If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 10: f-ის, f'-ისა და f''-ის დაკავშირება

მსჯელობა პირველი რიგის წარმოებულის გამოყენებით

მოდით, ახლოდან დავაკვირდეთ, როგორ უკავშირდება ფუნქციის ქცევა მისი წარმოებულის ქცევას. ამ სახის მსჯელობას ეწოდება "კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა." ისწავლეთ ამის სათანადოდ გამოყენება.
f წარმოებული გვაძლევს ყველა სახის ინფორმაციას თავდაპირველი f ფუნქციის შესახებ. მოდით, ვნახოთ.

როგორ ამბობს f, თუ სად არის f ზრდადი და კლებადი

გაიხსენეთ, რომ ფუნქცია ზრდადია მაშინ, როცა x-ის მნიშვნელობების ზრდასთან ერთად ფუნქციის მნიშვნელობაც იზრდება.
გრაფიკულად ეს იმას ნიშნავს, რომ, თუ მარჯვნივ წავალთ, გრაფიკი ზევით მიდის. ამის მსგავსად, როცა კლებადი ფუნქციაში მარჯვნივ მივდივართ, გრაფიკი ქვევით მიდის.
ახლა დავუშვათ, რომ არ გვაქვს f-ის გრაფიკი, მაგრამ გვაქვს მისი წარმოებულის, f-ის, გრაფიკი.
მაინც შეგვიძლია, ვთქვათ, როდისაა f ზრდადი ან კლებადი f წარმოებულის ნიშანზე დაყრდნობით:
  • ის ინტერვალები, სადაც f წარმოებული დადებითია (ე.ი. x ღერძს ზევითაა), ის ინტერვალებია, სადაც f ზრდადია.
  • ის ინტერვალები, სადაც f უარყოფითია (ე.ი. x ღერძის ქვევითაა), ის ინტერვალებია, სადაც f კლებადია.
როცა ფუნქციის თვისებებს განვიხილავთ მისი წარმოებულის მიხედვით, ჩვენ ვიყენებთ კალკულუსზე დაფუძნებულ მსჯელობას.
ამოცანა 1
არსებობს ორი მართებული დასაბუთებაა იმისა, თუ რატომ არის f ფუნქცია ზრდადი ფუნქცია:
A. x-ის მნიშვნელობის ზრდასთან ერთად f-ის მნიშვნელობაც იზრდება.
B. f-ის წარმოებული ყოველთვის დადებითია.
ამათგან რომელია კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 2
გამოსახულია გაწარმოებადი f ფუნქციისა და მისი f წარმოებულის გრაფიკები.
როგორია სათანადო, კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა იმის შესახებ, რომ f კლებადია, როცა x>3?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: წარმოებულის გრაფიკისა და ნიშნის არდაკავშირება.

წარმოებულებზე მუშაობისას მნიშვნელოვანია, გვახსოვდეს, რომ ეს ორი რამ ტოლფასია:
  • f(x)<0 კონკრეტულ წერტილზე ან ინტერვალზე.
  • f-ის გრაფიკი არის x ღერძის ქვევით წერტილზე/ინტერვალზე.
(იგივე ეხება f(x)>0-სა და x ღერძის ზევით ყოფნას.)

როგორ გვეუბნება f, თუ სად აქვს f-ს ლოკალური მინიმუმი ან მაქსიმუმი

იმისათვის, რომ f ფუნქციას ლოკალური მაქსიმუმი ჰქონდეს კონკრეტულ წერტილზე, იგი უნდა იყოს ზრდადი წერტილის წინ და კლებადი მას შემდეგ.
თავად მაქსიმუმის წერტილზე ფუნქცია არც ზრდადია და არც კლებადი.
f წარმოებულის გრაფიკში ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკი x ღერძს კვეთს ამ წერტილზე, ასე რომ, გრაფიკი x ღერძის ზევითაა წერტილამდე და x ღერძის ქვევით მას შემდეგ.
ამოცანა 3
გამოსახულია გაწარმოებადი g ფუნქციისა და მისი g წარმოებულის გრაფიკები.
როგორია კალკულუსზე დაფუძნებული სათანადო მსჯელობა იმ დასკვნაზე, რომ g-ს ლოკალური მინიმუმის წერტილია x=3?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: ფუნქციასა და მის წარმოებულს შორის დამოკიდებულების არევა

როგორც ვნახეთ, წარმოებულის ნიშანი შეესაბამება ფუნქციის მიმართულებას. თუმცა, ვერანაირ დასკვნას ვერ გამოვიტანთ სხვა სახის ქცევაზე დაყრდნობით.
მაგალითად, ის რომ წარმოებული ზრდადია, არ ნიშნავს, რომ ფუნქცია ზრდადია (ან დადებითია). გარდა ამისა, ის ფაქტი, რომ წარმოებულს ლოკალური მაქსიმუმი ან მინიმუმი აქვს x-ის კონკრეტულ მნიშვნელობაზე, არ ნიშნავს, რომ ფუნქციას x-ის ამ მნიშვნელობაზე ლოკალური მაქსიმუმი ან მინიმუმი უნდა ჰქონდეს.
ამოცანა 4
გამოსახულია გაწარმოებადი h ფუნქციისა და მისი h წარმოებულის გრაფიკები.
ოთხ მოსწავლეს სთხოვეს, სათანადოდ ეთქვათ კალკულუსზე დაუძნებული მსჯელობა იმის შესახებ, რომ h ზრდადია, როცა x>0.
შეგიძლიათ, შეუსაბამოთ მასწავლებლის კომენტარი მსჯელობებს?
1

მეტი ვარჯიში გინდათ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გავრცელებული შეცდომა: არაზუსტი ან არაკონკრეტული ფრაზების გამოყენება.

როცა ვაკვირდებით ფუნქციასა და მის წარმოებულს შორის დამოკიდებულებას, ბევრი რამ თამაშობს როლს: თავდ ფუნქცია, მისი წარმოებული, ფუნქციის მიმართულება, წარმოებულის ნიშნები და ა.შ. მნიშვნელოვანია, ზუსტად ვიცოდეთ, თუ რის შესახებ ვსაუბრობთ კონკრეტულ შემთხვევაში.
მაგალითად, ზემოთ მოცემულ ამოცანა 4-ში სწორი კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა იმის შესახებ, რომ h ზრდადია, არის ის, რომ h დადებითია ან x ღერძის ზევითაა. ერთ-ერთი მოსწავლის მსჯელობა იყო: „ის არის x ღერძის ზევით“. მსჯელობისას არ დაკონკრეტებულა, თუ რა არის x ღერძის ზევით: h-ის გრაფიკი? h-ის გრაფიკი? შეიძლება, სხვა რამე? დაკონკრეტების გარეშე ასეთი მსჯელობა ვერ მიიღება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.