამ წერტილების შესახებ მნიშვნელოვანია ის, რომ f, prime-ის ნიშანი უცვლელი უნდა იყოს ორ მომდევნო წერტილს შორის.
ჩვენს შემთხვევაში ეს წერტილებია x, equals, 0, x, equals, 1 და x, equals, 2.
ნაბიჯი 3: ზრდადი და კლებადი ინტერვალების გაანალიზება
ამის გაკეთება ბევრნაირად შეიძლება, მაგრამ ჩვენ ნიშნების დიაგრამის გამოყენება მოგვწონს. ნიშნების დიაგრამაში თითოეულ ინტერვალზე, რომლებიც ნაბიჯ 2-ში ნაპოვნი მნიშვნელობებითაა შემოსაზრვრული, ვირჩევთ შესამოწმებელ მნიშვნელობას.
ეს არის ჩვენი ფუნქციის ნიშნების დიაგრამა:
| ინტერვალი | x-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობა | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | დასკვნა |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f ზრდადია \nearrow |
| left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis | x, equals, 0, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f კლებადია \searrow |
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | x, equals, 1, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f კლებადია \searrow |
| left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f ზრდადია \nearrow |
ნაბიჯი 4: ექსტრემუმის წერტილების პოვნა
ახლა, როცა ვიცით ინტერვალები, სადაც f ზრდადი ან კლებადია, შეგვიძლია, ვიპოვოთ ექსტრემუმის წერტილები. ექსტრემუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც f განსაზღვრულია და f, prime ნიშანს იცვლის.
ჩვენს შემთხვევაში:
- f ზრდადია x, equals, 0-მდე, კლებადია მას შემდეგ და განსაზღვრულია x, equals, 0-ზე. ასე რომ, f-ს x, equals, 0-ზე აქვს ლოკალური მაქსიმუმის წერტილი.
- f კლებადია x, equals, 2-მდე, ზრდადია მას შემდეგ და განსაზღვრულია x, equals, 2-ზე. ასე რომ, f-ს x, equals, 2-ზე აქვს ლოკალური მინიმუმის წერტილი.
- f განუსაზღვრელია x, equals, 1-ზე, ასე რომ, მას აქ არ აქვს ექსტრემუმის წერტილი.
გავრცელებული შეცდომა: კრიტიკული წერტილების არშემოწმება
გახსოვდეთ: არ უნდა ჩავთვალოთ, რომ ნებისმიერი კრიტიკული წერტილი ექსტრემუმია. ამის ნაცვლად, კრიტიკული წერტილები უნდა შევამოწმოთ, რომ ვნახოთ, არის თუ არა ფუნქცია მათზე განსაზღვრული და იცვლის თუ არა ნიშანს წარმოებული მათზე.
გავრცელებული შეცდომა: იმ წერტილების არჩართვა, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია
გახსოვდეთ: როცა ზრდად და კლებად ინტერვალებს ვაანალიზებთ, უნდა ვეძებოთ ყველა წერტილი, სადაც წარმოებული ნულის ტოლია და ყველა ის წერტილი, სადაც ფუნქცია ან მისი წარმოებული განუსაზღვრელია. თუ ამათგან ერთი წერტილი მაინც გამოგრჩებათ, სავარაუდოდ, არასწორი ნიშნების დიაგრამა გამოგივათ.
გავრცელებული შეცდომა: ფუნციის განსაზღვრის არის შემოწმების დავიწყება
გახსოვდეთ: როცა ვიპოვოთ წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია მიმართულებას იცვლის, უნდა შევამოწმოთ, ფუნქცია არის თუ არა განსაზღვრული ამ წერტილებზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იგი არ იქნება ლოკალური ექსტრემუმი.
ივარჯიშეთ პირველი რიგის წარმოებულის ტესტის გამოყენებაში
გინდათ მეტი ვარჯიში? სცადეთ ეს სავარჯიშო.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.