If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 10: f-ის, f'-ისა და f''-ის დაკავშირება

მსჯელობა მეორე რიგის წარმოებულის გამოყენებით

"კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა" ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულით შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ ვიმსჯელოთ თავდაპირველი ფუნქციის ჩაზნექილობისა და მისი გადაღუნვის წერტილების შესახებ.
ჩვენ უკვე ვისწავლეთ, რომ პირველი წარმოებული f, prime გვაძლევს ინფორმაციას იმის შესახებ, თუ სად იზრდება და სად მცირდება საწყისი f ფუნქცია, ასევე სად აქვს f-ს ექსტრემუმის წერტილები.
მეორე წარმებული f, start superscript, prime, prime, end superscript გვაძლევს ინფორმაციას საწყისი f ფუნქციის ჩაზნექილობა-ამოზნექილობის და ასევე იმის შესახებ, თუ სად აქვს f-ს გადაღუნვის წერტილები.

მოდით, გავიმეოროთ, რა არის ჩაზნექილობა და ამოზნექილობა.

ფუნქცია ჩაზნექილია, როცა მისი დახრილობა იზრდება. ჩაზნექილ გრაფიკს აქვს ჭიქის ფორმა, \cup.
f-ის გრაფიკი ჩაზნექილია (დააკვირდით მის \cup ფორმას). დააკვირდით, რომ x-ის ზრდასთან ერთად დახრილობაც იზრდება.
ანალოგიურად, ფუნქცია ამოზნექილია, როცა მისი დახრილობა მცირდება. ამოზნექილ გრაფიკს აქვს კეპის ფორმა, \cap.
g-ის გრაფიკი ამოზნექილია (დააკვირდით მის \cap ფორმას). დააკვირდით, რომ x-ის ზრდასთან ერთად დახრილობა მცირდება.
გადაღუნვის წერტილი არის წერტილი, რომელშიც ფუნქციის ამოზნექილობა და ჩაზნექილობა იცვლება.

როგორ გვაძლევს f, start superscript, prime, prime, end superscript ინფორმაციას f-ის ჩაზნექილობისა და ამოზნექილობის შესახებ

როცა მეორე წარმოებული f, start superscript, prime, prime, end superscript დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ პირველი წარმოებული f, prime ზრდადია, ანუ ფუნქცია f ჩაზნექილია. ანალოგიურად, უარყოფითი f, start superscript, prime, prime, end superscript ნიშნავს, რომ f, prime მცირდება და f ამოზნექილია.
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
დადებითი plusზრდადი \nearrowჩაზნექილი \cup
უარყოფითი minusკლებადი \searrowამოზნექილი \cap
კვეთს x ღერძს (იცვლის ნიშანს)ექსტრემუმის წერტილი (იცვლის მიმართულებას)გადაღუნვის წერტილი (იცვლის ჩაზნექილობა-ამოზნექილობას)
აქ არის გრაფიკული მაგალითი:
f, start superscript, prime, prime, end superscriptf, primef
დააკვირდით, რომ f არის start color #aa87ff, start text, ა, მ, ო, ზ, ნ, ე, ქ, ი, ლ, ი, end text, end color #aa87ff x, equals, c წერტილის მარცხნივ და start color #1fab54, start text, ჩ, ა, ზ, ნ, ე, ქ, ი, ლ, ი, end text, end color #1fab54 x, equals, c წერტილის მარჯვნივ.
ამოცანა 1
მოდით, f იყოს ორჯერ წარმოებადი ფუნქცია. ეს არის მისი მეორე წარმოებულის, f, start superscript, prime, prime, end superscript-ის, გრაფიკი.
რომელ ინტერვალშია f ყოველთვის ჩაზნექილი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ხშირი შეცდომა: f-ის, f, prime-ის და f, start superscript, prime, prime, end superscript-ის ურთიერთკავშირის არევა

დაიმახსოვრეთ, რომ f-ის ჩაზნექილობისთვის f, prime უნდა იყოს ზრდადი და f, start superscript, prime, prime, end superscript უნდა იყოს დადებითი. f-ის, f, prime-ისა და f, start superscript, prime, prime, end superscript-ის სხვა ყოფაქცევას არ აქვს მნიშვნელობა.
მაგალითად, ზემოთ, ამოცანა 1-ში f, start superscript, prime, prime, end superscript ჩაზნექილია open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket ინტერვალში, თუმცა ეს არ ნიშნავს, რომ იმავე ინტერვალში f-ც ჩაზნექილი იქნება.
ამოცანა 2
მოდით, h იყოს ორჯერ წარმოებადი ფუნქცია. ეს არის მისი მეორე წარმოებულის, h, start superscript, prime, prime, end superscript-ის, გრაფიკი.
სად აქვს h-ს გადაღუნვის წერტილი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ მეტი ვარჯიში? სინჯეთ ეს სავარჯიშო.

ხშირი შეცდომა: წარმოდგენილი გრაფიკული ინფორმაციის არასწორი ინტერპრეტაცია

წარმოიდგინეთ სტუდენტი ხსნის ამოცანა 2-ს და ფიქრობს, რომ მოცემული გრაფიკი არის h-ის პირველი წარმოებულისს გრაფიკი. ამ შემთხვევაში h-ის გადაღუნვის წერტილები იქნებოდა A და B, რადგან h, prime სწორედ ამ წერტილებში იცვლის მიმართულებას. სტუდენტს შეეშლებოდა, რადგან ეს არის მეორე წარმოებულის გრაფიკი და სწორი პასუხია D.
დაიმახსოვრეთ, რომ ყოველთვის უნდა დარწმუნდეთ, სწორად გაიგეთ თუ არა მოცემული ინფორმაცია. მოცემულ გაფიკზე გამოსახულია f, პირველი წარმოებული f, prime თუ მეორე წარმოებული f, start superscript, prime, prime, end superscript?
ამოცანა 3
აგებულია ორჯერ წარმოებადი ფუნქცია g და მისი მეორე წარმოებული g, ".
ოთხ მოსწავლეს სთხოვეს, სათანადოდ გადმოეცათ, კალკულუსზე დაუძნებული მსჯელობა იმის შესახებ, რომ x, equals, minus, 2 არის g-ის გადაღუნვის წერტილი.
შეგიძლიათ, შეუსაბამოთ მასწავლებლის კომენტარი მსჯელობებს?
1

მეორე წარმოებულის გამოყენება იმის დასადგენად, მინიმუმია თუ მაქსიმუმი ექსტრემუმის წერტილი

წარმოიდგინეთ, მოცემულია, რომ x, equals, 1 არის f-ის ექსტრემუმის წერტილი და ის არის ჩაზნექილი open bracket, 0, comma, 2, close bracket ინტერვალში. ამ ინფორმაციაზე დაყრდნობით, შეგვიძლია თუ არა იმის თქმა, მინიმუმია თუ მაქსიმუმი ექსტრემუმის ეს წერტილი?
პასუხია „დიახ“. გავიხსენოთ, რომ ჩაზნექილ ფუნქციას აქვს ჭიქის \cup ფორმა. ასეთი ფორმის წირს მხოლოდ მინიმუმი შეიძლება ჰქონდეს.
ანალოგიურად, თუ ფუნქცია ამოზნექილია, როცა მას აქვს ექსტრემუმი, ეს ექსტრემუმი აუცილებლად უნდა იყოს მაქსიმუმის წერტილი.
ამოცანა 4
აგებულია ორჯერ წარმოებადი ფუნქცია h და მისი მეორე წარმოებული h, ".
როგორია კალკულუსზე დაფუძნებული სათანადო დასაბუთება იმისა, რომ h-ს x, equals, minus, 4 წერტილში აქვს ლოკალური მაქსიმუმი, თუ მოცემულია, რომ h, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

მეტი ვარჯიში გინდათ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.